2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第一節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案 理（含解析）新人教A版

第一節(jié)任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)2019考綱考題考情考綱要求考題舉例考向標(biāo)簽1.了解任意角的概念2了解弧度制概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化3理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義2016·四川高考·T3(誘導(dǎo)公式)命題角度：1象限角及終邊相同的角的表示2弧度制及其應(yīng)用3三角函數(shù)的定義及應(yīng)用核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模、直觀想象1角的有關(guān)概念(1)從運(yùn)動(dòng)的角度看，角可分為正角、負(fù)角和零角。(2)從終邊位置來看，角可分為象限角與軸線角。(3)若與是終邊相同的角，則用表示為2k，kZ。2弧度與角度的互化(1)1弧度的角長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角。(2)角的弧度數(shù)如果半徑為r的圓的圓心角所對(duì)弧的長為l，那么角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|。(3)角度與弧度的換算1°rad；1 rad°。(4)弧長、扇形面積的公式設(shè)扇形的弧長為l，圓心角大小為(rad)，半徑為r，則l|r，扇形的面積為Slr|·r2。3任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么siny，cosx，tan(x0)。(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示。正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是點(diǎn)(1,0)。如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角的正弦線，余弦線和正切線。1區(qū)分兩個(gè)概念(1)第一象限角未必是銳角，但銳角一定是第一象限角。(2)不相等的角未必終邊不相同，終邊相同的角也未必相等。2一個(gè)口訣三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦。3三角函數(shù)定義的推廣設(shè)點(diǎn)P(x，y)是角終邊上任意一點(diǎn)且不與原點(diǎn)重合，r|OP|，則sin，cos，tan。一、走進(jìn)教材1(必修4P10A組T7改編)角225°_弧度，這個(gè)角在第_象限。答案二2(必修4P15練習(xí)T2改編)設(shè)角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4，3)，那么2cossin_。解析由已知并結(jié)合三角函數(shù)的定義，得sin，cos，所以2cossin2×。答案3(必修4P10A組T6改編)一條弦的長等于半徑，這條弦所對(duì)的圓心角大小為_弧度。答案二、走近高考4(2018·北京高考)在平面直角坐標(biāo)系中，是圓x2y21上的四段弧(如圖)，點(diǎn)P在其中一段上，角以O(shè)x為始邊，OP為終邊。若tan<cos<sin，則P所在的圓弧是()ABCD解析設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，利用三角函數(shù)的定義可得<x<y，所以x<0，y>0，所以P所在的圓弧是。故選C。答案C三、走出誤區(qū)微提醒：終邊相同的角理解出錯(cuò)；三角函數(shù)符號(hào)記憶不準(zhǔn)；求三角函數(shù)值不考慮終邊所在象限。5下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A2k45°(kZ)Bk·360°(kZ)Ck·360°315°(kZ)Dk(kZ)解析與的終邊相同的角可以寫成2k(kZ)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有C正確。故選C。答案C6若sin<0，且tan>0，則是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析由sin<0知的終邊在第三、第四象限或y軸的非正半軸上；由tan>0知的終邊在第一或第三象限，故是第三象限角。故選C。答案C7已知角的終邊在直線yx上，且cos<0，則tan_。解析如圖，由題意知，角的終邊在第二象限，在其上任取一點(diǎn)P(x，y)，則yx，由三角函數(shù)的定義得tan1。答案1考點(diǎn)一象限角及終邊相同的角的表示【例1】(1)設(shè)是第三象限角，且cos，則是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角(2)(2019·福州模擬)與2 010°終邊相同的最小正角是_。解析(1)因?yàn)槭堑谌笙藿?，所?k<<2k(kZ)，故k<<k(kZ)，當(dāng)k2n(nZ)時(shí)，2n<<2n(nZ)，是第二象限角；當(dāng)k2n1時(shí)，2n<<2n(nZ)，是第四象限角，又cos，即cos<0，因此是第二象限角。(2)因?yàn)? 010°(6)×360°150°，所以150°與2 010°終邊相同，又終邊相同的兩個(gè)角相差360°的整數(shù)倍，所以在0°360°中只有150°與2 010°終邊相同，故與2 010°終邊相同的最小正角是150°。答案(1)B(2)150°1利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角：先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角。2確定k，(kN*)的終邊位置的方法先用終邊相同角的形式表示出角的范圍，再寫出k或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值討論確定k或的終邊所在位置?！咀兪接?xùn)練】(1)設(shè)集合M，N，那么()AMNBMNCNMDMN(2)已知角的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角用集合可表示為_。解析(1)由于M，45°，45°，135°，225°，N，45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，顯然有MN。故選B。解析：由于M中，x·180°45°k·90°45°(2k1)·45°，2k1是奇數(shù)；而N中，x·180°45°k·45°45°(k1)·45°，k1是整數(shù)，因此必有MN。故選B。(2)在0,2)內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為，所以，所求角的集合為。答案(1)B(2)考點(diǎn)二弧度制及其應(yīng)用【例2】已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l。若，R10 cm，求扇形的面積。解由已知得，R10，所以S扇形·R2··102(cm2)?！净?dòng)探究】(1)若例題條件不變，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積。(2)若例題條件改為：“若扇形周長為20 cm”，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？解(1)l·R×10(cm)，S弓形S扇形S三角形·l·R·R2·sin··10·102·(cm2)(2)由已知得，l2R20。所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以當(dāng)R5 cm時(shí)，S取得最大值25 cm2，此時(shí)l10 cm，2 rad。應(yīng)用弧度制解決問題的方法1利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度。2求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決。3在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形?！咀兪接?xùn)練】若圓弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)是_。解析設(shè)圓半徑為r，則圓內(nèi)接正方形的對(duì)角線長為2r，所以正方形邊長為r，所以其圓心角的弧度數(shù)是。答案考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用微點(diǎn)小專題方向1：三角函數(shù)的定義【例3】(1)函數(shù)yloga(x3)2(a>0且a1)的圖象過定點(diǎn)P，且角的終邊過點(diǎn)P，則sincos的值為()ABCD(2)已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x，6)，且cos，則_。解析(1)因?yàn)楹瘮?shù)yloga(x3)2的圖象過定點(diǎn)P(4,2)，且角的終邊過點(diǎn)P，所以x4，y2，r2，所以sin，cos，所以sincos。選D。(2)因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(x，6)，且cos，所以cos，即x。所以P。所以sin。所以tan，則。答案(1)D(2)三角函數(shù)定義主要應(yīng)用于兩方面1已知角的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)定義求解三角函數(shù)值。特別地，若角的終邊落在某條直線上，一般要分類討論。2已知角的某個(gè)三角函數(shù)值，可依據(jù)三角函數(shù)值設(shè)出角終邊上某一符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)來解決相關(guān)問題。方向2：三角函數(shù)值的符號(hào)【例4】(1)使lg(sin·cos)有意義的為()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角(2)若角的終邊落在直線yx上，則_。解析(1)由題意知sin·cos>0且cos0，由sin·cos>0，知為第一、三象限角，又由cos0，即cos0知為第二、三象限角或在x軸的負(fù)半軸上，所以可知為第三象限角。故選C。(2)因?yàn)榻堑慕K邊落在直線yx上，所以角的終邊位于第二或第四象限。當(dāng)角的終邊位于第二象限時(shí)，0；當(dāng)角的終邊位于第四象限時(shí)，0。所以0。答案(1)C(2)0要判定三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定值的符號(hào)。如果角不能確定所在象限，那就要進(jìn)行分類討論求解。方向3：三角函數(shù)線的應(yīng)用【例5】函數(shù)ylg(2sinx1)的定義域?yàn)開。解析要使原函數(shù)有意義，必須有：即如圖，在單位圓中作出相應(yīng)三角函數(shù)線，由圖可知，原函數(shù)的定義域?yàn)?。答案三角函?shù)線的應(yīng)用問題的求解思路確定單位圓與角的終邊的交點(diǎn)，作出所需要的三角函數(shù)線，然后求解。【題點(diǎn)對(duì)應(yīng)練】1(方向1)已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，P(m，2m)(m0)是角終邊上的一點(diǎn)，則tan的值為()A3BCD3解析因?yàn)镻(m，2m)(m0)是角終邊上的一點(diǎn)，所以tan2。所以tan。故選C。答案C2(方向2)已知點(diǎn)P(tan，cos)在第三象限，則角的終邊在()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限解析由題意知tan<0，cos<0，根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律可知，角的終邊在第二象限。故選B。答案B3(方向3)若<<，從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sin，cos，tan的大小是()Asin<tan<cosBcos<sin<tanCsin<cos<tanDtan<sin<cos解析如圖所示，作出角的正弦線MP，余弦線OM，正切線AT，觀察可得，AT>OM>MP，故有sin<cos<tan。故選C。答案C1(配合例1使用)如圖所示，寫出終邊落在直線yx上的角的集合(用弧度制表示)。解在02范圍內(nèi)，終邊落在直線yx上的角有兩個(gè)，分別是和，即在0,2)內(nèi)終邊落在該直線上的角是，。因此，所有與終邊相同的角的集合是S，所有與終邊相同的角的集合是T。所以，終邊落在直線yx上的角的集合為ST。2(配合例2使用)若圓弧長度等于該圓內(nèi)接等腰直角三角形的周長，則其圓心角的弧度數(shù)是_。解析設(shè)圓的半徑為r，則圓內(nèi)接等腰直角三角形的斜邊長為2r，一條直角邊長為r，所以周長為2r2r，所以圓弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)是22。答案223(配合例2使用)若扇形的周長為18，則扇形面積取得最大值時(shí)，扇形圓心角的弧度數(shù)是_。解析設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則l2r18，即l182r，所以扇形面積Sl·r(182r)·rr29r，當(dāng)r時(shí)，S取得最大值，此時(shí)l182r9，所以圓心角的弧度數(shù)是2。答案24(配合例3使用)已知A(xA，yA)是單位圓(圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為1)上任一點(diǎn)，將射線OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB，OB交單位圓于點(diǎn)B(xB，yB)，已知m>0，若myA2yB的最大值為3，則m_。解析設(shè)xOA，由三角函數(shù)的定義，得yAsin，yBsin，則myA2yBmsin2sin(m1)sincos，其最大值為3，又m>0，所以m1。答案111