(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練:8+6分項(xiàng)練2 不等式與推理證明 理

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1、(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練:8+6分項(xiàng)練2 不等式與推理證明 理 1.(2018·合肥模擬)已知非零實(shí)數(shù)a,b滿足a|a|>b|b|,則下列不等式一定成立的是(  ) A.a(chǎn)3>b3 B.a(chǎn)2>b2 C.< D.log|a|b2與log|a|

2、角星對角上的兩盞花燈依次按逆時(shí)針方向亮一盞,故下一個(gè)呈現(xiàn)出來的圖形是A,故選A. 3.(2018·北京師范大學(xué)附中模擬)已知a>0,b>0,并且,,成等差數(shù)列,則a+9b的最小值為(  ) A.16 B.9 C.5 D.4 答案 A 解析 ∵,,成等差數(shù)列,∴+=1. ∴a+9b=(a+9b)=10++≥10+2=16,當(dāng)且僅當(dāng)=且+=1,即a=4,b=時(shí)等號成立. 4.有三支股票A,B,C,28位股民的持有情況如下:每位股民至少持有其中一支股票,在不持有A股票的人中,持有B股票的人數(shù)是持有C股票的人數(shù)的2倍.在持有A股票的人中,只持有A股票的人數(shù)比除了持有A股票外,同時(shí)還持

3、有其它股票的人數(shù)多1.在只持有一支股票的人中,有一半持有A股票.則只持有B股票的股民人數(shù)是(  ) A.7 B.6 C.5 D.4 答案 A 解析 設(shè)只持有A股票的人數(shù)為X(如圖所示), 則持有A股票還持有其它股票的人數(shù)為X-1(圖中d+e+f的和),因?yàn)橹怀钟幸恢Ч善钡娜酥?,有一半持有A股票,則只持有了B或C股票的人數(shù)和為X(圖中b+c部分).假設(shè)只同時(shí)持有了B和C股票的人數(shù)為a(如圖所示),那么X+X-1+X+a=28,即3X+a=29,則X的取值可能是9,8,7,6,5,4,3,2,1.與之對應(yīng)的a值為2,5,8,11,14,17,20,23,26. 因?yàn)闆]持有A

4、股票的股民中,持有B股票的人數(shù)為持有C股票人數(shù)的2倍,得b+a=2(c+a),即X-a=3c,故當(dāng)X=8,a=5時(shí)滿足題意,故c=1,b=7,故只持有B股票的股民人數(shù)是7,故選A. 5.(2018·哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬)設(shè)點(diǎn)(x,y)滿足約束條件且x∈Z,y∈Z,則這樣的點(diǎn)共有(  ) A.12個(gè) B.11個(gè) C.10個(gè) D.9個(gè) 答案 A 解析 畫出表示的可行域(含邊界),由圖可知, 滿足x∈Z,y∈Z的(x,y) 有(-4,-1),(-3,0),(-2,1),(-2,0),(-1,0), (-1,1),(-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3

5、),(1,0),共12個(gè). 6.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù),通過這一原理,很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明,也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形,點(diǎn)F在半圓O上,點(diǎn)C在直徑AB上,且OF⊥AB,設(shè)AC=a,BC=b,則該圖形可以完成的無字證明為(  ) A.≥(a>0,b>0) B.a(chǎn)2+b2≥2ab(a>0,b>0) C.≤(a>0,b>0) D.≤ (a>0,b>0) 答案 D 解析 由AC=a,BC=b,可得圓O的半徑r=, 又OC=OB-BC=-b=, 則FC2=OC2+OF2=+=, 再

6、根據(jù)題圖知FO≤FC,即≤ ,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號.故選D. 7.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件如果目標(biāo)函數(shù)z=x+ay的最大值為,則實(shí)數(shù)a的值為(  ) A.3 B. C.3或 D.3或- 答案 D 解析 先畫出線性約束條件所表示的可行域(含邊界),當(dāng)a=0時(shí)不滿足題意,故a≠0. 目標(biāo)函數(shù)化為y=-x+z,當(dāng)a>0時(shí),-<0, (1)當(dāng)-≤-<0,即a≥2時(shí),最優(yōu)解為A, z=+a=,a=3,滿足a≥2; (2)當(dāng)-<-,即00, (3)當(dāng)0<-<,即a<-2時(shí),最優(yōu)解為C

7、(-2,-2),z=-2-2a=,a=-,滿足a<-2; (4)當(dāng)-≥,即-2≤a<0時(shí),最優(yōu)解為B,z=3+a=,a=,不滿足-2≤a<0,舍去. 綜上,實(shí)數(shù)a的值為3或-,故選D. 8.(2018·天津市河?xùn)|區(qū)模擬)已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2-ab+4b2-c=0,當(dāng)取最小值時(shí),a+b-c的最大值為(  ) A.2 B. C. D. 答案 C 解析 正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2-ab+4b2-c=0,可得c=a2-ab+4b2, ==+-1≥2-1=3. 當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取得等號, 則當(dāng)a=2b時(shí),取得最小值,且c=6b2, ∴a+b-c=2b+b-6b2=-6b

8、2+3b =-62+, ∴當(dāng)b=時(shí),a+b-c有最大值. 9.(2018·華大新高考聯(lián)盟模擬)若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組則x2+y2的取值范圍是________. 答案 [0,2] 解析 畫出可行域如圖陰影部分所示(含邊界), x2+y2的幾何意義是陰影內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方,顯然O點(diǎn)為最小值點(diǎn),而A(1,1)為最大值點(diǎn),故x2+y2的取值范圍是[0,2]. 10.已知實(shí)數(shù)x,y滿足如果目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值為-1,則實(shí)數(shù)m=________. 答案 5 解析 繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示(含邊界), 聯(lián)立直線方程可得交點(diǎn)坐標(biāo)為A, 由目標(biāo)函數(shù)的

9、幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最小值, 所以-=-1,解得m=5. 11.(2018·南平模擬)若實(shí)數(shù)x,y滿足且z=mx+ny(m>0,n>0)的最大值為4,則+的最小值為________. 答案 2 解析 作出不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示(含邊界). 由可行域知可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)均滿足x≥0,y≥0. 所以要使z=mx+ny(m>0,n>0)最大,只需x最大,y最大即可,即在點(diǎn)A處取得最大值. 聯(lián)立解得A(2,2). 所以有2m+2n=4,即m+n=2. +=(m+n)=≥×(2+2)=2. 當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí),+取得最小值2. 12.(201

10、8·湘潭模擬)設(shè)x,y滿足約束條件若的最大值為2,則z=x-y的最小值為________. 答案?。? 解析 令X=x+y,Y=x-y,則x=,y=, 所以等價(jià)于 作出不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示(含邊界), 則=表示可行域內(nèi)一點(diǎn)(X,Y)與原點(diǎn)的連線的斜率, 由圖象可知,當(dāng)X=2a-,Y=時(shí),取得最大值,則=2, 解得a=, 聯(lián)立解得Y=-, 所以z的最小值為-. 13.中國古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》曾記載有“勾股各自乘,并而開方除之”,用符號表示為a2+b2=c2 (a,b,c∈N*),我們把a(bǔ),b,c叫做勾股數(shù).下列給出幾組勾股數(shù):3,4,5;5,12,13;

11、7,24,25;9,40,41,以此類推,可猜測第五組勾股數(shù)的三個(gè)數(shù)依次是________. 答案 11,60,61 解析 由前四組勾股數(shù)可得第五組的第一個(gè)數(shù)為11,第二,三個(gè)數(shù)為相鄰的兩個(gè)整數(shù),可設(shè)為x,x+1, 所以(x+1)2=112+x2,所以x=60, 所以第五組勾股數(shù)的三個(gè)數(shù)依次是11,60,61. 14.(2018·漳州質(zhì)檢)分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué).分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜,但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的.一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式,即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).下面我們用分形的方法來得到一系列圖形,如圖1,線段AB的長度為a,在

12、線段AB上取兩個(gè)點(diǎn)C,D,使得AC=DB=AB,以CD為一邊在線段AB的上方做一個(gè)正六邊形,然后去掉線段CD,得到圖2中的圖形;對圖2中的最上方的線段EF做相同的操作,得到圖3中的圖形;依此類推,我們就得到了以下一系列圖形: 記第n個(gè)圖形(圖1為第1個(gè)圖形)中的所有線段長的和為Sn,現(xiàn)給出有關(guān)數(shù)列{Sn}的四個(gè)命題: ①數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列; ②數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列; ③存在最小的正數(shù)a,使得對任意的正整數(shù)n,都有Sn>2 018; ④存在最大的正數(shù)a,使得對任意的正整數(shù)n,都有Sn<2 018. 其中真命題是________.(請寫出所有真命題的序號) 答案?、冖? 解

13、析 由題意,得圖1中的線段為a,S1=a, 圖2中的正六邊形的邊長為, S2=S1+×4=S1+2a, 圖3中的最小正六邊形的邊長為, S3=S2+×4=S2+a, 圖4中的最小正六邊形的邊長為, S4=S3+×4=S3+, 由此類推,Sn-Sn-1=(n≥2), 即{Sn}為遞增數(shù)列,但不是等比數(shù)列, 即①錯(cuò)誤,②正確; 因?yàn)镾n=S1+(S2-S1)+(S3-S2)+…+(Sn-Sn-1) =a+2a+a++…+=a+ =a+4a<5a,n≥2, 又S1=a<5a, 所以存在最大的正數(shù)a=, 使得對任意的正整數(shù)n,都有Sn<2 018, 即④正確,③錯(cuò)誤.

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