江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 高考提能 五大技巧簡化幾何的綜合問題學(xué)案

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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 高考提能 五大技巧簡化幾何的綜合問題學(xué)案 解析幾何是通過建立平面直角坐標(biāo)系,用方程的觀點來研究曲線,體現(xiàn)了用代數(shù)的方法解決幾何問題的優(yōu)越性.解析幾何題目的難度很大程度上體現(xiàn)在運(yùn)算上,但有時運(yùn)算量過大,或需繁雜的討論,這些都會影響解題的速度,甚至?xí)兄菇忸}的過程,達(dá)到“望題興嘆”的地步.因此,探索減輕運(yùn)算量的方法和技巧,合理簡化解題過程,優(yōu)化思維過程就成了突破解析幾何問題的關(guān)鍵. 技巧一 利用定義,回歸本質(zhì) 例1 (1)已知點F為拋物線y2=-8x的焦點,O為原點,點P是拋物線準(zhǔn)線上一動點,A在拋物線上,且AF=4,則PA+PO的最小值是_

2、_________. 答案 2 解析 如圖,可求A,再求A關(guān)于拋物線的準(zhǔn)線x=2的對稱點A′,因此PA+PO=PA′+PO,當(dāng)O,P,A′三點共線時PA+PO取到最小值.即min=A′O==2. (2)如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓C1:+y2=1與雙曲線C2的公共焦點,A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點.若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是________. 答案  解析 由已知,得F1(-,0),F(xiàn)2(,0), 設(shè)雙曲線C2的實半軸長為a, 由橢圓及雙曲線的定義和已知, 可得解得a2=2, 故a=.所以雙曲線C2的離心率e==. 跟蹤演練1  (1)已

3、知橢圓+=1內(nèi)有兩點A(1,3),B(3,0),P為橢圓上一點,則PA+PB的最大值為______. 答案 15 解析 由橢圓方程可知點B為橢圓的右焦點, 設(shè)橢圓的左焦點為B′,由橢圓的定義可知PB=2a-PB′=10-PB′, 則PA+PB=10+, 很明顯,max=AB′ ==5, 據(jù)此可得PA+PB的最大值為10+5=15. (2)拋物線y2=4mx(m>0)的焦點為F,點P為該拋物線上的動點,若點A(-m,0),則的最小值為______. 答案  解析 設(shè)點P的坐標(biāo)為(xP,yP),由拋物線的定義, 知PF=xP+m,又PA2=(xP+m)2+y =(xP+m)

4、2+4mxP,則2 ==≥=(當(dāng)且僅當(dāng)xP=m時取等號), 所以≥,所以的最小值為. 技巧二 設(shè)而不求,整體代換 例2 (1)已知直線l交橢圓4x2+5y2=80于M,N兩點,橢圓與y軸的正半軸交于B點,若△BMN的重心恰好落在橢圓的右焦點上,則直線l的方程是___________________________. 答案 6x-5y-28=0 解析 由4x2+5y2=80得+=1, ∴橢圓上頂點為B(0,4),右焦點F(2,0)為△BMN的重心,故線段MN的中點為C(3,-2). 直線l的斜率存在,設(shè)為k, ∵點M(x1,y1),N(x2,y2)在橢圓上, ∴ ∴4(

5、x1-x2)(x1+x2)+5(y1-y2)(y1+y2)=0, ∴k==-·=-·=. ∴直線l的方程為y+2=(x-3),即6x-5y-28=0. (2)設(shè)橢圓C:+=1與函數(shù)y=tan 的圖象相交于A1,A2兩點,若點P在橢圓C上,且直線PA2的斜率的取值范圍是[-2,-1],那么直線PA1斜率的取值范圍是________. 答案  解析 由題意,得A1,A2兩點關(guān)于原點對稱, 設(shè)A1(x1,y1),A2(-x1,-y1),P(x0,y0), 則+=1,+=1, 即y=(4-x),y=(4-x), 兩式相減整理,得 =-×=-×. 因為直線PA2的斜率的取值范圍是[

6、-2,-1], 所以-2≤≤-1, 所以-2≤-·≤-1,解得≤≤ 跟蹤演練2 (2018·全國大聯(lián)考江蘇卷)已知橢圓M: +=1(a>b>0)的離心率為,過其左焦點F(-c,0)的直線交橢圓M于A,B兩點,若弦AB的中點為D(-4,2),則橢圓M的方程是________. 答案?。? 解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由中點坐標(biāo)公式得x1+x2=-8,y1+y2=4. 將A,B的坐標(biāo)分別代入M的方程中得 兩式相減,化簡得=, 又因為A,B,D,F(xiàn)四點共線,所以==,所以a2=b2(c-4). 由解得 所以橢圓M的方程為+=1. 技巧三 根與系數(shù)的關(guān)系

7、,化繁為簡 例3 已知橢圓Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,短軸的兩個頂點與F1,F(xiàn)2構(gòu)成面積為2的正方形. (1)求橢圓Γ的方程; (2)直線l與橢圓Γ在y軸的右側(cè)交于點P,Q,以PQ為直徑的圓經(jīng)過點F2,PQ的垂直平分線交x軸于A點,且=,求直線l的方程. 解 (1)因為橢圓C的短軸的兩個端點和其兩個焦點構(gòu)成正方形,所以b=c, 因為S=a2=2,所以a=,b=c=1, 故橢圓Γ的方程為+y2=1. (2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),直線l的斜率存在, 設(shè)直線l:y=kx+m,顯然k≠0, 由得(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-

8、1)=0, 因為x1,2= 所以x1+x2=,x1x2=, Δ=8(2k2-m2+1)>0,(*) y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 =, y1+y2=kx1+m+kx2+m =k(x1+x2)+2m=, 由·=0,得(x1-1)(x2-1)+y1y2=0, 即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0,得3m2-1+4km=0,即k=, PQ的中點為點C, 所以線段PQ的中垂線AB的方程為y- =-, 令y=0,可得A, 由=,得=, 將k=代入上式,得=, 即6m4-17m2-3=0,解得m2=3, 所以m=,k=

9、-或m=-,k=, 經(jīng)檢驗滿足(*)式,所以直線PQ的方程為 2x+y-3=0或2x-y-3=0. 跟蹤演練3 (2018·連云港期末)過拋物線y2=4x的焦點F的直線與拋物線交于A, B兩點,若=2,則直線AB的斜率為________. 答案 ±2 解析 當(dāng)直線AB的斜率不存在時,不滿足題意. ∵拋物線C的焦點F(1,0), 設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1), 聯(lián)立可得k2x2-2(2+k2)x+k2=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1,2=, 則x1+x2=,x1·x2=1, y1+y2=k(x1+x2-2)=,① ∵=(x1-1,y1),=(

10、1-x2,-y2), ∴=2,即∴② ①②聯(lián)立可得,x2=,y2=-, 代入拋物線方程y2=4x可得k2=8, 故 k=±2. 技巧四 平幾助力,事半功倍 例4 (1)已知直線y=kx+1(k≠0)交拋物線x2=4y于E,F(xiàn)兩點,以EF為直徑的圓被x軸截得的弦長為2,則k=________. 答案 ±1 解析 直線y=kx+1恒過定點, 則EF=y(tǒng)E+yF+p, 圓心到x軸的距離為d=,圓的半徑為r=, 聯(lián)立消去x得,y2-2y+1=0, 則yE+yF=2, 所以根據(jù)垂徑定理有2=2+2, 代入計算得k=±1. (2)已知P是拋物線y2=4x上的動點,點Q在圓C

11、:2+2=1上,點R是點P在y軸上的射影,則PQ+PR的最小值是________. 答案 3 解析 根據(jù)拋物線的定義,可知PR=PF-1,而PQ的最小值是PC-1, 所以PQ+PR的最小值就是PF+PC-2的最小值, 當(dāng)C,P,F(xiàn)三點共線時,PF+FC最小,最小值是CF==5 , 所以PQ+PR的最小值是3. 跟蹤演練4 已知拋物線y2=2px的焦點F與雙曲線-=1的右焦點重合,拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點為K,點A在拋物線上,且AK=AF,則△AFK的面積為___________. 答案 32 解析 雙曲線-=1的右焦點為點(4,0),即為拋物線y2=2px的焦點,所以=4,

12、即p=8,所以拋物線的方程為y2=16x,其準(zhǔn)線為x=-4,所以K(-4,0),過A作AM垂直于準(zhǔn)線,垂足為M,則AM=AF,所以AK=AM,所以∠MAK=45°,所以AM=MK=AF,從而易知四邊形AMKF為正方形,所以KF=AF,所以△AFK的面積為KF2=32. 技巧五 巧設(shè)參數(shù),方便計算 例5 (2018·無錫期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點M是橢圓C:+y2=1上位于第一象限的點,O為坐標(biāo)原點,A,B分別為橢圓C的右頂點和上頂點,則四邊形OAMB的面積的最大值為________. 答案  解析 S四邊形OAMB=S△OAB+S△AMB==(2+d),其中d為點M到直線A

13、B的距離,當(dāng)M到直線AB距離最遠(yuǎn)時S四邊形OAMB取得最大值,設(shè)M(2cos θ,sin θ),直線AB:x+2y-2=0,所以d==≤,故S四邊形OAMB的最大值為. 跟蹤演練5 過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,點O是原點,若AF=3,則△AOB的面積為________. 答案  解析 設(shè)∠AFx=θ(0<θ<π)及BF=m, ∵AF=3,∴點A到準(zhǔn)線l:x=-1的距離為3, ∴2+3cos θ=3,∴cos θ=, ∵m=2+mcos(π-θ),∴m==, ∵cos θ=,0<θ<π,∴sin θ=, ∴△AOB的面積為S= ×OF×AB×sin θ= ×1××=.

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