（浙江專用）2022年高考數(shù)學一輪總復習 專題5 平面向量與解三角形 5.3 正弦、余弦定理及解三角形檢測

（浙江專用）2022年高考數(shù)學一輪總復習 專題5 平面向量與解三角形 5.3 正弦、余弦定理及解三角形檢測考點內(nèi)容解讀5年考情預測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點正弦、余弦定理1.理解正弦定理、余弦定理的推導過程.2.掌握正弦定理、余弦定理并能靈活運用.2018浙江,13三角形邊和角的求法三角恒等變換解三角形及其綜合應用能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決與三角形有關(guān)的幾何問題以及和測量有關(guān)的實際問題.2016浙江,16三角形角的求法三角形的面積2015浙江,16三角形邊和角的求法三角形的面積2014浙江,18三角形角和面積的求法三角恒等變換【考點集訓】考點一正弦、余弦定理1.(2018浙江紹興高三3月適應性模擬,6)在ABC中,內(nèi)角C為鈍角,sin C=,AC=5,AB=3,則BC=() A.2B.3C.5D.10答案A2.(2018浙江嵊州高三期末質(zhì)檢,14)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若cos(A+C)=,a=2,b=4,則sin A=,c=. 答案;3考點二解三角形及其綜合應用1.(2018浙江湖州、衢州、麗水第一學期質(zhì)檢,15)在銳角ABC中,AD是BC邊上的中線,若AB=3,AC=4,ABC的面積是3,則AD=. 答案2.(2015湖北,13,5分)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600 m后到達B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=m. 答案100煉技法【方法集訓】方法有關(guān)三角形面積的計算1. (2018浙江杭州高三教學質(zhì)檢,13)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=,b=3,sin C=2sin A,則sin A= ;設(shè)D為AB邊上一點,且=2,則BCD的面積為. 答案;22.(2018浙江金華十校高考模擬(4月),18)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B.(1)證明:c=2b;(2)若ABC的面積S=5b2-a2,求tan A的值.解析(1)證明:由sin A=sin(B-C)+2sin 2B,知sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B,展開化簡得,cos Bsin C=2sin Bcos B,又因為B,所以sin C=2sin B,由正弦定理得,c=2b.(2)因為ABC的面積S=5b2-a2,所以有bcsin A=5b2-a2,由(1)知c=2b,代入上式得b2sin A=5b2-a2,所以a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A,代入得b2sin A=4b2cos A,tan A=4.過專題【五年高考】A組自主命題·浙江卷題組考點一正弦、余弦定理(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=,b=2,A=60°,則sin B=,c=. 答案;3考點二解三角形及其綜合應用1.(2017浙江,11,4分)我國古代數(shù)學家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率,理論上能把的值計算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”,將的值精確到小數(shù)點后七位,其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年.“割圓術(shù)”的第一步是計算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6,S6=. 答案 2.(2016浙江,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)證明:A=2B;(2)若ABC的面積S=,求角A的大小.解析(1)證明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0<A-B<,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由S=得absin C=,故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B,因sin B0,得sin C=cos B.又B,C(0,),所以C=±B.當B+C=時,A=;當C-B=時,A=.綜上,A=或A=.評析本題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦定理和三角形面積公式等基礎(chǔ)知識,同時考查運算求解能力.3.(2015浙江,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若ABC的面積為3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由A=,即B+C=,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C(0,)得sin C=,cos C=.又因為sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.由正弦定理得c=b,又因為A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.評析本題主要考查三角函數(shù)、正弦定理等基礎(chǔ)知識,同時考查運算求解能力.4.(2015浙江文,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知tan=2.(1)求的值;(2)若B=,a=3,求ABC的面積.解析(1)由tan=2,得tan A=,所以=.(2)由tan A=,A(0,),得sin A=,cos A=.又由a=3,B=及正弦定理得b=3.由sin C=sin(A+B)=sin得sin C=.設(shè)ABC的面積為S,則S=absin C=9.評析本題主要考查三角恒等變換、正弦定理等基礎(chǔ)知識,同時考查運算求解能力.5.(2014浙江,18,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知ab,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求ABC的面積.解析(1)由題意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin=sin.由ab,得AB,又A+B(0,),得2A-+2B-=,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sin A=,=,得a=,由a<c,得A<C.從而cos A=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,所以ABC的面積S=acsin B=.評析本題主要考查誘導公式、兩角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識,同時考查運算求解能力.B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點一正弦、余弦定理 1.(2018課標全國理,6,5分)在ABC中,cos=,BC=1,AC=5,則AB=()A.4B.C.D.2答案A2.(2017山東理,9,5分)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若ABC為銳角三角形,且滿足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,則下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A3.(2018課標全國文,16,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,則ABC的面積為. 答案4.(2017課標全國文,16,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B=. 答案5.(2018課標全國理,17,12分)在平面四邊形ABCD中,ADC=90°,A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=2,求BC.解析(1)在ABD中,由正弦定理得=.由題設(shè)知,=,所以sinADB=.由題設(shè)知,ADB<90°,所以cosADB=.(2)由題設(shè)及(1)知,cosBDC=sinADB=.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cosBDC=25+8-2×5×2×=25.所以BC=5.方法總結(jié)正、余弦定理的應用原則(1)正弦定理是一個連比等式,在運用此定理時,只要知道其中一對的比值或等量關(guān)系就可以通過該定理解決問題,在解題時要學會靈活運用.(2)運用余弦定理時,要注意整體思想的應用.(3)在利用正、余弦定理判斷三角形形狀時,等式兩邊一般不要約去公因式,應移項提取公因式,以免漏解.(4)在利用正弦定理求三角形解的個數(shù)問題時,可能會出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況,所以解答此類問題時需要進行分類討論,以免漏解或增解.6.(2015課標,17,12分)ABC中,D是BC上的點,AD平分BAC,ABD面積是ADC面積的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的長.解析(1)SABD=AB·ADsinBAD,SADC=AC·ADsinCAD.因為SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得=.(2)因為SABDSADC=BDDC,所以BD=.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcosADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.考點二解三角形及其綜合應用1.(2018課標全國文,11,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若ABC的面積為,則C=()A.B.C.D.答案C2.(2014課標,4,5分)鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=,則AC=()A.5B.C.2D.1答案B3.(2018北京文,14,5分)若ABC的面積為(a2+c2-b2),且C為鈍角,則B=;的取值范圍是. 答案;(2,+)4.(2015課標,16,5分)在平面四邊形ABCD中,A=B=C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是. 答案(-,+)5.(2018天津文,16,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bsin A=acos.(1)求角B的大小;(2)設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,兩角差的正弦與余弦公式,二倍角的正弦與余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力.(1)在ABC中,由正弦定理可得bsin A=asin B,又由bsin A=acos,得asin B=acos,即sin B=cos,可得tan B=.又因為B(0,),可得B=.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=.由bsin A=acos,可得sin A=.因為a<c,故cos A=.因此sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=2cos2A-1=.所以sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=×-×=.6.(2017課標全國理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)設(shè)D為BC邊上一點,且ADAC,求ABD的面積.解析本題考查解三角形.(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去)或c=4.(2)由題設(shè)可得CAD=,所以BAD=BAC-CAD=.故ABD面積與ACD面積的比值為=1.又ABC的面積為×4×2sinBAC=2,所以ABD的面積為.思路分析(1)由sin A+cos A=0,可求得tan A=-,注意到A是三角形內(nèi)角,得A=,再由余弦定理求c.(2)由題意知CAD=,BAD=,于是可求得的值,再由SABC=×4×2sinBAC=2得解.一題多解(2)1題多解1:由余弦定理得cos C=,在RtACD中,cos C=,CD=,AD=,DB=CD=,SABD=SACD=×2××sin C=×=.1題多解2:BAD=,由余弦定理得cos C=,CD=,AD=,SABD=×4××sinDAB=.1題多解3:過B作BE垂直AD,交AD的延長線于E,在ABE中,EAB=-=,AB=4,BE=2,BE=CA,從而可得ADCEDB,BD=DC,即D為BC中點,SABD=SABC=××2×4×sinCAB=.C組教師專用題組考點一正弦、余弦定理1.(2017課標全國文,11,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,則C=() A.B.C.D.答案B2.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=,BC=3,C=120°,則AC=() A.1B.2C.3D.4答案A3.(2016課標全國,13,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,則b=. 答案4.(2015天津,13,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為3,b-c=2,cos A=-,則a的值為. 答案85.(2015福建,12,4分)若銳角ABC的面積為10,且AB=5,AC=8,則BC等于. 答案76.(2015廣東,11,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=,sin B=,C=,則b=. 答案17.(2015重慶,13,5分)在ABC中,B=120°,AB=,A的角平分線AD=,則AC=. 答案8.(2014天津,12,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,則cos A的值為. 答案-9.(2014廣東,12,5分)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,則=. 答案210.(2014福建,12,4分)在ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,則ABC的面積等于. 答案211.(2014江蘇,14,5分)若ABC的內(nèi)角滿足sin A+sin B=2sin C,則cos C的最小值是. 答案12.(2014課標,16,5分)已知a,b,c分別為ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,則ABC面積的最大值為. 答案13.(2017山東文,17,12分)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b=3,·=-6,SABC=3,求A和a.解析本題考查向量數(shù)量積的運算及解三角形.因為·=-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0<A<,所以A=.又b=3,所以c=2.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-2×3×2×=29,所以a=.14.(2016江蘇,15,14分)在ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的長;(2)求cos的值.解析(1)因為cos B=,0<B<,所以sin B=.由正弦定理知=,所以AB=5.(2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos +sin B·sin,又cos B=,sin B=,故cos A=-×+×=-.因為0<A<,所以sin A=.因此cos=cos Acos+sin Asin=-×+×=.評析本題主要考查正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與兩角和(差)的三角函數(shù),考查運算求解能力.15.(2016四川,17,12分)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且+=.(1)證明:sin Asin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.解析(1)證明:根據(jù)正弦定理,可設(shè)=k(k>0).則a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入+=中,有+=,變形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根據(jù)余弦定理,有cos A=.所以sin A=.由(1)可知sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B=4.評析本題考查的知識點主要是正、余弦定理以及兩角和的正弦公式.16.(2014湖南,18,12分)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cosCAD的值;(2)若cosBAD=-,sinCBA=,求BC的長.解析(1)在ADC中,由余弦定理,得cosCAD=.(2)設(shè)BAC=,則=BAD-CAD.因為cosCAD=,cosBAD=-,所以sinCAD=,sinBAD=.于是sin =sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=×-×=.在ABC中,由正弦定理,得=,故BC=3.考點二解三角形及其綜合應用1.(2014江西,4,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,則ABC的面積是() A.3B.C.D.3答案C2.(2014重慶,10,5分)已知ABC的內(nèi)角A,B,C滿足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面積S滿足1S2,記a,b,c分別為A,B,C所對的邊,則下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6abc12D.12abc24答案A3.(2017課標全國文,15,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,則A=. 答案75°4.(2015北京,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,則=. 答案15.(2014山東,12,5分)在ABC中,已知·=tan A,當A=時,ABC的面積為. 答案6.(2018北京理,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=-.(1)求A;(2)求AC邊上的高.解析(1)在ABC中,因為cos B=-,所以sin B=.由正弦定理得sin A=.由題設(shè)知<B<,所以0<A<.所以A=.(2)在ABC中,因為sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,所以AC邊上的高為asin C=7×=.方法總結(jié)處理解三角形相關(guān)的綜合題目時,首先要掌握正弦、余弦定理,其次結(jié)合圖形分析哪些邊、角是已知的,哪些邊、角是未知的,然后將方程轉(zhuǎn)化為只含有邊或角的方程,最后通過解方程求出邊或角.7.(2017課標全國理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周長.解析本題考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等變換,考查學生利用三角形面積公式進行運算求解的能力.(1)由題設(shè)得acsin B=,即csin B=.由正弦定理得sin Csin B=.故sin Bsin C=.(2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由題設(shè)得bcsin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故ABC的周長為3+.思路分析(1)首先利用三角形的面積公式可得acsin B=,然后利用正弦定理,把邊轉(zhuǎn)化成角的形式,即可得出sin Bsin C的值;(2)首先利用sin Bsin C的值以及題目中給出的6cos Bcos C=1,結(jié)合兩角和的余弦公式求出B+C,進而得出A,然后利用三角形的面積公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,進而得出ABC的周長.方法總結(jié)解三角形的綜合應用.(1)應用正弦定理、余弦定理主要是將條件轉(zhuǎn)化為僅有邊或僅有角的形式,以便進一步化簡計算,例如:將csin B=變形為sin Csin B=.(2)三角形面積公式:S=absin C=acsin B=bcsin A.(3)三角形的內(nèi)角和為.這一性質(zhì)經(jīng)常在三角化簡中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+C)=sin A.8.(2017課標全國理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面積為2,求b.解析本題考查了三角公式的運用和余弦定理的應用.(1)由題設(shè)及A+B+C=得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式兩邊平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故SABC=acsin B=ac.又SABC=2,則ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4.所以b=2.解后反思在余弦定理和三角形面積公式的運用過程中,要重視“整體運算”的技巧.如本題中b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的轉(zhuǎn)化就說明了這一點.9.(2017北京理,15,13分)在ABC中,A=60°,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面積.解析本題考查正、余弦定理的應用,考查三角形的面積公式.(1)在ABC中,因為A=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C=×=.(2)因為a=7,所以c=×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面積S=bcsin A=×8×3×=6.解后反思根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點,利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.在求解面積時,經(jīng)常用余弦定理求出兩邊乘積.10.(2016課標全國,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=,ABC的面積為,求ABC的周長.解析(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=,所以C=.(6分)(2)由已知,得absin C=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,從而(a+b)2=25.(10分)所以ABC的周長為5+.(12分)評析本題重點考查了正弦定理、余弦定理及三角形面積公式,同時,對三角恒等變換的公式也有所考查.在解題過程中,要注意先將已知條件中的“邊”與“角”的關(guān)系,通過正弦定理轉(zhuǎn)化為“角”之間的關(guān)系,再運用三角函數(shù)知識求解.11.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理及題設(shè)得cos B=.又因為0<B<,所以B=.(6分)(2)由(1)知A+C=.cos A+cos C=cos A+cos=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos.(11分)因為0<A<,所以當A=時,cos A+cos C取得最大值1.(13分)思路分析第(1)問條件中有邊的平方和邊的乘積,顯然應選用余弦定理求解.第(2)問用三角形內(nèi)角和定理將原三角函數(shù)式化為只含一個角的三角函數(shù)式,再注意角的取值范圍,問題得解.評析本題考查余弦定理、三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì).屬中檔題.12.(2015四川,19,12分)如圖,A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角.(1)證明:tan=;(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.解析(1)證明:tan=.(2)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B.由(1),有tan+tan+tan+tan=+=+.連接BD.在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A,在BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C,所以AB2+AD2-2AB·ADcos A=BC2+CD2+2BC·CDcos A.則cos A=.于是sin A=.連接AC.同理可得cos B=,于是sin B=.所以tan+tan+tan+tan=+=+=.評析本題主要考查二倍角公式、誘導公式、余弦定理、簡單的三角恒等變換等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力、推理論證能力,考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.13.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=,AB=6,AC=3,點D在BC邊上,AD=BD,求AD的長.解析設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sin B=,由題設(shè)知0<B<,所以cos B=.在ABD中,由正弦定理得AD=.14.(2015湖南,17,12分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btan A,且B為鈍角.(1)證明:B-A=;(2)求sin A+sin C的取值范圍.解析(1)證明:由a=btan A及正弦定理,得=,所以sin B=cos A,即sin B=sin.又B為鈍角,因此+A,故B=+A,即B-A=.(2)由(1)知,C=-(A+B)=-=-2A>0,所以A.于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2+.因為0<A<,所以0<sin A<,因此<-2+.由此可知sin A+sin C的取值范圍是.評析本題以解三角形為背景,考查三角恒等變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),對考生思維的嚴謹性有較高要求.15.(2015陜西,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.向量m=(a,b)與n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求ABC的面積.解析(1)因為mn,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B0,從而tan A=,由于0<A<,所以A=.(2)解法一:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A及a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因為c>0,所以c=3.故ABC的面積為bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,從而sin B=,又由a>b,知A>B,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以ABC的面積為absin C=.16.(2014陜西,16,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.(1)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比數(shù)列,求cos B的最小值.解析(1)證明:a,b,c成等差數(shù)列,a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).(2)a,b,c成等比數(shù)列,b2=ac.由余弦定理得cos B=,當且僅當a=c時等號成立.cos B的最小值為.評析本題考查了等差、等比數(shù)列,正、余弦定理,基本不等式等知識;考查運算求解能力.17.(2014大綱全國,17,10分)ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.解析由題設(shè)和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故3tan Acos C=2sin C,因為tan A=,所以cos C=2sin C,tan C=.(6分)所以tan B=tan180°-(A+C)=-tan(A+C)=(8分)=-1,即B=135°.(10分)18.(2014北京,15,13分)如圖,在ABC中,B=,AB=8,點D在BC邊上,且CD=2,cosADC=.(1)求sinBAD;(2)求BD,AC的長.解析(1)在ADC中,因為cosADC=,所以sinADC=.所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcosB-cosADCsinB=×-×=.(2)在ABD中,由正弦定理得BD=3.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=82+52-2×8×5×=49.所以AC=7.評析本題考查了正、余弦定理等三角形的相關(guān)知識;考查分析推理、運算求解能力.19.(2014安徽,16,12分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.解析(1)因為A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b·.因為b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A=-.由于0<A<,所以sin A=.故sin=sin Acos+cos Asin=×+×=.評析本題考查正、余弦定理,三角恒等變換等知識;考查基本運算求解能力;屬容易題.【三年模擬】一、選擇題(每小題4分,共16分)1.(2019屆浙江名校協(xié)作體高三聯(lián)考,3)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,已知A=45°,B=60°,b=,則a=() A.B.C.D.答案A2.(2019屆浙江嘉興9月基礎(chǔ)測試,8)在ABC中,已知cos A=,cos B=,c=4,則a=()A.12B.15C.D.答案D3.(2018浙江鎮(zhèn)海中學期中,10)若ABC沿著三條中位線折起后能夠拼接成一個三棱錐,則稱這樣的ABC為“和諧三角形”,設(shè)ABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,則下列條件不能夠確定該ABC為“和諧三角形”的是() A.ABC=72025B.sin Asin Bsin C=72025C.cos Acos Bcos C=72025D.tan Atan Btan C=72025答案B4.(2018浙江臺州第一次調(diào)考(4月),7)在ABC中,邊a,b,c所對的角分別為A,B,C,若a2=b2+c2-bc,sin C=2cos B,則()A.A=B.B=C.c=bD.c=2a答案D二、填空題(單空題4分,多空題6分,共24分)5.(2019屆衢州、湖州、麗水三地教學質(zhì)量檢測,14)已知ABC的面積為,A=60°,D是邊AC上一點,AD=2DC,BD=2,則AB=,cos C=. 答案2;6.(2019屆浙江名校新高考研究聯(lián)盟第一次聯(lián)考,14)在ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,A=60°,且ABC外接圓的半徑為,則a=,若b+c=3,則ABC的面積為. 答案3;7.(2018浙江名校協(xié)作體,14)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若c=2b,sin C=,則sin B=;若2a2+b2+c2=4,則ABC面積的最大值是. 答案;8.(2018浙江嘉興教學測試(4月),14)設(shè)ABC的三邊a,b,c所對的角分別為A,B,C,已知a2+2b2=c2,則=;tan B的最大值為. 答案-3;三、解答題(共20分)9.(2019屆金麗衢十二校高三第一次聯(lián)考,18)如圖,在ABC中,已知點D在邊AB上,AD=3DB,cos A=,cosACB=,BC=13.(1)求cos B的值;(2)求CD的長.解析(1)在ABC中,cos A=,A(0,),所以sin A=.同理可得sinACB=.所以cos B=cos-(A+ACB)=-cos(A+ACB)=sin AsinACB-cos AcosACB=×-×=.(2)在ABC中,由正弦定理得AB=20.又AD=3DB,所以BD=AB=5.在BCD中,由余弦定理得CD=9.10.(2018浙江杭州二中期中,18)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知tan C=.(1)求角C的大小;(2)若ABC的外接圓直徑為1,求a2+b2的取值范圍.解析(1)tan C=,即=,sin Ccos A+sin Ccos B=sin Acos C+sin Bcos C,即sin Ccos A-sin Acos C=sin Bcos C-sin Ccos B,即sin(C-A)=sin(B-C),C-A=B-C或C-A=-(B-C)(舍去),2C=A+B,C=.(2)由(1)知C=,故設(shè)A=+,B=-+,其中-<<,外接圓半徑為R,a=2Rsin A=sin A,b=2Rsin B=sin B.故a2+b2=sin2A+sin2B= (1-cos 2A)+ (1-cos 2B)=1+cos 2.-<<,-<2<,-<cos 21,<a2+b2.