(浙江專用)2022高考數(shù)學二輪復習 專題四 解析幾何 規(guī)范答題示例7 解析幾何中的探索性問題學案

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1、(浙江專用)2022高考數(shù)學二輪復習 專題四 解析幾何 規(guī)范答題示例7 解析幾何中的探索性問題學案 典例7 (15分)已知定點C(-1,0)及橢圓x2+3y2=5,過點C的動直線與橢圓相交于A,B兩點. (1)若線段AB中點的橫坐標是-,求直線AB的方程; (2)在x軸上是否存在點M,使·為常數(shù)?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由. 審題路線圖 (1)→→ (2)→→→ 規(guī) 范 解 答·分 步 得 分 構(gòu) 建 答 題 模 板 解 (1)依題意,直線AB的斜率存在,設直線AB的方程為y=k(x+1), 將y=k(x+1)代入x2+3y2=5,消去y整理得(3k2+1)

2、x2+6k2x+3k2-5=0.3分 設A(x1,y1),B(x2,y2),則 由線段AB中點的橫坐標是-,得 =-=-,解得k=±,適合①. 所以直線AB的方程為x-y+1=0或x+y+1=0.6分 (2)假設在x軸上存在點M(m,0),使·為常數(shù). (ⅰ)當直線AB與x軸不垂直時,由(1)知x1+x2=-,x1x2=. ③ 所以·=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1) =(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2.9分 將③代入,整理得·=+m2=+m2=m2+2m--.11分 注意到·是與k無關的

3、常數(shù), 從而有6m+14=0,解得m=-,此時·=.12分 (ⅱ)當直線AB與x軸垂直時,此時點A,B的坐標分別為,,當m=-時,也有·=.14分 綜上,在x軸上存在定點M,使·為常數(shù).15分 第一步 先假定:假設結(jié)論成立. 第二步 再推理:以假設結(jié)論成立為條件,進行推理求解. 第三步 下結(jié)論:若推出合理結(jié)果,經(jīng)驗證成立則肯定假設;若推出矛盾則否定假設. 第四步 再回顧:查看關鍵點,易錯點(特殊情況、隱含條件等),審視解題規(guī)范性. 評分細則 (1)不考慮直線AB斜率不存在的情況扣1分; (2)不驗證Δ>0,扣1分; (3)直線AB方程寫成斜截式形式同樣給分;

4、(4)沒有假設存在點M不扣分; (5)·沒有化簡至最后結(jié)果扣1分,沒有最后結(jié)論扣1分. 跟蹤演練7 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+12=0相切. (1)求橢圓C的方程; (2)設A(-4,0),過點R(3,0)作與x軸不重合的直線l交橢圓C于P,Q兩點,連接AP,AQ分別交直線x=于M,N兩點,若直線MR,NR的斜率分別為k1,k2,試問:k1k2是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請說明理由. 解 (1)由題意得 ∴ 故橢圓C的方程為+=1. (2)設直線PQ的方程為x=my+3, P(x1,y1),Q(x2,y2),M,N. 由 得(3m2+4)y2+18my-21=0, 且Δ=(18m)2+84(3m2+4)>0, ∴y1+y2=,y1y2=. 由A,P,M三點共線可知,=, ∴yM=. 同理可得yN=, ∴k1k2=×== ∵(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7) =m2y1y2+7m(y1+y2)+49 ∴k1k2==-,為定值.

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