16、x的取值范圍為(－2,1)．
答案：(－2,1)
[解題方略]
1．函數(shù)3個性質(zhì)及應用
奇偶性
具有奇偶性的函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上其圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切，研究問題時可轉化到只研究部分(一半)區(qū)間上．尤其注意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì)：f(|x|)＝f(x)
單調(diào)性
可以比較大小、求函數(shù)最值、解不等式、證明方程根的唯一性
周期性
利用周期性可以轉化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問題，轉化到已知區(qū)間上求解
2．函數(shù)性質(zhì)綜合應用的注意點
(1)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉化到
17、已知區(qū)間的功能．
(2)一些題目中，函數(shù)的周期性常常通過函數(shù)的奇偶性得到，函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律．因此在解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉換，再利用單調(diào)性解決相關問題．
[多練強化]
1．(2018·南昌模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則( )
A．f(0)＞f(log32)＞f(－log23)
B．f(log32)＞f(0)＞f(－log23)
C．f(－log23)＞f(log32)＞f(0)
D．f(－log23)＞f(
18、0)＞f(log32)
解析：選C ∵log23＞log22＝1＝log33＞log32＞0，且函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(log23)＞f(log32)＞f(0)，又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴f(log23)＝f(－log23)，∴f(－log23)＞f(log32)＞f(0)，故選C.
2．(2018·全國卷Ⅲ)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y＝ln x的圖象關于直線x＝1對稱的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
解析：選B 函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝f(a－x)的圖象關于直線x＝對稱，
19、令a＝2可得與函數(shù)y＝ln x的圖象關于直線x＝1對稱的是函數(shù)y＝ln(2－x)的圖象．故選B.
3．(2018·全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
解析：選C 法一：∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
20、∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)．
由f(x)為奇函數(shù)得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
法二：由題意可設f(x)＝2sin，作出f(x)的部分圖象如圖所示．由圖可知，f(x)的一個周期為4，
21、所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
4．(2018·鄭州第二次質(zhì)量預測)已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，則以下四個選項一定正確的是( )
A．f(x－1)＋1是偶函數(shù) B．f(x－1)－1是奇函數(shù)
C．f(x＋1)＋1是偶函數(shù) D．f(x＋1)－1是奇函數(shù)
解析：選D 法一：因為f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(1,1)中心對稱，而函數(shù)y＝f(x＋1)－1的圖象可看作是
22、由y＝f(x)的圖象先向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到，所以函數(shù)y＝f(x＋1)－1的圖象關于點(0,0)中心對稱，所以函數(shù)y＝f(x＋1)－1是奇函數(shù)，故選D.
法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，則F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)為奇函數(shù)，即f(x＋1)－1為奇函數(shù)，故選D.
數(shù)學抽象——抽象函數(shù)與函數(shù)的三大性質(zhì)
[典例] 定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f＝f(x)，當x∈時，f(x)＝log (1－x)，則f(x)在區(qū)間上是( )
A．減函數(shù)且f(x)>0 B．減
23、函數(shù)且f(x)<0
C．增函數(shù)且f(x)>0 D．增函數(shù)且f(x)<0
[解析] 當x∈時，由f(x)＝log (1－x)可知f(x)單調(diào)遞增且f(x)>0，又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以在區(qū)間上函數(shù)f(x)也單調(diào)遞增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函數(shù)f(x)的周期為，所以在區(qū)間上，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增且f(x)<0.故選D.
[答案] D
[素養(yǎng)通路]
數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量關系與空間形式的抽象，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng)．主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關系，圖形與圖形關系中抽象出數(shù)學概念與概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律與結構，并用數(shù)學語言予以表征．
本題由函數(shù)的奇
24、偶性得到其對稱區(qū)間的單調(diào)性，由f＝f(x)得知f(x)的周期，進而得出f(x)在區(qū)間上的性質(zhì)．考查了數(shù)學抽象這一核心素養(yǎng)．
A組——“12＋4”滿分練
一、選擇題
1．已知函數(shù)f(x)＝則f(f(－2))＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：選A 因為f(x)＝所以f(－2)＝－(－2)＝2，所以f(f(－2))＝f(2)＝22＝4.
2．(2018·濰坊統(tǒng)一考試)下列函數(shù)中，圖象是軸對稱圖形且在區(qū)間(0，＋
25、∞)上單調(diào)遞減的是( )
A．y＝ B．y＝－x2＋1
C．y＝2x D．y＝log2|x|
解析：選B 因為函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，所以排除A、C，又y＝－x2＋1在(0， ＋∞)上單調(diào)遞減，y＝log2|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以排除D.故選B.
3．已知函數(shù)f(x)＝4|x|，g(x)＝2x2－ax(a∈R)．若f(g(1))＝2，則a＝( )
A．1或 B.或
C．2或 D．1或
解析：選B 由已知條件可知f(g(1))＝f(2－a)＝4|2－a|＝2，所以|a－2|＝，得a＝或.
4．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋5的定義域和值
26、域都是[1，a]，則a＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選B 因為f(x)＝(x－a)2＋5－a2，所以f(x)在[1，a]上是減函數(shù)，又f(x)的定義域和值域均為[1，a]，所以即解得a＝2.
5．(2018·全國卷Ⅲ)函數(shù)y＝－x4＋x2＋2的圖象大致為( )
解析：選D 法一：令f(x)＝－x4＋x2＋2，
則f′(x)＝－4x3＋2x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±，
則f′(x)>0的解集為∪，
f(x)單調(diào)遞增；f′(x)<0的解集為∪，f(x)單調(diào)遞減，結合圖象知選D.
法二：當x＝1時，y＝2，所以排除A、B選項．當x＝0
27、時，y＝2，而當x＝時，y＝－＋＋2＝2>2，所以排除C選項．故選D.
6.若函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示，則f(－3)等于( )
A．－ B．－
C．－1 D．－2
解析：選C 由圖象可得a×(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，∴a＝2，b＝5，
∴f(x)＝
故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.
7．設函數(shù)f(x)＝x3(ax＋m·a－x)(x∈R，a＞0且a≠1)是偶函數(shù)，則實數(shù)m的值為( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
解析：選A 法一：因為函數(shù)f(x)＝x3(ax＋m·a－x)(x∈R，a＞0且a≠1)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f
28、(x)對任意的x∈R恒成立，所以－x3(a－x＋m·ax)＝x3(ax＋m·a－x)，即x3(1＋m)(ax＋ a－x)＝0對任意的x∈R恒成立，所以1＋m＝0，即m＝－1.
法二：因為f(x)＝x3(ax＋m·a－x)是偶函數(shù)，所以g(x)＝ax＋m·a－x是奇函數(shù)，且g(x)在x＝0處有意義，所以g(0)＝0，即1＋m＝0，所以m＝－1.
8．(2018·福建第一學期高三期末考試)已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＝3，則f(a－2)＝( )
A．－ B．3
C．－或3 D．－或3
解析：選A 當a＞0時，若f(a)＝3，則log2a＋a＝3，解得a＝2(滿足a＞0)；當a
29、≤0時，若f(a)＝3，則4a－2－1＝3，解得a＝3，不滿足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－.
9．函數(shù)f(x)＝的圖象大致為( )
解析：選A 由題意知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除C、D，又f＝＜0，故排除選項B.
10．已知函數(shù)f(x)在(－1,1)上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，則滿足f(1－x)＋f(3x－2)＜0的x的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析：選B 由已知得f(3x－2)＜f(x－1)，
∴解得＜x＜1，故選B.
11．已知函數(shù)f(x)＝對于
30、任意的x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＞0成立，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，3] B．(－∞，3)
C．(3，＋∞) D．[1,3)
解析：選D 由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＞0，得函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則解得1≤a＜3.故選D.
12．(2018·洛陽一模)已知a＞0，設函數(shù)f(x)＝(x∈[－a，a])的最大值為M，最小值為N，那么M＋N＝( )
A．2 017 B．2 019
C．4 038 D．4 036
解析：選D 由題意得f(x)＝＝2 019－.
因為y＝2 019x＋1在[－a
31、，a]上是單調(diào)遞增的，
所以f(x)＝2 019－在[－a，a]上是單調(diào)遞增的，所以M＝f(a)，N＝f(－a)，
所以M＋N＝f(a)＋f(－a)＝4 038－－＝4 036.
二、填空題
13．函數(shù)y＝的定義域是________．
解析：由得－1＜x＜5，
∴函數(shù)y＝的定義域是(－1,5)．
答案：(－1,5)
14．函數(shù)f(x)＝ln的值域是________．
解析：因為|x|≥0，所以|x|＋1≥1.
所以0＜≤1.所以ln≤0，
即f(x)＝ln的值域為(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
15．(2018·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)對任意的x∈R都滿足f(x
32、)＋f(－x)＝0，f為偶函數(shù)，當0＜x≤時，f(x)＝－x，則f(2 017)＋f(2 018)＝________.
解析：依題意，f(－x)＝－f(x)，
f＝f，
所以f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝f(x)，
所以f(2 017)＝f(1)＝－1，
f(2 018)＝f(2)＝f＝f＝f(1)＝－1，所以f(2 017)＋f(2 018)＝－2.
答案：－2
16．若當x∈(1,2)時，函數(shù)y＝(x－1)2的圖象始終在函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象的下方，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：如圖，在同一平面直角坐標系中
33、畫出函數(shù)y＝(x－1)2和y＝logax的圖象，由于當x∈(1,2)時，函數(shù)y＝(x－1)2的圖象恒在函數(shù)y＝logax的圖象的下方，則解得1
34、 對于選項A，y＝x與y＝logaax＝x(a＞0且a≠1)的定義域都為R，解析式相同，故A中兩函數(shù)表示同一函數(shù)；B、D中兩函數(shù)的定義域不同；C中兩函數(shù)的對應法則不同，故選A.
3．下列函數(shù)中，滿足“?x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0”的是( )
A．f(x)＝－x B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝2x
解析：選A “?x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”等價于f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，易判斷f(x)＝－x滿足條件．
4．設函數(shù)f(x
35、)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)＝則g(f(－7))＝( )
A．3 B．－3
C．2 D．－2
解析：選D 函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)＝
令x＜0，則－x＞0，f(－x)＝log2(－x＋1)，
因為f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x＋1)，
所以g(x)＝－log2(－x＋1)(x＜0)，
所以f(－7)＝g(－7)＝－log2(7＋1)＝－3，
所以g(－3)＝－log2(3＋1)＝－2.
5．(2018·合肥質(zhì)檢)函數(shù)y＝ln(2－|x|)的大致圖象為( )
解析：選A 令f(x)＝ln(2－
36、|x|)，易知函數(shù)f(x)的定義域為{x|－2x＋1對任意的x
37、∈[－1,2]恒成立，等價于a>－x2＋3x＋1對任意的x∈[－1,2]恒成立．設g(x)＝－x2＋3x＋1(－1≤x≤2)，則g(x)＝－2＋ (－1≤x≤2)，當x＝時，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g＝，因此a＞，故選D.
7．(2018·南昌模擬)設函數(shù)f(x)＝若f(1)是f(x)的最小值，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A．[－1,2) B．[－1,0]
C．[1,2] D．[1，＋∞)
解析：選C 法一：∵f(1)是f(x)的最小值，
∴y＝2|x－a|在(－∞，1]上單調(diào)遞減，∴
即∴
∴1≤a≤2，故選C.
法二：當a＝0時，函數(shù)f(x)的最
38、小值是f(0)，不符合題意，排除選項A、B；
當a＝3時，函數(shù)f(x)無最小值，排除選項D，故選C.
8．(2018·福州質(zhì)檢)設函數(shù)f(x)＝則滿足不等式f(x2－2)>f(x)的x的取值范圍是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－)∪(，＋∞)
C．(－∞，－)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(，＋∞)
解析：選C 法一：因為當x＞0時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當x≤0時，f(x)＝0，故由f(x2－2)>f(x)，得或解得x>2或x<－，所以x的取值范圍是(－∞，－)∪(2，＋∞)，故選C.
法二：取x＝2，則f(22－2)＝f(2)，所以x＝2
39、不滿足題意，排除B、D；取x＝－1.1，則f[(－1.1)2－2]＝f(－0.79)＝0，f(－1.1)＝0，所以x＝－1.1不滿足題意，排除A，故選C.
9.如圖，把圓周長為1的圓的圓心C放在y軸上，頂點A(0,1)，一動點M從點A開始逆時針繞圓運動一周，記＝x，直線AM與x軸交于點N(t,0)，則函數(shù)t＝f(x)的圖象大致為( )
解析：選D 當x由0→時，t從－∞→0，且單調(diào)遞增，當x由→1時，t從0→＋∞，且單調(diào)遞增，所以排除A、B、C，故選D.
10.函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示，則下列結論成立的是( )
A．a(chǎn)>0，b>0，c<0 B．a(chǎn)<0，b>0，c>0
40、C．a(chǎn)<0，b>0，c<0 D．a(chǎn)<0，b<0，c<0
解析：選C ∵f(x)＝的圖象與x軸，y軸分別交于N，M，且點M的縱坐標與點N的橫坐標均為正，∴x＝－>0，y＝>0，故a<0，b>0，又函數(shù)圖象間斷點的橫坐標為正，∴－c>0，c<0，故選C.
11．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，規(guī)定：當|f(x)|≥g(x)時，h(x)＝|f(x)|；當|f(x)|＜g(x)時，h(x)＝－g(x)，則h(x)( )
A．有最小值－1，最大值1
B．有最大值1，無最小值
C．有最小值－1，無最大值
D．有最大值－1，無最小值
解析：選C 作出函數(shù)g(x)＝1－x2和函數(shù)|
41、f(x)|＝|2x－1|的圖象如圖①所示，得到函數(shù)h(x)的圖象如圖②所示，由圖象得函數(shù)h(x)有最小值－1，無最大值．
12．在實數(shù)集R上定義一種運算“★”，對于任意給定的a，b∈R，a★b為唯一確定的實數(shù)，且具有下列三條性質(zhì)：
(1)a★b＝b★a；(2)a★0＝a；(3)(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)－2c.
關于函數(shù)f(x)＝x★，有如下說法：
①函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最小值為3；
②函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；
③函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；
④函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(1，＋∞)；
⑤函數(shù)f(x)不是周期函數(shù)．
其中正確說
42、法的個數(shù)為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選C 對于新運算“★”的性質(zhì)(3)，令c＝0，則(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b.∴f(x)＝x★＝1＋x＋，當x>0時，f(x)＝1＋x＋≥1＋2 ＝3，當且僅當x＝，即x＝1時取等號，∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最小值為3，故①正確；函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(－1)＝1－1－1＝－1，∴f(－1)≠－f(1)且f(－1)≠f(1)，∴函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)，故②③錯誤；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，知函數(shù)f(x
43、)＝1＋x＋的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(1，＋∞)，故④正確；由④知，函數(shù)f(x)＝1＋x＋不是周期函數(shù)，故⑤正確．
綜上所述，所有正確說法的個數(shù)為3，故選C.
二、填空題
13．(2018·惠州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，則f(－a)＝________.
解析：由已知得f(a)＝a＋－1＝2，即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.
答案：－4
14．已知函數(shù)f(x)的圖象關于點(－3,2)對稱，則函數(shù)h(x)＝f(x＋1)－3的圖象的對稱中心為________．
解析：函數(shù)h(x)＝f(x＋1)－3的圖象是由函數(shù)f(x)的圖象
44、向左平移1個單位，再向下平移3個單位得到的，又f(x)的圖象關于點(－3,2)對稱，所以函數(shù)h(x)的圖象的對稱中心為(－4，－1)．
答案：(－4，－1)
15．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足當x≥0時，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)，則當－11時，原不等式等價于解得a>2；
②當0
45、上，實數(shù)a的取值范圍為∪(2，＋∞)．
答案：∪(2，＋∞)
16．已知偶函數(shù)y＝f(x)(x∈R)在區(qū)間[－1,0]上單調(diào)遞增，且滿足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，給出下列判斷：
①f(5)＝0；
②f(x)在[1,2]上是減函數(shù)；
③函數(shù)f(x)沒有最小值；
④函數(shù)f(x)在x＝0處取得最大值；
⑤f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．
其中正確的序號是________．
解析：因為f(1－x)＋f(1＋x)＝0，所以f(1＋x)＝－f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)．由題意知，函數(shù)y＝f(x)(x∈R)關于點(1,0)對稱，畫出滿足條件的圖象如圖所示，結合圖象可知①②④正確．
答案：①②④
（通用版）2022年高考數(shù)學二輪復習 第一部分 第二層級 重點增分 專題一 函數(shù)的圖象與性質(zhì)講義 理（普通生含解析）
