2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前沖刺三 第四類 概率問題重在“辨”——辨析、辨型學(xué)案 理

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前沖刺三 第四類 概率問題重在“辨”——辨析、辨型學(xué)案 理 概率與統(tǒng)計(jì)問題的求解關(guān)鍵是辨別它的概率模型，只要模型一找到，問題便迎刃而解.而概率與統(tǒng)計(jì)模型的提取往往需要經(jīng)過觀察、分析、歸納、判斷等復(fù)雜的辨析思維過程，同時，還需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、對立事件等事件間的關(guān)系，注意放回和不放回試驗(yàn)的區(qū)別，合理劃分復(fù)雜事件. 【例4】 (2016·全國Ⅱ卷)某險種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費(fèi) 0.85a

2、a 1.25a 1.5a 1. 75a 2a 設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 一年內(nèi)出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率； (2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率. (3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值. 解　(1)設(shè)A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1， (辨析1) 故P(A)＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05

3、＝0.55. (辨型1) (2)設(shè)B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3， (辨析2) 故P(B)＝0.10＋0.05＝0.15. 又P(AB)＝P(B)， 故P(B|A)＝＝＝＝. (辨型2) 因此所求概率為. (3)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X，則X的分布列為 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (辨型3) E(X)＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1

4、.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a. 因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23. 探究提高　1.辨析(1)：判斷事件A發(fā)生，在一年內(nèi)出險次數(shù)為2，3，4或≥5. 辨型(1)：該問題為求隨機(jī)事件的概率，利用互斥事件的概率加法公式求解. 辨析(2)：判斷事件B發(fā)生，在一年內(nèi)出險次數(shù)為4或≥5. 辨型(2)：該問題為條件概率，可利用公式求解. 2.求解此類問題的關(guān)鍵： (1)會判斷，先判斷事件的類型，再利用對立事件的概率公式、條件概率的公式等求解概率； (2)會計(jì)算，要求隨機(jī)變量X的期望，需先求出X的所有可能取值，然后求出隨機(jī)變量X取每個值時的概率，再利用隨機(jī)

5、變量的數(shù)學(xué)期望的定義進(jìn)行計(jì)算. 【訓(xùn)練4】 共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點(diǎn)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等場所提供的自行車單車共享服務(wù)，由于其依托“互聯(lián)網(wǎng)＋”，符合“低碳出行”的理念，已越來越多地引起了人們的關(guān)注.某部門為了對該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了50人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問卷調(diào)查，并將問卷中的這50人根據(jù)其滿意度評分值(百分制)按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5組，請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖(如圖所示)的解決下列問題： 頻率分布表 組別 分組 頻數(shù) 頻率 第1組 [50，60) 8 0.16 第

6、2組 [60，70) a ■ 第3組 [70，80) 20 0.40 第4組 [80，90) ■ 0.08 第5組 [90，100] 2 b 合計(jì) ■ ■ 頻率分布直方圖 (1)求出a，b，x的值； (2)若在滿意度評分值為[80，100]的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，設(shè)所抽取的2人中來自第5組的人數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解　(1)由題意可知，＝，解得b＝0. 04； ∴樣本容量n＝＝50， ∴[80，90)內(nèi)的頻數(shù)為50×0.08＝4， a＝50－8－20－4－2＝16； 又[60，70)內(nèi)的頻率為＝0.32，∴x＝＝0.032； (2)由題意可知，第4組共有4人，第5組共有2人， ∴隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2， P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝. ∴ξ的分布列為： ξ 0 1 2 P ∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.