（通用版）2022年高考數(shù)學二輪復習 第一部分 專題十一 直線與圓講義 理（重點生含解析）

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1、（通用版）2022年高考數(shù)學二輪復習 第一部分 專題十一 直線與圓講義 理（重點生，含解析） 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 ___________ ____________ 直線方程、圓的方程、點到直線的距離·T6 2017 圓的性質(zhì)、點到直線的距離、雙曲線的幾何性質(zhì)·T15 圓的弦長問題、雙曲線的幾何性質(zhì)·T9 平面向量基本定理、直線與圓位置關系·T12 直線與圓的方程、直線與拋物線位置關系·T20 2016 拋物線、圓的標準方程·T10 圓的方程、點到直線的距離·T4 點到直線的距離、弦長問題·T16 縱向把握趨勢 卷Ⅰ3年2考，涉及圓的性質(zhì)、點到直線

2、的距離、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)．預計2019年會以選擇題的形式考查圓方程的求法及應用 卷Ⅱ3年2考，涉及圓的方程、點到直線的距離、雙曲線的幾何性質(zhì)，題型為選擇題，難度適中．預計2019年會以選擇題的形式考查直線與圓的綜合問題 卷Ⅲ3年4考，涉及直線方程、圓的方程、點到直線的距離、弦長問題、直線與拋物線的位置關系、橢圓的幾何性質(zhì)等，既有選擇、填空題，也有解答題，難度適中．預計2019年會以選擇題或填空題的形式考查直線與圓的位置關系，同時要注意圓與橢圓、雙曲線、拋物線的綜合問題 橫向把握重點 1.圓的方程近幾年成為高考全國卷命題的熱點，需重點關注．此類試題難度中等偏下，多以選擇題或填空題

3、形式考查． 2.直線與圓的方程偶爾單獨命題，單獨命題時有一定的深度，有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置，難度較大，對直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題上. 直線的方程 2．已知直線x＋y－1＝0與直線2x＋my＋3＝0平行，則它們之間的距離是(　　) A．1 B. C．3 D．4 解析：選B　由題意可知＝≠，解得m＝2，所以兩平行線之間的距離d＝＝. 3．已知點M是直線x＋y＝2上的一個動點，且點P(，－1)，則|PM|的最小值為(　　) A. B．1 C．2 D．3 解析：選B　|PM|的最小值即點P(，－1)到直線x＋y＝2的距離

4、，又＝1.故|PM|的最小值為1. 4．設A，B是x軸上的兩點，點M的橫坐標為3，且|MA|＝|MB|，若直線MA的方程為x－y＋1＝0，則直線MB的方程是(　　) A．x＋y－7＝0 B．x－y＋7＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0 解析：選A　法一：由|MA|＝|MB|知，點M在A，B的垂直平分線上．由點M的橫坐標為3，且直線MA的方程為x－y＋1＝0，得M(3,4)．由題意知，直線MA，MB關于直線x＝3對稱，故直線MA上的點(0,1)關于直線x＝3的對稱點(6,1)在直線MB上，∴直線MB的方程為x＋y－7＝0. 法二：由點M的橫坐標為3，且直線MA的方

5、程為x－y＋1＝0，得M(3,4)，代入四個選項可知只有A項滿足題意，選A. 5.如圖所示，射線OA，OB與x軸正半軸的夾角分別為45°和30°，過點P(1,0)作直線分別交OA，OB于A，B兩點，當AB的中點C恰好落在直線x－2y＝0上時，直線AB的方程為____________． 解析：由題意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan 150°＝－，所以直線lOA：y＝x，lOB：y＝－x，設A(m，m)，B(－n，n)(m≠0，n≠0)，則AB的中點C，當m＝1時，n＝－，A(1,1)，B，C，故點C不在直線x－2y＝0上，不滿足題意，當m≠1時，n≠－，由點C在直線x－2y＝0

6、上，且A，P，B三點共線得解得m＝，所以A(，)，又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，所以lAB：y＝(x－1)，即直線AB的方程為(3＋)x－2y－3－＝0. 答案：(3＋)x－2y－3－＝0 [系統(tǒng)方法] 解決直線方程問題的2個注意點 (1)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性． (2)要注意幾種直線方程的局限性．點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直．而截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線. 圓的方程 [題組全練] 1．圓心在直線2x－y－

7、7＝0上的圓C與y軸交于A(0，－4)，B(0，－2)兩點，則圓C的標準方程為(　　) A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 B．(x－2)2＋(y－3)2＝5 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5 解析：選D　法一：設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 故解得 半徑r＝＝， 故圓C的標準方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 法二：利用圓心在直線2x－y－7＝0上來檢驗，只有D符合，即(x－2)2＋(y＋3)2＝5的圓心為(2，－3)，2×2＋3－7＝0，其他三個圓心(－2，－3)，(2,3)，(－2,3)均不符合題意，故選D.

8、2．已知圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0關于直線2ax＋by－2＝0對稱，則ab的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　將圓的方程配方得(x－1)2＋(y－2)2＝4，若圓關于已知直線對稱，即圓心(1,2)在直線2ax＋by－2＝0上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤. 3．(2019屆高三·豫南十校聯(lián)考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為____________． 解析：設C(a,0)(a＞0)，由題意知＝，解得a＝2，所以r＝＝3，故圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9

9、. 答案：(x－2)2＋y2＝9 4．在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為____________． 解析：由題意得，半徑等于＝ ＝ ≤ ≤，當且僅當m＝1時取等號，所以半徑最大為，所求圓為(x－1)2＋y2＝2. 答案：(x－1)2＋y2＝2 [系統(tǒng)方法] 求圓的方程的2種方法 (1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程． (2)待定系數(shù)法： ①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b

10、，r的值； ②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇設圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值． 直線(圓)與圓的位置關系 [多維例析] 角度一　直線(圓)與圓位置關系的判定及應用 　在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y＝2x－4，設圓C的半徑為1，圓心在l上． (1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程． (2)若圓C上存在點M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍． [解]　(1)因為圓心在直線l：y＝2x－4上，也在直線y＝x－1上，所以解方程組得圓心C(3,2)，

11、又因為圓的半徑為1，所以圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝1. 又因為點A(0,3)，顯然過點A，圓C的切線的斜率存在，設所求的切線方程為y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0， 所以＝1，解得k＝0或k＝－， 所以所求切線方程為y＝3或y＝－x＋3， 即y－3＝0或3x＋4y－12＝0. (2)因為圓C的圓心在直線l：y＝2x－4上，所以設圓心C(a,2a－4)，又因為圓C的半徑為1，則圓C的方程為(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1， 設M(x，y)，又因為|MA|＝2|MO|， 則有＝2， 整理得x2＋(y＋1)2＝4，設為圓D，圓心D(0，－1)． 所以點M既在圓C上，

12、又在圓D上，即圓C與圓D有交點， 所以2－1≤ ≤2＋1， 解得0≤a≤. 故圓心C的橫坐標a的取值范圍是. 角度二　已知直線(圓)與圓的位置關系求參數(shù)值(范圍) 　(1)設直線x－y－a＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，O為坐標原點，若△AOB為等邊三角形，則實數(shù)a的值為(　　) A．± B．± C．±3 D．±9 (2)已知點M(－2,0)，N(2,0)，若圓x2＋y2－6x＋9－r2＝0(r＞0)上存在點P(不同于點M，N)，使得PM⊥PN，則實數(shù)r的取值范圍是(　　) A．(1,5) B．[1,5] C．(1,3] D．[1,3] [解析]　

13、(1)由題意知，圓心坐標為(0,0)，半徑為2，則△AOB的邊長為2，所以△AOB的高為，即圓心到直線x－y－a＝0的距離為，所以＝，解得a＝±. (2)將圓的方程化為標準方程得(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)，若要使圓上一點P滿足PM⊥PN，則需圓經(jīng)過M，N兩點之間，即r∈[1,5]．當r＝1時，(x－3)2＋y2＝1經(jīng)過點N(2,0)，圓(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)上不存在點P，使得PM⊥PN；當r＝5時，(x－3)2＋y2＝25經(jīng)過點M(－2,0)，同理圓(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)上不存在點P，使得PM⊥PN.故選A. [答案]　(1)B　(2)A [系統(tǒng)方法]

14、 1．直線(圓)與圓位置關系問題的求解思路 (1)研究直線與圓的位置關系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現(xiàn)，兩圓的位置關系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較． (2)求過圓外一定點的切線方程的基本思路： 首先將直線方程設為點斜式，然后利用圓心到直線的距離等于半徑求斜率，最后若求得的斜率只有一個，則存在一條過切點與x軸垂直的切線． 2．弦長的求解方法 幾何法 根據(jù)半徑，弦心距，弦長構成的直角三角形，構成三者間的關系r2＝d2＋(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離) 公式法 根據(jù)公式：l＝|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所

15、得交點的橫坐標，k為直線的斜率) 距離法 求出交點坐標，用兩點間距離公式求解 [綜合訓練] 1．在圓(x－1)2＋(y－1)2＝9上總有四個點到直線l：3x＋4y＋t＝0的距離為1，則實數(shù)t的取值范圍是(　　) A．(－17,1) B．(－15,3) C．(－17,3) D．(－15,1) 解析：選C　由圓上總有四個點到直線l：3x＋4y＋t＝0的距離為1，得圓心(1,1)到直線l的距離d＝＜r－1＝2，解得－17＜t＜3，即實數(shù)t的取值范圍是(－17,3)． 2．已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0交于M，N兩點．若·

16、＝12，其中O為坐標原點，則|MN|＝(　　) A．2 B．4 C. D．2 解析：選A　設M(x1，y1)，N(x2，y2)，圓C的方程可化為(x－2)2＋(y－3)2＝1，其圓心為(2,3)，將y＝kx＋1代入方程x2＋y2－4x－6y＋12＝0，整理得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0，所以Δ＝16(k2＋2k＋1)－28(1＋k2)＝－12k2＋32k－12＞0，x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8，由題設可得＋8＝12，得k＝1，滿足Δ>0，所以直線l的方程為y＝x＋1.故圓心(2,3)恰在直線l上，所

17、以|MN|＝2. 3．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4.若直線l過點A(4,0)，且被圓C1截得的弦長為2，則直線l的方程為______________________． 解析：由于直線x＝4與圓C1不相交，所以直線l的斜率存在．設直線l的方程為y＝k(x－4)，圓C1的圓心(－3,1)到直線l的距離為d，因為圓C1被直線l截得的弦長為2，所以d＝＝1.由點到直線的距離公式得d＝，化簡得k(24k＋7)＝0， 即k＝0或k＝－， 所以直線l的方程為y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0. 答案：y＝0或7x＋24y－28＝0

18、 重難增分 點、直線與圓的綜合問題 [考法全析] 一、曾經(jīng)這樣考 1．[與圓有關的范圍問題](2014·全國卷Ⅱ)設點M(x0,1)，若在圓 O：x2＋y2＝1上存在點N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是(　　) A．[－1,1]　　　　　　　 B. C．[－，] D. 解析：選A　法一：常規(guī)思路穩(wěn)解題 由題意可知M在直線y＝1上運動，設直線y＝1與圓x2＋y2＝1相切于點P(0,1)．當x0＝0即點M與點P重合時，顯然圓上存在點N(±1，0)符合要求；當x0≠0時，過M作圓的切線，切點之一為點P，此時對于圓上任意一點N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在

19、∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特別地，當∠OMP＝45°時，有x0＝±1.結合圖形可知，符合條件的x0的取值范圍為[－1,1]． 法二：特殊思路妙解題 如圖，過O作OP⊥MN于點P， 則|OP|＝|OM|sin 45°≤1， ∴|OM|≤，即≤， ∴x≤1，即－1≤x0≤1. [啟思維]　本題考查直線與圓的位置關系(圓的切線問題)、存在性問題，數(shù)形結合法是解決此類題目的最有效方法． 二、還可能這樣考 2．[與圓有關的最值問題]已知從圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，則當|PM

20、|取最小值時點P的坐標為____________． 解析：如圖所示，連接CM，CP.由題意知圓心C(－1,2)，半徑r＝.因為|PM|＝|PO|，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x＋y＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可．當PO垂直于直線2x－4y＋3＝0時，即PO所在直線的方程為2x＋y＝0時，|PM|的值最小，此時點P為兩直線的交點，由解得故當|PM|取最小值時點P的坐標為. 答案： [啟思維]　本題考查圓的切線長問題，解決此類問題一般放在由該點與切點的連線、半徑及該點與圓心連線構成的直角三角形中求解

21、． 3．[與圓有關的定點問題]已知圓O：x2＋y2＝1，點P為直線＋＝1上一動點，過點P向圓O引兩條切線PA，PB，A，B為切點，則直線AB經(jīng)過定點(　　) A. B. C. D. 解析：選B　因為點P是直線＋＝1上的一動點，所以設P(4－2m，m)． 因為PA，PB是圓x2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，所以點A，B在以OP為直徑的圓C上，即弦AB是圓O和圓C的公共弦． 所以圓C的方程為x(x－4＋2m)＋y(y－m)＝0，?、? 又x2＋y2＝1，?、? 所以②－①得，(2m－4)x－my＋1＝0，即公共弦AB所在的直線方程為(2x－

22、y)m＋(－4x＋1)＝0， 令得 所以直線AB過定點. [啟思維]　本題考查圓的切線問題、兩圓公共弦所在直線的求法以及直線過定點問題．解決直線過定點問題時，應先將含參的直線方程化為以參數(shù)為主元的形式，再令參數(shù)主元的系數(shù)為0即可求得定點坐標． 4．[與向量等知識的綜合問題]在平面直角坐標系xOy中，過點M(1,0)的直線l與圓x2＋y2＝5交于A，B兩點，其中點A在第一象限，且＝2，則直線l的方程為____________． 解析：法一：由題意，設直線l的方程為x＝my＋1(m≠0)，與x2＋y2＝5聯(lián)立， 消去x并整理得(m2＋1)y2＋2my－4＝0. 設A(x1，y1)，B

23、(x2，y2)， 則＝(1－x2，－y2)，＝(x1－1，y1)， y1＋y2＝－，① y1y2＝－.② 因為＝2，所以－y2＝2y1，③ 聯(lián)立①②③，可得m2＝1， 又點A在第一象限，所以y1＞0，則m＝1，所以直線l的方程為x－y－1＝0. 法二：由題意，設直線l的方程為x＝my＋1(m≠0)，即x－my－1＝0，所以圓心O到直線l的距離d＝. 又＝2，且|OM|＝1，圓x2＋y2＝5的半徑r＝， 所以＋＝2(－)，即3＝， 所以9＝5－，解得m2＝1， 又點A在第一象限，所以m＝1， 故直線l的方程為x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0 [啟思維]　本題將直

24、線與圓的位置關系、共線向量問題相綜合，考查直線方程的求法．直線與圓的綜合問題常利用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數(shù)化)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)的計算，使問題得到解決． [增分集訓] 1．(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2,6] B．[4,8] C．[，3] D．[2，3] 解析：選A　設圓(x－2)2＋y2＝2的圓心為C，半徑為r，點P到直線x＋y＋2＝0的距離為d， 則圓心C(2,0)，r＝， 所以圓心C到直線x＋y＋2＝0的距離為＝2

25、， 可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝. 由已知條件可得|AB|＝2， 所以△ABP面積的最大值為|AB|·dmax＝6， △ABP面積的最小值為|AB|·dmin＝2. 綜上，△ABP面積的取值范圍是[2,6]． 2．(2017·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，點P在圓O：x2＋y2＝50上．若·≤20，則點P的橫坐標的取值范圍是________． 解析：設P(x，y)，則·＝(－12－x，－y)·(－x，6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20. 又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0， 所以點P在直線2x－y＋5＝0的

26、上方(包括直線上)． 又點P在圓x2＋y2＝50上， 由 解得x＝－5或x＝1， 結合圖象，可得－5≤x≤1， 故點P的橫坐標的取值范圍是[－5，1]． 答案：[－5，1] 3．已知直線l1：x－2y＝0的傾斜角為α，傾斜角為2α的直線l2與圓M：x2＋y2＋2x－2y＋F＝0交于A，C兩點，其中A(－1,0)，B，D在圓M上，且位于直線l2的兩側，則四邊形ABCD的面積的最大值是________． 解析：因為直線l1：x－2y＝0的傾斜角為α，所以tan α＝，所以直線l2的斜率k＝tan 2α＝＝＝，所以直線l2的方程為y－0＝(x＋1)，即4x－3y＋4＝0. 又A

27、(－1,0)在圓M上，所以(－1)2－2＋F＝0，解得F＝1，所以圓M的方程為x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，化為標準方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝1，所以圓心M(－1,1)，半徑r＝1. 所以圓心M到直線l2的距離d＝＝，所以|AC|＝ ＝， 即|AC|＝2×＝. 因為B，D兩點在圓上，且位于直線l2的兩側，則四邊形ABCD的面積可以看成是△ABC和△ACD的面積之和，如圖所示，當BD垂直平分AC(即BD為直徑)時，兩三角形的面積之和最大，即四邊形ABCD的面積最大，此時AC，BD相交于點E，則四邊形ABCD的最大面積S＝×|AC|×|BE|＋×|AC|×|DE|＝×|AC|×|B

28、D|＝××2＝. 答案： [專題跟蹤檢測](對應配套卷P191) 一、全練保分考法——保大分 1．過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為(　　) A．2x＋y－5＝0　　　　　　 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0 解析：選B　∵過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條， ∴點(3,1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上， ∵圓心與切點連線的斜率k＝＝， ∴切線的斜率為－2， 則圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)， 即2x＋y－7＝0. 2．圓心在直線x＋2y＝0上

29、的圓C與y軸的負半軸相切，圓C截x軸所得的弦長為2，則圓C的標準方程為(　　) A．(x－2)2＋(y＋)2＝8 B．(x－)2＋(y＋2)2＝8 C．(x－2)2＋(y＋)2＝8 D．(x－)2＋(y＋2)2＝8 解析：選A　法一：設圓心為(r>0)，半徑為r.由勾股定理()2＋2＝r2，解得r＝2，∴圓心為(2，－)，∴圓C的標準方程為(x－2)2＋(y＋)2＝8. 法二：四個圓的圓心分別為(2，－)，(，－2)，(2，－)，(，－2)，將它們逐一代入x＋2y＝0，只有A選項滿足． 3．已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2.則圓M與圓N

30、：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系是(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 解析：選B　由題意知圓M的圓心為(0，a)，半徑R＝a，因為圓M截直線x＋y＝0所得線段的長度為2，所以圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝＝(a>0)，解得a＝2，即圓M的圓心為(0,2)，又知圓N的圓心為(1,1)，半徑r＝1，所以|MN|＝，則R－r<

31、為圓心(0,0)到直線x－y＋6＝0的距離d＝＝3，所以|AB|＝2＝2，過C作CE⊥BD于E，因為直線l的傾斜角為30°， 所以|CD|＝＝＝＝4. 法二：由x－y＋6＝0與x2＋y2＝12聯(lián)立解得A(－3，)，B(0,2)，∴AC的方程為y－＝－(x＋3)，BD的方程為y－2＝－x，可得C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4. 5．已知A(0,3)，B，P為圓C：x2＋y2＝2x上的任意一點，則△ABP面積的最大值為(　　) A. B. C．2 D. 解析：選A　圓C的方程可化為(x－1)2＋y2＝1， 因為A(0，3)，B， 所以|AB|＝＝3，直線AB的

32、方程為x＋y＝3， 所以圓心(1,0)到直線AB的距離d＝＝.又圓C的半徑為1，所以圓C上的點到直線AB的最大距離為＋1，故△ABP面積的最大值為Smax＝×(＋1)×3＝. 6．已知等邊三角形OAB的三個頂點都在拋物線y2＝2x上，其中O為坐標原點，設圓C是△OAB的外接圓(點C為圓心)，則圓C的方程為(　　) A．(x－4)2＋y2＝16 B．(x＋4)2＋y2＝16 C．x2＋(y－4)2＝16 D．x2＋(y＋4)2＝16 解析：選A　法一：設A，B兩點的坐標分別為，，由題設知＝＝ ， 解得y＝y(tǒng)＝12，所以A(6,2)，B(6，－2)或A(6，－2)，B(6,2)

33、． 設圓心C的坐標為(r,0)(r>0)，則r＝×6＝4， 所以圓C的方程為(x－4)2＋y2＝16. 法二：設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1>0，x2>0)，由題設知x＋y＝x＋y. 又y＝2x1，y＝2x2，故x＋2x1＝x＋2x2， 即(x1－x2)·(x1＋x2＋2)＝0， 由x1>0，x2>0，可知x1＝x2，故A，B兩點關于x軸對稱，所以圓心C在x軸上． 設點C的坐標為(r,0)(r>0)，則點A的坐標為，于是2＝2×r，解得r＝4，所以圓C的方程為(x－4)2＋y2＝16. 7．設M，N分別為圓O1：x2＋y2－12y＋34＝0和圓O2

34、：(x－2)2＋y2＝4上的動點，則M，N兩點間的距離的取值范圍是________． 解析：圓O1的方程可化為x2＋(y－6)2＝2，其圓心為O1(0,6)，半徑r1＝.圓O2的圓心O2(2,0)，半徑r2＝2，則|O1O2|＝＝2，則|MN|max＝2＋2＋，|MN|min＝2－2－，故M，N兩點間的距離的取值范圍是[2－2－，2＋2＋]． 答案：[2－2－，2＋2＋] 8．過點P(－3,1)，Q(a,0)的光線經(jīng)x軸反射后與圓x2＋y2＝1相切，則a的值為________． 解析：點P(－3,1)關于x軸對稱的點為P′(－3，－1)， 所以直線P′Q的方程為x－(a＋3)y－a＝

35、0， 由題意得直線P′Q與圓x2＋y2＝1相切， 所以＝1， 解得a＝－. 答案：－ 9．已知圓C過點(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y＝x－1被圓C所截得的弦長為2，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為________________． 解析：由題意，設所求的直線方程為x＋y＋m＝0，圓心坐標為(a,0)(a>0)， 則由題意知2＋2＝(a－1)2， 解得a＝3或－1(舍去)， 故圓心坐標為(3,0)， 因為圓心(3,0)在所求的直線上， 所以3＋0＋m＝0， 解得m＝－3， 故所求的直線方程為x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3＝0 10．(2018

36、·全國卷Ⅱ)設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程． 解：(1)由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)． 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF| ＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝. 由題設知＝8， 解得k＝1或k＝－1(舍去)． 因此l的方程為y＝x－1. (2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2)， 所以

37、AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)， 即y＝－x＋5. 設所求圓的圓心坐標為(x0，y0)， 則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 11．(2018·成都模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線Г：y＝x2－mx＋2m(m∈R)與x軸交于不同的兩點A，B，曲線Г與y軸交于點C. (1)是否存在以AB為直徑的圓過點C？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由． (2)求證：過A，B，C三點的圓過定點． 解：由曲線Г：y＝x2－mx＋2m(m∈R)， 令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.設A(x1,0)，B

38、(x2,0)， 則可得Δ＝m2－8m>0， 解得m>8或m<0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m. 令x＝0，得y＝2m，即C(0,2m)． (1)若存在以AB為直徑的圓過點C，則·＝0， 得x1x2＋4m2＝0， 即2m＋4m2＝0， 所以m＝0(舍去)或m＝－. 所以m＝－， 此時C(0，－1)，AB的中點M即圓心， 半徑r＝|CM|＝， 故所求圓的方程為2＋y2＝. (2)證明：設過A，B兩點的圓的方程為 x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0， 將點C(0,2m)代入可得E＝－1－2m， 所以過A，B，C三點的圓的方程為 x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝

39、0， 整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0. 令可得或 故過A，B，C三點的圓過定點(0,1)和. 12．(2019屆高三·廣州調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，已知圓C與y軸相切，且過點M(1，)，N(1，－)． (1)求圓C的方程； (2)已知直線l與圓C交于A，B兩點，且直線OA與直線OB的斜率之積為－2.求證：直線l恒過定點，并求出定點的坐標． 解：(1)因為圓C過點M(1，)，N(1，－)， 所以圓心C在線段MN的垂直平分線上，即在x軸上， 故設圓心為C(a,0)，易知a>0， 又圓C與y軸相切，所以圓C的半徑r＝a， 所以圓C的方程為(x－a)2＋y2＝

40、a2. 因為點M(1，)在圓C上， 所以(1－a)2＋()2＝a2，解得a＝2. 所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝4. (2)證明：記直線OA的斜率為k(k≠0)，則其方程為y＝kx. 聯(lián)立消去y，得(k2＋1)x2－4x＝0， 解得x1＝0，x2＝. 所以A. 由k·kOB＝－2，得kOB＝－， 直線OB的方程為y＝－x， 在點A的坐標中用－代換k，得B. 當直線l的斜率不存在時，＝，得k2＝2，此時直線l的方程為x＝. 當直線l的斜率存在時，≠，即k2≠2， 則直線l的斜率為 ＝＝＝. 故直線l的方程為y－＝， 即y＝， 所以直線l過定點. 綜上，直

41、線l恒過定點，定點坐標為. 二、強化壓軸考法——拉開分 1．已知圓C：x2＋y2＝1，點P(x0，y0)在直線l：3x＋2y－4＝0上，若在圓C上總存在兩個不同的點A，B，使＋＝，則x0的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　如圖，∵＋＝， ∴OP與AB互相垂直平分， ∴圓心到直線AB的距離 <1， ∴x＋y<4.　① 又3x0＋2y0－4＝0， ∴y0＝2－x0， 代入①得x＋2<4， 解得0

42、 A．±1 B．± C．± D．± 解析：選C　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(－x1，－y1)，＝(x2－x1，y2－y1)，由消去y，整理得，2x2＋2mx＋m2－1＝0，故Δ＝4m2－8(m2－1)＝8－4m2>0，－

43、弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率為________． 解析：易知點A(1，)在圓(x－2)2＋y2＝4的內(nèi)部，圓心C的坐標為(2,0)，要使劣弧所對的圓心角最小，只能是直線l⊥CA，所以kl＝－＝－＝. 答案： 4．已知圓O：x2＋y2＝1與x軸負半軸的交點為A，P為直線3x＋4y－a＝0上一點，過P作圓O的切線，切點為T，若|PA|＝2|PT|，則實數(shù)a的最大值為________． 解析：由題意知A(－1,0)，設P(x，y)，由|PA|＝2|PT|可得(x＋1)2＋y2＝4(x2＋y2－1)，化簡得2＋y2＝.由3x＋4y－a＝0與圓2＋y2＝有公共點P，所以圓心到直線3

44、x＋4y－a＝0的距離d＝≤，解得－≤a≤，所以實數(shù)a的最大值為. 答案： 5．已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得∠APB＝60°，則實數(shù)a的取值范圍為__________________． 解析：圓O的半徑為1，圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B， 使得∠APB＝60°，則∠APO＝30°. 在Rt△PAO中，|PO|＝2， 又圓M的半徑為1，圓心坐標為M(a，a－4)， ∴|MO|－1≤|PO|≤|MO|＋1， ∵|MO|＝， ∴ －1≤2≤ ＋1，

45、解得2－≤a≤2＋. ∴實數(shù)a的取值范圍為. 答案： 6．(2018·廣州高中綜合測試)已知定點M(1,0)和N(2,0)，動點P滿足|PN|＝|PM|. (1)求動點P的軌跡C的方程； (2)若A，B為(1)中軌跡C上兩個不同的點，O為坐標原點．設直線OA，OB，AB的斜率分別為k1，k2，k.當k1k2＝3時，求k的取值范圍． 解：(1)設動點P的坐標為(x，y)， 因為M(1,0)，N(2,0)，|PN|＝|PM|， 所以 ＝·. 整理得，x2＋y2＝2. 所以動點P的軌跡C的方程為x2＋y2＝2. (2)設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝

46、kx＋ B. 由消去y，整理得(1＋k2)x2＋2bkx＋b2－2＝0.(*) 由Δ＝(2bk)2－4(1＋k2)(b2－2)>0，得b2<2＋2k2.① 由根與系數(shù)的關系，得x1＋x2＝－，x1x2＝.② 由k1·k2＝·＝·＝3， 得(kx1＋b)(kx2＋b)＝3x1x2， 即(k2－3)x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2＝0.③ 將②代入③，整理得b2＝3－k2.④ 由④得b2＝3－k2≥0，解得－≤k≤.⑤ 由①和④，解得k<－或k>.⑥ 要使k1，k2，k有意義，則x1≠0，x2≠0， 所以0不是方程(*)的根， 所以b2－2≠0，即k≠1且k≠－1.⑦ 由⑤⑥⑦，得k的取值范圍為 [－，－1)∪∪∪(1， ]．