(浙江專用)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案

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1、(浙江專用)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案 [考情考向分析] 1.以圖象為載體,考查三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性.2.考查三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、角的求值,重點(diǎn)考查分析、處理問題的能力,是高考的必考點(diǎn). 熱點(diǎn)一 三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及同角關(guān)系式 1.三角函數(shù):設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),則sin α=y(tǒng),cos α=x,tan α=(x≠0).各象限角的三角函數(shù)值的符號(hào):一全正,二正弦,三正切,四余弦. 2.同角基本關(guān)系式:sin2α+cos2α=1,=tan

2、α. 3.誘導(dǎo)公式:在+α,k∈Z的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變,符號(hào)看象限”. 例1 (1)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),則tan等于(  ) A.-7 B.- C. D.7 答案 A 解析 由角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),可得x=2,y=1,tan α==,∴tan 2α===, ∴tan===-7. (2)已知曲線f(x)=x3-2x2-x在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的傾斜角為α,則cos2-2cos2α-3sin(2π-α)·cos(π+α)的值為(  ) A. B.- C.

3、 D.- 答案 A 解析 由f(x)=x3-2x2-x可知f′(x)=3x2-4x-1, ∴tan α=f′(1)=-2, cos2-2cos2α-3sincos =(-sin α)2-2cos2α-3sin αcos α =sin2α-2cos2α-3sin αcos α = = ==. 思維升華 (1)涉及與圓及角有關(guān)的函數(shù)建模問題(如鐘表、摩天輪、水車等),常常借助三角函數(shù)的定義求解.應(yīng)用定義時(shí),注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關(guān),與終邊上點(diǎn)的位置無關(guān). (2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式時(shí)要弄清三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào);利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)過程要遵循一定的原則,如切化弦、化

4、異為同、化高為低、化繁為簡(jiǎn)等. 跟蹤演練1 (1)在平面直角坐標(biāo)系中,若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P,則sin(π+α)等于(  ) A.- B.- C. D. 答案 B 解析 由誘導(dǎo)公式可得, sin=sin=-sin=-, cos=cos=cos=, 即P, 由三角函數(shù)的定義可得,sin α==, 則sin=-sin α=-. (2)已知sin(3π+α)=2sin,則等于(  ) A. B. C. D.- 答案 D 解析 ∵sin(3π+α)=2sin, ∴-sin α=-2cos α,即sin α=2cos α, 則= ===-. 熱點(diǎn)二 三角函數(shù)的

5、圖象及應(yīng)用 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象 (1)“五點(diǎn)法”作圖: 設(shè)z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值與相應(yīng)的y的值,描點(diǎn)、連線可得. (2)圖象變換: (先平移后伸縮)y=sin xy=sin(x+φ) y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ). (先伸縮后平移)y=sin x y=sin ωxy=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ). 例2 (1)已知函數(shù)f(x)=sin(ω>0)的最小正周期為π,為了得到函數(shù)g(x)=cos ωx的圖象,只要將y=f(x)的圖象(  ) A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C.

6、向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 答案 A 解析 由題意知,函數(shù)f(x)的最小正周期T=π, 所以ω=2,即f(x)=sin,g(x)=cos 2x. 把g(x)=cos 2x變形得g(x)=sin=sin,所以只要將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,即可得到g(x)=cos 2x的圖象,故選A. (2)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)在區(qū)間上的值域?yàn)閇-1,2],則θ=________. 答案  解析 函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如題圖所示, 則

7、A=2,=-=,解得T=π, 所以ω=2,即f(x)=2sin(2x+φ), 當(dāng)x=π,f?=2sin=2, ∴+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=-π+2kπ,k∈Z, 又|φ|<π,解得φ=-, 所以f(x)=2sin, 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象, 所以g(x)=2sin=2cos 2x, 若函數(shù)g(x)在區(qū)間上的值域?yàn)閇-1,2], 則2cos 2θ=-1,則θ=kπ+,k∈Z或θ=kπ+,k∈Z, 所以θ=. 思維升華 (1)已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象求解析式時(shí),常采用待定系數(shù)法,由圖中的最高點(diǎn)、最低

8、點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A;由函數(shù)的周期確定ω;確定φ常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解,其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口,可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置. (2)在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換,還是先周期變換.變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的,如果x的系數(shù)不是1,就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長(zhǎng)度數(shù)和方向. 跟蹤演練2 (1)若將函數(shù)y=cos ωx(ω>0)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)y=sin ωx的圖象重合,則ω的最小值為(  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 將函數(shù)y=cos ωx(ω>0)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的解析式為y=cos ω =

9、cos. ∵平移后得到的函數(shù)圖象與函數(shù)y=sin ωx的圖象重合, ∴-=2kπ-(k∈Z),即ω=-6k+(k∈Z). ∴當(dāng)k=0時(shí),ω=. (2)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則ω=________;函數(shù)f(x)在區(qū)間上的零點(diǎn)為________. 答案 2  解析 從圖中可以發(fā)現(xiàn),相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,-,從而求得函數(shù)的最小正周期為T=2=π,根據(jù)T=可求得ω=2.再結(jié)合題中的條件可以求得函數(shù)的解析式為f(x)=2sin,令2x-=kπ(k∈Z),解得x=+(k∈Z),結(jié)合所給的區(qū)間,整理得出x=. 熱點(diǎn)三 三角函數(shù)的性質(zhì) 1.

10、三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 y=sin x的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z),單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z); y=cos x的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ,2kπ+π](k∈Z); y=tan x的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z). 2.y=Asin(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù); 當(dāng)φ=kπ+(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù); 對(duì)稱軸方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得. y=Acos(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ+(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù); 當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù); 對(duì)稱軸方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得. y=Atan(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ(k∈

11、Z)時(shí)為奇函數(shù). 例3 (2017·浙江)已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(x∈R). (1)求f?的值; (2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 解 (1)由sin=,cos=-,得 f?=2-2-2××=2. (2)由cos 2x=cos2x-sin2x與sin 2x=2sin xcos x得, f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin. 所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函數(shù)的性質(zhì)得, +2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z, 解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z). 思維升華 函

12、數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)及應(yīng)用類題目的求解思路 第一步:先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式; 第二步:把“ωx+φ”視為一個(gè)整體,借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求y=Asin(ωx+φ)+B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對(duì)稱性等問題. 跟蹤演練3 (2018·寧波模擬)已知函數(shù)f(x)=2sin xcos x+1-2sin2 x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值與最小值. 解 (1)因?yàn)閒(x)=sin 2x+cos 2x=sin, 所以f(x)的最小正周期為π. (2)因?yàn)椋躼≤, 所以-≤2x+≤.

13、 當(dāng)2x+=,即x=時(shí),f(x)取得最大值; 當(dāng)2x+=-,即x=-時(shí), f?=sin+cos=-, 即f(x)的最小值為-. 真題體驗(yàn) 1.(2018·全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=2sin x+sin 2x,則f(x)的最小值是________. 答案 - 解析 f′(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1) =2(2cos2x+cos x-1)=2(2cos x-1)(cos x+1). ∵cos x+1≥0, ∴當(dāng)-1≤cos x<時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)0,f(x)單調(diào)遞增,

14、∴當(dāng)cos x=時(shí),f(x)有最小值. 又f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x), ∴當(dāng)sin x=-時(shí),f(x)有最小值, 即f(x)min=2××=-. 2.(2018·全國(guó)Ⅱ改編 )若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是減函數(shù),則a的最大值是________. 答案  解析 f(x)=cos x-sin x =- =-sin, 當(dāng)x∈,即x-∈時(shí), y=sin單調(diào)遞增, f(x)=-sin單調(diào)遞減. ∵函數(shù)f(x)在[-a,a]上是減函數(shù), ∴[-a,a]?, ∴0

15、)將函數(shù)y=sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)________.(填序號(hào)) ①在區(qū)間上單調(diào)遞增; ②在區(qū)間上單調(diào)遞減; ③在區(qū)間上單調(diào)遞增; ④在區(qū)間上單調(diào)遞減. 答案?、? 解析 函數(shù)y=sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為y=sin=sin 2x,則函數(shù)y=sin 2x的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為,一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為.由此可判斷①正確. 4.(2018·全國(guó)Ⅲ)函數(shù)f(x)=cos在[0,π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為______. 答案 3 解析 由題意可知,當(dāng)3x+=kπ+(k∈Z)時(shí), f(x)=cos=0. ∵x∈[0,π], ∴3x+∈, ∴當(dāng)3x+的取

16、值為,,時(shí),f(x)=0, 即函數(shù)f(x)=cos在[0,π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3. 押題預(yù)測(cè) 1.已知函數(shù)f(x)=sin(x∈R,ω>0)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.為了得到函數(shù)g(x)=cos ωx的圖象,只要將y=f(x)的圖象(  ) A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 押題依據(jù) 本題結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)確定函數(shù)解析式,然后考查圖象的平移,很有代表性,考生應(yīng)熟練掌握?qǐng)D象平移規(guī)則,防止出錯(cuò). 答案 A 解析 由于函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為,則其最小正周期T=π, 所以ω==2,即f(x)

17、=sin,g(x)=cos 2x. 把g(x)=cos 2x變形得g(x)=sin=sin,所以要得到函數(shù)g(x)的圖象,只要將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可.故選A. 2.如圖,函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ) 與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)P,Q,R滿足P(2,0),∠PQR=,M為QR的中點(diǎn),PM=2,則A的值為(  ) A. B. C.8 D.16 押題依據(jù) 由三角函數(shù)的圖象求解析式是高考的熱點(diǎn),本題結(jié)合平面幾何知識(shí)求A,考查數(shù)形結(jié)合思想. 答案 B 解析 由題意設(shè)Q(a,0),R(0,-a)(a>0). 則M,由兩點(diǎn)間距離公式,得 PM==2, 解得a1=8,

18、a2=-4(舍去), 由此得=8-2=6,即T=12,故ω=, 由P(2,0)得φ=-, 代入f(x)=Asin(ωx+φ), 得f(x)=Asin, 從而f(0)=Asin=-8, 得A=. 3.已知函數(shù)f(x)=cos4x-2sin xcos x-sin4x. (1)若x是某三角形的一個(gè)內(nèi)角,且f(x)=-,求角x的大小; (2)當(dāng)x∈時(shí),求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)x的值. 押題依據(jù) 三角函數(shù)解答題的第(1)問的常見形式是求周期、求單調(diào)區(qū)間及求對(duì)稱軸方程(或?qū)ΨQ中心)等,這些都可以由三角函數(shù)解析式直接得到,因此此類命題的基本方式是利用三角恒等變換得到函數(shù)的解析式.

19、第(2)問的常見形式是求解函數(shù)的值域(或最值),特別是指定區(qū)間上的值域(或最值),是高考考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)命題的基本模式. 解 (1)∵f(x)=cos4x-2sin xcos x-sin4x =(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin 2x =cos 2x-sin 2x = =cos, ∴f(x)=cos=-, 可得cos=-. 由題意可得x∈(0,π), ∴2x+∈, 可得2x+=或, ∴x=或. (2)∵x∈,∴2x+∈, ∴cos∈, ∴f(x)=cos∈[-,1]. ∴f(x)的最小值為-,此時(shí)2x+=π, 即x=. A組

20、 專題通關(guān) 1.函數(shù)y=sin x(cos x-sin x),x∈R的值域是(  ) A. B. C. D. 答案 D 解析 y=sin xcos x-sin2x=sin 2x- =-+sin∈, 故選D. 2.(2018·浙江金華十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=sin(x∈R,ω>0)與g(x)=cos(2x+φ)的對(duì)稱軸完全相同.為了得到h(x)=cos的圖象,只需將y=f(x)的圖象(  ) A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 答案 A 解析 由ωx+=+k1π,k1∈Z得函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x

21、=+,k1∈Z,由2x+φ=k2π,k2∈Z得函數(shù)g(x)的對(duì)稱軸為x=-+,k2∈Z.因?yàn)閮珊瘮?shù)的對(duì)稱軸完全相同,所以解得則f(x)=sin,h(x)=cos,將函數(shù)f(x)=sin的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)解析式為y=sin=sin=cos,故選A. 3.(2018·浙江省金麗衢十二校聯(lián)考)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象如圖所示,則φ等于(  ) A.- B.- C. D. 答案 B 解析 由題圖易得函數(shù)f(x)的最小正周期為=2,解得ω=2,則f(x)=Asin(2x+φ),又因?yàn)楫?dāng)x=時(shí),f(x)取得最大值,所以2×+φ=+2kπ,k∈Z,解得

22、φ=-+2kπ,k∈Z,又因?yàn)閨φ|<,所以φ=-,故選B. 4.(2018·浙江教育綠色評(píng)價(jià)聯(lián)盟適應(yīng)性考試)設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+acos x+b在上的最大值是M,最小值是m,則M-m(  ) A.與a有關(guān),且與b有關(guān) B.與a有關(guān),且與b無關(guān) C.與a無關(guān),且與b無關(guān) D.與a無關(guān),且與b有關(guān) 答案 B 解析 令t=cos x,則g(t)=-t2+at+b+1(0≤t≤1),由題意得,①當(dāng)<0,即a<0時(shí),g(0)為最大值,g(1)為最小值,此時(shí)M-m=1-a;②當(dāng)>1,即a>2時(shí),g(0)為最小值,g(1)為最大值,此時(shí)M-m=a-1; ③當(dāng)≤≤1,即1≤a≤2時(shí),M

23、取g,m取g(0),此時(shí)M-m=;④當(dāng)0≤<,即0≤a<1時(shí),M取g,m取g(1),此時(shí)M-m=+1-a.綜上所述,M-m與a有關(guān),但與b無關(guān),故選B. 5.函數(shù)f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)圖象的相鄰對(duì)稱軸之間的距離為,則下列結(jié)論正確的是(  ) A.f(x)的最大值為1 B.f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱 C.f?的一個(gè)零點(diǎn)為x=- D.f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減 答案 D 解析 因?yàn)閒(x)=sin ωx+cos ωx=2sin的相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為, 所以=π,得ω=2,即f(x)=2sin, 所以f(x)的最大值為2,所以A錯(cuò)誤; 當(dāng)x=時(shí),2x

24、+=π,所以f?=0, 所以x=不是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸,所以B錯(cuò)誤; 由f?=2sin =-2sin, 當(dāng)x=-時(shí),f?=2≠0, 所以x=-不是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),所以C錯(cuò)誤; 當(dāng)x∈時(shí),2x+∈,f(x)單調(diào)遞減,所以D正確. 6.(2018·浙江省金華十校模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊過點(diǎn)P(-,-1),則tan α=________,cos α+sin=________. 答案  0 解析 ∵角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊過點(diǎn)P(-,-1), ∴x=-,y=-1, ∴tan α==, cos

25、 α+sin=cos α-cos α=0. 7.已知tan α=2,則=________. 答案  解析 ∵tan 2α==-, ∴= ===. 8.(2017·全國(guó)Ⅱ)函數(shù)f(x)=sin2x+cos x-的最大值是________. 答案 1 解析 f(x)=1-cos2x+cos x- =-2+1. ∵x∈,∴cos x∈[0,1], ∴當(dāng)cos x=時(shí),f(x)取得最大值,最大值為1. 9.設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x-π)=f(x)-sin x,當(dāng)-π

26、 x, ∴f(x)=f(x-π)+sin x, 則f(x+π)=f(x)+sin(x+π)=f(x)-sin x. ∴f(x+π)=f(x-π),即f(x+2π)=f(x). ∴函數(shù)f(x)的周期為2π, ∴f?=f?=f? =f?+sin. ∵當(dāng)-π

27、實(shí)數(shù)b的取值范圍. 解 m=(sin ωx,1),n=(cos ωx,cos2ωx+1), f(x)=m·n+b=sin ωxcos ωx+cos2ωx+1+b =sin 2ωx+cos 2ωx++b =sin++b. (1)∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱, ∴2ω·+=kπ+(k∈Z), 解得ω=3k+1(k∈Z), ∵ω∈[0,3],∴ω=1, ∴f(x)=sin++b, 由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z), 解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z). (2)由(1)知f(x)=sin++b, ∵x∈,∴2x+∈,

28、 ∴當(dāng)2x+∈,即x∈時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)2x+∈,即x∈時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減. 又f(0)=f?, ∴當(dāng)f?>0≥f?或f?=0時(shí),函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn), 即sin≤-b-

29、 θ=,cos θ=, ∵∠AOC=α,BC=1,∴θ+α=, 則α=-θ, 則cos2-sin cos -=cos α-sin α =cos=cos=sin θ=. 12.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其圖象與直線y=3相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為π,若f(x)>2對(duì)任意x∈恒成立,則φ的取值范圍是(  ) A. B. C. D. 答案 D 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其圖象與直線y=3相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為π,所以函數(shù)的周期為T=π,ω=2, 當(dāng)x∈時(shí),2x+φ∈, 且|φ|≤, 由f(x)>2知,sin(2x+φ)>, 所以解得

30、≤φ≤. 13.已知2sin αtan α=3,且0<α<π. (1)求α的值; (2)求函數(shù)f(x)=4cos xcos(x-α)在的值域. 解 (1)由已知得2sin2α=3cos α, 則2cos2α+3cos α-2=0, 所以cos α=或cos α=-2(舍), 又因?yàn)?<α<π,所以α=. (2)由(1)得f(x)=4cos xcos =4cos x =2cos2x+2sin xcos x =1+cos 2x+sin 2x =1+2sin, 由0≤x≤,得≤2x+≤, 所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最小值f(0)=2, 當(dāng)x=時(shí),f(x)取得最大值f=

31、3, 所以函數(shù)f(x)在上的值域?yàn)閇2,3]. 14.已知a>0,函數(shù)f(x)=-2asin+2a+b,當(dāng)x∈時(shí),-5≤f(x)≤1. (1)求常數(shù)a,b的值; (2)設(shè)g(x)=f?且lg g(x)>0,求g(x)的單調(diào)區(qū)間. 解 (1)∵x∈, ∴2x+∈. ∴sin∈, ∴-2asin∈[-2a,a]. ∴f(x)∈[b,3a+b], 又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1, 因此a=2,b=-5. (2)由(1)得f(x)=-4sin-1, ∴g(x)=f?=-4sin-1 =4sin-1. 又由lg g(x)>0,得g(x)>1, ∴4sin-1>1, ∴sin>, ∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z, 其中當(dāng)2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z, 即kπ

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