15、浙江名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈Z),若方程f(x)=x在(0,1)上有兩個實數(shù)根,f(-1)>-1,則a的最小值為________.
解析:設(shè)g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+c,g(x)=0在(0,1)上有兩個實數(shù)根,
設(shè)為x1,x2,于是g(x)=a(x-x1)(x-x2),
由題知故
所以g(0)g(1)=a2x1(1-x1)x2(1-x2)≤(當且僅當x1=x2=時等號成立),所以1≤g(0)g(1)≤,所以a≥4,經(jīng)檢驗,當a=4,b=-3,c=1時符合題意,故a的最小值為4.
答案:4
B組——能力小題保分練
1.對于滿足0
16、0,于是c<,從而>=1+-2,對滿足02.故選D.
2.已知a,b,c,d都是常數(shù),a>b,c>d.若f(x)=2 017-(x-a)(x-b)的零點為c,d,則下列不等式正確的是( )
A.a(chǎn)>c>b>d
17、 B.a(chǎn)>b>c>d
C.c>d>a>b D.c>a>b>d
解析:選D f(x)=2 017-(x-a)·(x-b)=-x2+(a+b)x-ab+2 017,又f(a)=f(b)=2 017,c,d為函數(shù)f(x)的零點,且a>b,c>d, 所以可在平面直角坐標系中作出函數(shù)f(x)的大致圖象,如圖所示,由圖可知c>a>b>d,故選D.
3.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2-x)=f(x),且當x∈[1,2]時,f(x)=ln x-x+1,若函數(shù)g(x)=f(x)+mx有7個零點,則實數(shù)m的取值范圍為( )
A.∪
B.
C.
D.
解析:選A 函數(shù)g(x)=f(x
18、)+mx有7個零點,即函數(shù)y=f(x)的圖象與y=-mx的圖象有7個交點.當x∈[1,2]時,f(x)=ln x-x+1,f′(x)=-1=<0,此時f(x)單調(diào)遞減,且f(1)=0,f(2)=ln 2-1.由f(2-x)=f(x)知函數(shù)圖象關(guān)于x=1對稱,而f(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以f(x)=f[-(2-x)]=f(x-2),故f(x+2)=f(x),即f(x)是周期為2的函數(shù).易知m≠0,當-m<0時,作出函數(shù)y=f(x)與y=-mx的圖象,如圖所示.
則要使函數(shù)y=f(x)的圖象與y=-mx的圖象有7個交點,需有即解得0時,可得
19、,實數(shù)m的取值范圍為∪.故選A.
4.已知函數(shù)f(x)=方程[f(x)]2-af(x)+b=0(b≠0)有6個不同的實數(shù)解,則3a+b的取值范圍是( )
A.[6,11] B.[3,11]
C.(6,11) D.(3,11)
解析:選D 首先作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖),
對于方程[f(x)]2-af(x)+b=0,可令f(x)=t,那么方程根的個數(shù)就是f(x)=t1與f(x)=t2的根的個數(shù)之和,結(jié)合圖象可知,要使總共有6個根,需要一個方程有4個根,另一個方程有2個根,從而可知關(guān)于t的方程t2-at+b=0有2個根,分別位于區(qū)間(0,1)與(1,2)內(nèi),進一步由根的分布
20、得出約束條件畫出可行域(圖略),計算出目標函數(shù)z=3a+b的取值范圍為(3,11),故選D.
5.(2018·浙江模擬訓(xùn)練沖刺卷)在直角坐標系中,橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點稱為格點.如果函數(shù)f(x)的圖象恰好通過k(k∈N*)個格點,則稱函數(shù)f(x)為k階格點函數(shù),給出下列函數(shù):①f(x)= ②f(x)=x;③f(x)=3x2-6x+3+1;④f(x)=sin4x+cos4x.
其中是一階格點函數(shù)的為________.(只填序號)
解析:函數(shù)f(x)= 的圖象過格點(2n,2n),其中n∈N,有無數(shù)個格點,故不是一階格點函數(shù);
f(x)=x的圖象過格點(-n,2
21、n),其中n∈N,有無數(shù)個格點,故不是一階格點函數(shù);
f(x)=3(x-1)2+1的圖象過格點(1,1),且當x≠1,x∈Z時,f(x)的值不是整數(shù),故是一階格點函數(shù);
f(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-sin22x=+cos 4x,顯然f(x)的值域為,要使f(x)的值是整數(shù),則f(x)=1,此時cos 4x=1,得x=,k∈Z,當且僅當k=0時,x取整數(shù),故是一階格點函數(shù).
答案:③④
6.(2018·諸暨高三適應(yīng)性考試)已知a,b,c∈R+(a>c),關(guān)于x的方程|x2-ax+b|=cx恰有三個不等實根,且函數(shù)f(x)=|
22、x2-ax+b|+cx的最小值是c2,則=________.
解析:由關(guān)于x的方程|x2-ax+b|=cx恰有三個不等實根可知,y=x2-ax+b有兩個正的零點m,n(mc,所以4c=a-c,即=5.
答案:5