2022年高考數(shù)學(xué)40個(gè)考點(diǎn)總動(dòng)員 考點(diǎn)38 幾何證明選講（學(xué)生版） 新課標(biāo)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)40個(gè)考點(diǎn)總動(dòng)員 考點(diǎn)38 幾何證明選講（學(xué)生版） 新課標(biāo) 【高考再現(xiàn)】 1．（xx年高考（四川理））如圖,正方形的邊長為,延長至,使,連接、則（　?。? A． B． C． D． 3. （xx年高考（陜西理））如圖,在圓O中,直徑AB與弦CD垂直,垂足為E,,垂足為F,若,,則__________. 【解析】:,,,在中, A B O P 圖2 4. （xx年高考（湖南理））如圖2,過點(diǎn)P的直線與圓O相交于A,B兩點(diǎn).若PA=1,AB=2,PO=3,則圓O的半徑等于_______. 【答案】 【解析】設(shè)交圓O于C,D,如圖,設(shè)圓的

2、半徑為R,由割線定理知 5．（xx年高考（廣東理））(幾何證明選講)如圖3,圓的半徑為1,、、是圓周上的三點(diǎn),滿足,過點(diǎn)作圓的切線與的延長線交于點(diǎn),則__________. 【答案】 【解析】:連接,則,,因?yàn)?所以. 6．（xx年高考（天津文））如圖,已知和是圓的兩條弦,過點(diǎn)作圓的切線與的延長線相交于.過點(diǎn)作的平行線與圓交于點(diǎn),與相交于點(diǎn),,,,則線段的長為____________. 7．（xx年高考（陜西文））如圖,在圓O中,直徑AB與弦CD垂直,垂足為E,,垂足為F,若,,則___ ______. 【解析】:,,,在中, 9．（xx年高考（新課標(biāo)理））選修

3、4-1:幾何證明選講 如圖,分別為邊的中點(diǎn),直線交的外接圓于兩點(diǎn),若,證明: (1); (2) 【解析】(1), (2) 10．（xx年高考（遼寧理））選修41:幾何證明選講 如圖,⊙O和⊙相交于兩點(diǎn),過A作兩圓的切線分別交兩圓于C,D兩點(diǎn),連接DB并延長交⊙O于點(diǎn)E.證明： (Ⅰ); (Ⅱ) . 【答案及解析】 11．（xx年高考（江蘇））[選修4 - 1:幾何證明選講]如圖,是圓的直徑,為圓上位于異側(cè)的兩點(diǎn),連結(jié)并延長至點(diǎn),使,連結(jié). 求證:. 【解析】證明:連接. ∵是圓的直徑,∴(直徑所對(duì)的圓周角是直角).

4、 ∴(垂直的定義). 又∵,∴是線段的中垂線(線段的中垂線定義). ∴(線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等). ∴(等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)). 又∵為圓上位于異側(cè)的兩點(diǎn), ∴(同弧所對(duì)圓周角相等). ∴(等量代換). 【方法總結(jié)】 注意結(jié)合圖形的性質(zhì)特點(diǎn)靈活選擇判定定理．在一個(gè)題目中，判定定理和性質(zhì)定理可能多次用到．涉及圓的切線問題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角． 【考點(diǎn)剖析】 一．明確要求 考查相似三角形的判定和性質(zhì)定理的應(yīng)用及直角三角形的射影定理的應(yīng)用；考查圓的切線定理和性

5、質(zhì)定理的應(yīng)用；考查相交弦定理，切割線定理的應(yīng)用；考查圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)定理． 二．命題方向 牢牢抓住圓的切線定理和性質(zhì)定理，以及圓周角定理和弦切角等有關(guān)知識(shí)，重點(diǎn)掌握解決問題的基本方法；緊緊抓住相交弦定理、切割線定理以及圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)定理，重點(diǎn)以基本知識(shí)、基本方法為主，通過典型的題組訓(xùn)練，掌握解決問題的基本技能. 三．規(guī)律總結(jié) 1．平行截割定理 (1)平行線等分線段定理及其推論 ①定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也相等． ②推論：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)而且平行于底邊的直線平分另一腰． (2)平行截割定

6、理及其推論 ①定理：兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對(duì)應(yīng)線段成比例． ②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，截得的三角形與原三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例． (3)三角形角平分線的性質(zhì) 三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊成兩段的長度比等于夾角兩邊長度的比． (4)梯形的中位線定理 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半． 2．相似三角形 基礎(chǔ)梳理 1．圓周角定理 (1)圓周角：頂點(diǎn)在圓周上且兩邊都與圓相交的角． (2)圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧度數(shù)的一半． (3)圓周角定理的推論 ①同弧(或等弧)上的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓

7、周角所對(duì)的弧相等． ②半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是90°；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑． 2．圓的切線 (1)直線與圓的位置關(guān)系 直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 直線到圓心的距離d與圓的半徑r的關(guān)系 相交 兩個(gè) d＜r 相切 一個(gè) d＝r 相離 無 d＞r (2)切線的性質(zhì)及判定 ①切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑． ②切線的判定定理 過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線． (3)切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長相等． 基礎(chǔ)梳理 1．圓中的比例線段 定理名稱 基本圖形 條件 結(jié)論 應(yīng)用 相交弦定理 弦AB、CD相交于

8、圓內(nèi)點(diǎn)P (1)PA·PB＝PC·PD； (2)△ACP∽ △DBP (1)在PA、PB、PC、PD四線段中知三求一； (2)求弦長及角 切割線定理 PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線 (1)PA2＝PB·PC； (2)△PAB∽△PCA (1)已知PA、PB、PC知二可求一； (2)求解AB、AC 割線定理 PAB、PCD是⊙O的割線　 (1)PA·PB＝PC·PD； (2)△PAC∽△PDB (1)求線段PA、PB、PC、PD及AB、CD； (2)應(yīng)用相似求AC、BD 2.圓內(nèi)接四邊形 (1)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)． (

9、2)圓內(nèi)接四邊形判定定理： ①如果四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則此四邊形內(nèi)接于圓； ②若兩點(diǎn)在一條線段同側(cè)且對(duì)該線段張角相等，則此兩點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)共圓，特別的，對(duì)定線段張角為直角的點(diǎn)共圓． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 2．（經(jīng)典習(xí)題）如圖所示，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于F，寫出圖中所有與△ACE相似的三角形________． 3．（經(jīng)典習(xí)題）如圖所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，則AC∶AE＝______，AD∶DB＝________. 4．（經(jīng)典習(xí)題）如圖所示，△

10、ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點(diǎn)P，則BP長為________． 5．（經(jīng)典習(xí)題）如圖所示，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為B、C，D是優(yōu)弧上的點(diǎn)，已知∠BAC＝80°， 那么∠BDC＝________. 6．（經(jīng)典習(xí)題）如圖所示，已知⊙O的兩條弦AB、CD相交于AB的中點(diǎn)E，且AB＝4，DE＝CE＋3，則CD的長為________． 【名校模擬】 一．基礎(chǔ)扎實(shí) 1． (北京市東城區(qū)xx第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（二）理) 如圖，直線與相切于點(diǎn)，割線經(jīng)過圓心，弦⊥于點(diǎn)，，，則

11、 ． 3．(北京市西城區(qū)xx屆高三4月第一次模擬考試試題理)如圖，為⊙的直徑，，弦交于點(diǎn)．若，，則_____． 4．如圖，切圓于點(diǎn)，割線經(jīng)過圓心，，則 . 5．（湖北xx高考沖刺理） 7．(華中師大一附中xx屆高考適應(yīng)性考試?yán)?（選修4—1：幾何證明選講） 如圖，⊙的直徑為6，Ｃ為圓周上一點(diǎn)，BC=3,過Ｃ作圓的切線l， 過A作l的垂線AD，垂足為Ｄ，則CD= . 8．(xx年大連沈陽聯(lián)合考試第二次模擬試題理) 已知為半圓的直徑，，為半圓上一.點(diǎn)，過點(diǎn)作半圓的切線，過點(diǎn)作于，交圓于點(diǎn)，．(Ⅰ

12、)求證：平分；(Ⅱ)求的長． 二．能力拔高 9．(xx東城區(qū)普通高中示范校高三綜合練習(xí)（二）理) 如圖，已知是⊙的切線，是切點(diǎn)，直線交⊙于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長交⊙于點(diǎn)，若，則= . 10．(xx黃岡市模擬及答題適應(yīng)性試?yán)? (幾何證明選講選做題)如右圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點(diǎn)P，若則的值為_________ 11．(xx年長春市高中畢業(yè)班第二次調(diào)研測(cè)試?yán)?如圖，在△中，是的平分線，△的外接圓交于點(diǎn)，. ⑴求證：；⑵當(dāng)，時(shí)，求的長. 13. (唐山市xx高三年級(jí)第一次模擬考試文)

13、 如圖，AB是圓O的直徑，以B為圓心的圓B與圓O的一個(gè)交點(diǎn)為P.過點(diǎn)A作直線交圓O于點(diǎn)Q,交圓B于點(diǎn)M、N. (I )求證：QM=QN; (II)設(shè)圓O的半徑為2,圓B的半徑為1,當(dāng)AM=時(shí)，求MN的長. 15. (中原六校聯(lián)誼xx年高三第一次聯(lián)考理) 如圖，⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O1的切線交⊙O2于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作兩圓的割線，分別交⊙O1、⊙O2于點(diǎn)D、E，DE與AC相交于點(diǎn)P． （1）求證：AD//EC； （2）若AD是⊙O2的切線，且PA=6，PC =2，BD =9，求AD的長。 三．提升自我 · · ·

14、P Q T O2 O1 16．(仙桃市xx年五月高考仿真模擬試題理)如圖，半徑分別為和的圓O1與圓O2外切于T，自圓O2上一點(diǎn)P引圓O1的切線，切點(diǎn)為Q，若PQ=2，則PT= 。 17．（湖北鐘祥一中xx高三五月適應(yīng)性考試?yán)恚?—1：幾何證明選講）如圖，是圓的切線，是切點(diǎn)，直線交圓于、兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長交圓于點(diǎn)，若，∠，則________． A B C D 第15題（1）圖 18．(襄陽五中高三年級(jí)第一次適應(yīng)性考試?yán)?如圖：直角三角形ABC中，∠B＝90 o，AB＝4，以BC為直徑的圓交邊AC于點(diǎn)D，AD＝2，則∠C的大小為

15、 ． 19．(湖北省武漢市xx屆高中畢業(yè)生五月供題訓(xùn)練（二）理) 如圖，已知C點(diǎn)在⊙O直徑BE的延長線上，CA切⊙O于A點(diǎn)，CD是∠ACB的平分線且交AB于點(diǎn)D．則∠ADC的度數(shù)是 . 20．(河北唐山市xx屆高三第三次模擬理)（本小題滿分10分）選修4—1；幾何證明選講 如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，O為BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑作半圓與BC邊、AB邊分別交于點(diǎn)D、E，連接DE。 （1）若BD=6，求線段DE的長； （2）過點(diǎn)E作半圓O的切線，交AC于點(diǎn)F， 證明：AF=EF。 21．(河北省唐山市xx高三年級(jí)第二次模擬考試?yán)?（本小題滿分10分）選修4-1:幾何證明選講 如圖，在△ABC中，BC邊上的點(diǎn)D滿足BD=2DC，以BD為直徑作圓O恰與CA相切于點(diǎn)A，過點(diǎn)B作BE⊥CA于點(diǎn)E，BE交圓D于點(diǎn)F． （I）求∠ABC的度數(shù)： （ II）求證：BD=4EF． 22．(xx年石家莊市高中畢業(yè)班第二次模擬考試文)已知四邊形ACBE,AB交CE于D點(diǎn)，(I )求證：；(II)求證:A、E、B、C四點(diǎn)共圓. 【原創(chuàng)預(yù)測(cè)】