（浙江專用）2022年高考數(shù)學一輪總復(fù)習 專題5 平面向量與解三角形 5.3 正弦、余弦定理及解三角形檢測

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1、（浙江專用）2022年高考數(shù)學一輪總復(fù)習 專題5 平面向量與解三角形 5.3 正弦、余弦定理及解三角形檢測考點內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點正弦、余弦定理1.理解正弦定理、余弦定理的推導過程.2.掌握正弦定理、余弦定理并能靈活運用.2018浙江,13三角形邊和角的求法三角恒等變換解三角形及其綜合應(yīng)用能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決與三角形有關(guān)的幾何問題以及和測量有關(guān)的實際問題.2016浙江,16三角形角的求法三角形的面積2015浙江,16三角形邊和角的求法三角形的面積2014浙江,18三角形角和面積的求法三角恒等變換【考點集訓】考點一正弦、余弦定理1.(2018浙江紹興

2、高三3月適應(yīng)性模擬,6)在ABC中,內(nèi)角C為鈍角,sin C=,AC=5,AB=3,則BC=() A.2B.3C.5D.10答案A2.(2018浙江嵊州高三期末質(zhì)檢,14)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若cos(A+C)=,a=2,b=4,則sin A=,c=.答案;3考點二解三角形及其綜合應(yīng)用1.(2018浙江湖州、衢州、麗水第一學期質(zhì)檢,15)在銳角ABC中,AD是BC邊上的中線,若AB=3,AC=4,ABC的面積是3,則AD=.答案2.(2015湖北,13,5分)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上,行駛600

3、 m后到達B處,測得此山頂在西偏北75的方向上,仰角為30,則此山的高度CD=m.答案100煉技法【方法集訓】方法有關(guān)三角形面積的計算1. (2018浙江杭州高三教學質(zhì)檢,13)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=,b=3,sin C=2sin A,則sin A= ;設(shè)D為AB邊上一點,且=2,則BCD的面積為.答案;22.(2018浙江金華十校高考模擬(4月),18)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B.(1)證明:c=2b;(2)若ABC的面積S=5b2-a2,求tan A的值.解析(1)證明:由sin A

4、=sin(B-C)+2sin 2B,知sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B,展開化簡得,cos Bsin C=2sin Bcos B,又因為B,所以sin C=2sin B,由正弦定理得,c=2b.(2)因為ABC的面積S=5b2-a2,所以有bcsin A=5b2-a2,由(1)知c=2b,代入上式得b2sin A=5b2-a2,所以a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A,代入得b2sin A=4b2cos A,tan A=4.過專題【五年高考】A組自主命題浙江卷題組考點一正弦、余弦定理(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所對的邊分

5、別為a,b,c.若a=,b=2,A=60,則sin B=,c=.答案;3考點二解三角形及其綜合應(yīng)用1.(2017浙江,11,4分)我國古代數(shù)學家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率,理論上能把的值計算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”,將的值精確到小數(shù)點后七位,其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年.“割圓術(shù)”的第一步是計算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6,S6=.答案 2.(2016浙江,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)證明:A=2B;(2)若ABC的面積S=,求角A的大小.解析(1)證明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Ac

6、os B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由S=得absin C=,故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B,因sin B0,得sin C=cos B.又B,C(0,),所以C=B.當B+C=時,A=;當C-B=時,A=.綜上,A=或A=.評析本題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦定理和三角形面積公式等基礎(chǔ)知識,同時考查運算求解能力.3.(2015浙江,1

7、6,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若ABC的面積為3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由A=,即B+C=,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C(0,)得sin C=,cos C=.又因為sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.由正弦定理得c=b,又因為A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.評析本題主要考查三角函數(shù)、正弦定理等基礎(chǔ)知識,同時

8、考查運算求解能力.4.(2015浙江文,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知tan=2.(1)求的值;(2)若B=,a=3,求ABC的面積.解析(1)由tan=2,得tan A=,所以=.(2)由tan A=,A(0,),得sin A=,cos A=.又由a=3,B=及正弦定理得b=3.由sin C=sin(A+B)=sin得sin C=.設(shè)ABC的面積為S,則S=absin C=9.評析本題主要考查三角恒等變換、正弦定理等基礎(chǔ)知識,同時考查運算求解能力.5.(2014浙江,18,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知ab,c=,co

9、s2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求ABC的面積.解析(1)由題意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin=sin.由ab,得AB,又A+B(0,),得2A-+2B-=,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sin A=,=,得a=,由ac,得AC.從而cos A=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,所以ABC的面積S=acsin B=.評析本題主要考查誘導公式、兩角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識,

10、同時考查運算求解能力.B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點一正弦、余弦定理 1.(2018課標全國理,6,5分)在ABC中,cos=,BC=1,AC=5,則AB=()A.4B.C.D.2答案A2.(2017山東理,9,5分)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若ABC為銳角三角形,且滿足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,則下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A3.(2018課標全國文,16,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2

11、+c2-a2=8,則ABC的面積為.答案4.(2017課標全國文,16,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B=.答案5.(2018課標全國理,17,12分)在平面四邊形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=2,求BC.解析(1)在ABD中,由正弦定理得=.由題設(shè)知,=,所以sinADB=.由題設(shè)知,ADB90,所以cosADB=.(2)由題設(shè)及(1)知,cosBDC=sinADB=.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252=25

12、.所以BC=5.方法總結(jié)正、余弦定理的應(yīng)用原則(1)正弦定理是一個連比等式,在運用此定理時,只要知道其中一對的比值或等量關(guān)系就可以通過該定理解決問題,在解題時要學會靈活運用.(2)運用余弦定理時,要注意整體思想的應(yīng)用.(3)在利用正、余弦定理判斷三角形形狀時,等式兩邊一般不要約去公因式,應(yīng)移項提取公因式,以免漏解.(4)在利用正弦定理求三角形解的個數(shù)問題時,可能會出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況,所以解答此類問題時需要進行分類討論,以免漏解或增解.6.(2015課標,17,12分)ABC中,D是BC上的點,AD平分BAC,ABD面積是ADC面積的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC

13、的長.解析(1)SABD=ABADsinBAD,SADC=ACADsinCAD.因為SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得=.(2)因為SABDSADC=BDDC,所以BD=.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.考點二解三角形及其綜合應(yīng)用1.(2018課標全國文,11,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若ABC的面積為,則C=()A.B.C.D.答案C2.(2014

14、課標,4,5分)鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=,則AC=()A.5B.C.2D.1答案B3.(2018北京文,14,5分)若ABC的面積為(a2+c2-b2),且C為鈍角,則B=;的取值范圍是.答案;(2,+)4.(2015課標,16,5分)在平面四邊形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,則AB的取值范圍是.答案(-,+)5.(2018天津文,16,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bsin A=acos.(1)求角B的大小;(2)設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,兩角差的正弦與余弦公式,二

15、倍角的正弦與余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力.(1)在ABC中,由正弦定理可得bsin A=asin B,又由bsin A=acos,得asin B=acos,即sin B=cos,可得tan B=.又因為B(0,),可得B=.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=.由bsin A=acos,可得sin A=.因為ac,故cos A=.因此sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=2cos2A-1=.所以sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=-=.6.(2017課

16、標全國理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)設(shè)D為BC邊上一點,且ADAC,求ABD的面積.解析本題考查解三角形.(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去)或c=4.(2)由題設(shè)可得CAD=,所以BAD=BAC-CAD=.故ABD面積與ACD面積的比值為=1.又ABC的面積為42sinBAC=2,所以ABD的面積為.思路分析(1)由sin A+cos A=0,可求得tan A=-,注意到A是三角形內(nèi)角,得A=

17、,再由余弦定理求c.(2)由題意知CAD=,BAD=,于是可求得的值,再由SABC=42sinBAC=2得解.一題多解(2)1題多解1:由余弦定理得cos C=,在RtACD中,cos C=,CD=,AD=,DB=CD=,SABD=SACD=2sin C=.1題多解2:BAD=,由余弦定理得cos C=,CD=,AD=,SABD=4sinDAB=.1題多解3:過B作BE垂直AD,交AD的延長線于E,在ABE中,EAB=-=,AB=4,BE=2,BE=CA,從而可得ADCEDB,BD=DC,即D為BC中點,SABD=SABC=24sinCAB=.C組教師專用題組考點一正弦、余弦定理1.(2017

18、課標全國文,11,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,則C=() A.B.C.D.答案B2.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=,BC=3,C=120,則AC=() A.1B.2C.3D.4答案A3.(2016課標全國,13,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,則b=.答案4.(2015天津,13,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為3,b-c=2,cos A=-,則a的值為.答案85.(2015福建,1

19、2,4分)若銳角ABC的面積為10,且AB=5,AC=8,則BC等于.答案76.(2015廣東,11,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=,sin B=,C=,則b=.答案17.(2015重慶,13,5分)在ABC中,B=120,AB=,A的角平分線AD=,則AC=.答案8.(2014天津,12,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,則cos A的值為.答案-9.(2014廣東,12,5分)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,則=.答案210.(2014福

20、建,12,4分)在ABC中,A=60,AC=4,BC=2,則ABC的面積等于.答案211.(2014江蘇,14,5分)若ABC的內(nèi)角滿足sin A+sin B=2sin C,則cos C的最小值是.答案12.(2014課標,16,5分)已知a,b,c分別為ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,則ABC面積的最大值為.答案13.(2017山東文,17,12分)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b=3,=-6,SABC=3,求A和a.解析本題考查向量數(shù)量積的運算及解三角形.因為=-6,所以bccos A=-6,又SA

21、BC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0A,所以A=.又b=3,所以c=2.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-232=29,所以a=.14.(2016江蘇,15,14分)在ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的長;(2)求cos的值.解析(1)因為cos B=,0B,所以sin B=.由正弦定理知=,所以AB=5.(2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos +sin Bsin,又cos B=,sin B=,故cos A=-+=-.因為0A0).則a=ksi

22、n A,b=ksin B,c=ksin C.代入+=中,有+=,變形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根據(jù)余弦定理,有cos A=.所以sin A=.由(1)可知sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B=4.評析本題考查的知識點主要是正、余弦定理以及兩角和的正弦公式.16.(2014湖南,18,12分)如圖,在平面

23、四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cosCAD的值;(2)若cosBAD=-,sinCBA=,求BC的長.解析(1)在ADC中,由余弦定理,得cosCAD=.(2)設(shè)BAC=,則=BAD-CAD.因為cosCAD=,cosBAD=-,所以sinCAD=,sinBAD=.于是sin =sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=-=.在ABC中,由正弦定理,得=,故BC=3.考點二解三角形及其綜合應(yīng)用1.(2014江西,4,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,則ABC的面積是() A.3B

24、.C.D.3答案C2.(2014重慶,10,5分)已知ABC的內(nèi)角A,B,C滿足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面積S滿足1S2,記a,b,c分別為A,B,C所對的邊,則下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)8B.ab(a+b)16C.6abc12D.12abc24答案A3.(2017課標全國文,15,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60,b=,c=3,則A=.答案754.(2015北京,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,則=.答案15.(2014山東,12,5分)在ABC中,已知=tan A,當A=時,ABC的面積為

25、.答案6.(2018北京理,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=-.(1)求A;(2)求AC邊上的高.解析(1)在ABC中,因為cos B=-,所以sin B=.由正弦定理得sin A=.由題設(shè)知B,所以0A.所以A=.(2)在ABC中,因為sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,所以AC邊上的高為asin C=7=.方法總結(jié)處理解三角形相關(guān)的綜合題目時,首先要掌握正弦、余弦定理,其次結(jié)合圖形分析哪些邊、角是已知的,哪些邊、角是未知的,然后將方程轉(zhuǎn)化為只含有邊或角的方程,最后通過解方程求出邊或角.7.(2017課標全國理,17,12分)AB

26、C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周長.解析本題考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等變換,考查學生利用三角形面積公式進行運算求解的能力.(1)由題設(shè)得acsin B=,即csin B=.由正弦定理得sin Csin B=.故sin Bsin C=.(2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由題設(shè)得bcsin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故ABC的周長

27、為3+.思路分析(1)首先利用三角形的面積公式可得acsin B=,然后利用正弦定理,把邊轉(zhuǎn)化成角的形式,即可得出sin Bsin C的值;(2)首先利用sin Bsin C的值以及題目中給出的6cos Bcos C=1,結(jié)合兩角和的余弦公式求出B+C,進而得出A,然后利用三角形的面積公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,進而得出ABC的周長.方法總結(jié)解三角形的綜合應(yīng)用.(1)應(yīng)用正弦定理、余弦定理主要是將條件轉(zhuǎn)化為僅有邊或僅有角的形式,以便進一步化簡計算,例如:將csin B=變形為sin Csin B=.(2)三角形面積公式:S=absin C=acsin B=bcsi

28、n A.(3)三角形的內(nèi)角和為.這一性質(zhì)經(jīng)常在三角化簡中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+C)=sin A.8.(2017課標全國理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面積為2,求b.解析本題考查了三角公式的運用和余弦定理的應(yīng)用.(1)由題設(shè)及A+B+C=得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式兩邊平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故SABC=acsin

29、 B=ac.又SABC=2,則ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.解后反思在余弦定理和三角形面積公式的運用過程中,要重視“整體運算”的技巧.如本題中b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的轉(zhuǎn)化就說明了這一點.9.(2017北京理,15,13分)在ABC中,A=60,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面積.解析本題考查正、余弦定理的應(yīng)用,考查三角形的面積公式.(1)在ABC中,因為A=60,c=a,所以由正弦定理得sin C=.(2)因為

30、a=7,所以c=7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b3,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面積S=bcsin A=83=6.解后反思根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點,利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.在求解面積時,經(jīng)常用余弦定理求出兩邊乘積.10.(2016課標全國,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=,ABC的面積為,求ABC的周長.解析(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)

31、2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=,所以C=.(6分)(2)由已知,得absin C=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,從而(a+b)2=25.(10分)所以ABC的周長為5+.(12分)評析本題重點考查了正弦定理、余弦定理及三角形面積公式,同時,對三角恒等變換的公式也有所考查.在解題過程中,要注意先將已知條件中的“邊”與“角”的關(guān)系,通過正弦定理轉(zhuǎn)化為“角”之間的關(guān)系,再運用三角函數(shù)知識求解.11.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=

32、b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理及題設(shè)得cos B=.又因為0B,所以B=.(6分)(2)由(1)知A+C=.cos A+cos C=cos A+cos=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos.(11分)因為0A,所以當A=時,cos A+cos C取得最大值1.(13分)思路分析第(1)問條件中有邊的平方和邊的乘積,顯然應(yīng)選用余弦定理求解.第(2)問用三角形內(nèi)角和定理將原三角函數(shù)式化為只含一個角的三角函數(shù)式,再注意角的取值范圍,問題得解.評析本題考查余弦定理、三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì).屬中檔題.12.(

33、2015四川,19,12分)如圖,A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角.(1)證明:tan=;(2)若A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.解析(1)證明:tan=.(2)由A+C=180,得C=180-A,D=180-B.由(1),有tan+tan+tan+tan=+=+.連接BD.在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2ABADcos A,在BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C,所以AB2+AD2-2ABADcos A=BC2+CD2+2BCCDcos A.則cos A=.于是sin A=.連接AC.同理可

34、得cos B=,于是sin B=.所以tan+tan+tan+tan=+=+=.評析本題主要考查二倍角公式、誘導公式、余弦定理、簡單的三角恒等變換等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力、推理論證能力,考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.13.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=,AB=6,AC=3,點D在BC邊上,AD=BD,求AD的長.解析設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3)2+62-236cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sin B=,由題設(shè)知0B0,所以A.于是sin A+sin C=

35、sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2+.因為0A,所以0sin A,因此-2+.由此可知sin A+sin C的取值范圍是.評析本題以解三角形為背景,考查三角恒等變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),對考生思維的嚴謹性有較高要求.15.(2015陜西,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.向量m=(a,b)與n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求ABC的面積.解析(1)因為mn,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B0,從而tan

36、 A=,由于0A0,所以c=3.故ABC的面積為bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,從而sin B=,又由ab,知AB,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以ABC的面積為absin C=.16.(2014陜西,16,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.(1)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比數(shù)列,求cos B的最小值.解析(1)證明:a,b,c成等差數(shù)列,a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(

37、A+C)=sin(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).(2)a,b,c成等比數(shù)列,b2=ac.由余弦定理得cos B=,當且僅當a=c時等號成立.cos B的最小值為.評析本題考查了等差、等比數(shù)列,正、余弦定理,基本不等式等知識;考查運算求解能力.17.(2014大綱全國,17,10分)ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.解析由題設(shè)和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故3tan Acos C=2sin C,因為tan A=,所以cos C=2sin C,tan C=.(6分)所以tan

38、B=tan180-(A+C)=-tan(A+C)=(8分)=-1,即B=135.(10分)18.(2014北京,15,13分)如圖,在ABC中,B=,AB=8,點D在BC邊上,且CD=2,cosADC=.(1)求sinBAD;(2)求BD,AC的長.解析(1)在ADC中,因為cosADC=,所以sinADC=.所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcosB-cosADCsinB=-=.(2)在ABD中,由正弦定理得BD=3.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=82+52-285=49.所以AC=7.評析本題考查了正、余弦定理等三角形的相關(guān)知識;考查

39、分析推理、運算求解能力.19.(2014安徽,16,12分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.解析(1)因為A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b.因為b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A=-.由于0A,所以sin A=.故sin=sin Acos+cos Asin=+=.評析本題考查正、余弦定理,三角恒等變換等知識;考查基本運算求解能力;屬容易題.【三年模擬】一、選擇題(每小題4分,共16分)1.(2019屆浙江名校協(xié)作體高三聯(lián)考

40、,3)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,已知A=45,B=60,b=,則a=() A.B.C.D.答案A2.(2019屆浙江嘉興9月基礎(chǔ)測試,8)在ABC中,已知cos A=,cos B=,c=4,則a=()A.12B.15C.D.答案D3.(2018浙江鎮(zhèn)海中學期中,10)若ABC沿著三條中位線折起后能夠拼接成一個三棱錐,則稱這樣的ABC為“和諧三角形”,設(shè)ABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,則下列條件不能夠確定該ABC為“和諧三角形”的是() A.ABC=72025B.sin Asin Bsin C=72025C.cos Acos Bcos C=72025D.tan At

41、an Btan C=72025答案B4.(2018浙江臺州第一次調(diào)考(4月),7)在ABC中,邊a,b,c所對的角分別為A,B,C,若a2=b2+c2-bc,sin C=2cos B,則()A.A=B.B=C.c=bD.c=2a答案D二、填空題(單空題4分,多空題6分,共24分)5.(2019屆衢州、湖州、麗水三地教學質(zhì)量檢測,14)已知ABC的面積為,A=60,D是邊AC上一點,AD=2DC,BD=2,則AB=,cos C=.答案2;6.(2019屆浙江名校新高考研究聯(lián)盟第一次聯(lián)考,14)在ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,A=60,且ABC外接圓的半徑為,則a=,若b+c=

42、3,則ABC的面積為.答案3;7.(2018浙江名校協(xié)作體,14)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若c=2b,sin C=,則sin B=;若2a2+b2+c2=4,則ABC面積的最大值是.答案;8.(2018浙江嘉興教學測試(4月),14)設(shè)ABC的三邊a,b,c所對的角分別為A,B,C,已知a2+2b2=c2,則=;tan B的最大值為.答案-3;三、解答題(共20分)9.(2019屆金麗衢十二校高三第一次聯(lián)考,18)如圖,在ABC中,已知點D在邊AB上,AD=3DB,cos A=,cosACB=,BC=13.(1)求cos B的值;(2)求CD的長.解析(1)在ABC中

43、,cos A=,A(0,),所以sin A=.同理可得sinACB=.所以cos B=cos-(A+ACB)=-cos(A+ACB)=sin AsinACB-cos AcosACB=-=.(2)在ABC中,由正弦定理得AB=20.又AD=3DB,所以BD=AB=5.在BCD中,由余弦定理得CD=9.10.(2018浙江杭州二中期中,18)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知tan C=.(1)求角C的大小;(2)若ABC的外接圓直徑為1,求a2+b2的取值范圍.解析(1)tan C=,即=,sin Ccos A+sin Ccos B=sin Acos C+sin Bcos C,即sin Ccos A-sin Acos C=sin Bcos C-sin Ccos B,即sin(C-A)=sin(B-C),C-A=B-C或C-A=-(B-C)(舍去),2C=A+B,C=.(2)由(1)知C=,故設(shè)A=+,B=-+,其中-,外接圓半徑為R,a=2Rsin A=sin A,b=2Rsin B=sin B.故a2+b2=sin2A+sin2B= (1-cos 2A)+ (1-cos 2B)=1+cos 2.-,-2,-cos 21,a2+b2.