（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 講重點(diǎn) 選填題專練 第9講 解析幾何教學(xué)案 理

第9講解析幾何調(diào)研一直線與圓備考工具一、直線方程的相關(guān)概念1表示直線方向的兩個量(1)直線的傾斜角：定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)直線l與x軸相交時(取x軸作為基準(zhǔn))，x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角范圍：0°<180°.(2)直線的斜率：定義：當(dāng)90°時，tan表示直線l的斜率，用k表示，即ktan；當(dāng)90°時，直線l的斜率k不存在計(jì)算公式：給定兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)，經(jīng)過P1，P2兩點(diǎn)的直線的斜率公式為k.2直線方程的形式(1)點(diǎn)斜式：yy0k·(xx0)(2)斜截式：ykxb(3)兩點(diǎn)式：(4)截距式：1(5)一般式：AxByC0(A2B20)(6)參數(shù)式：(t為參數(shù))3兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程yk1xb1，yk2xb2A1xB1yC10，A2xB2yC20相交k1k2A1B2A2B10垂直k1k21A1A2B1B20平行k1k2且b1b2或重合k1k2且b1b2A1B2A2B1B1C2B2C1A1C2A2C104距離距離公式點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d兩條平行直線AxByC10與AxByC20(C1C2)間的距離d二、圓的方程及相關(guān)概念1圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程：名稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程方程(xa)2(yb)2r2(r>0)x2y2DxEyF0(D2E24F>0)圓心(a，b)半徑r(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB為直徑的圓的方程為(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.(3)參數(shù)方程：(為參數(shù))圓心(a，b)，半徑為r.2直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C：(xa)2(yb)2r2，直線l：AxByC0，圓心C(a，b)到直線l的距離為d，由消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為.方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交d<r>0相切dr0相離d>r<03.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩個圓的半徑分別為R，r，R>r，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含同心圓幾何特征d>RrdRrRr<d< RrdRr0<d<Rrd0代數(shù)特征無實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無實(shí)數(shù)解無實(shí)數(shù)解公切線條數(shù)432100三、重要公式1中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則線段P1P2的中點(diǎn)M(x，y)的坐標(biāo)滿足若線段的中點(diǎn)為M(x0，y0)，一個端點(diǎn)坐標(biāo)為(a，b)，則另一個端點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0a,2y0b)2弦心距公式和弦長公式(1)弦心距公式：直線截圓所得的弦長為2a，圓的半徑為r，弦心距為d，則弦心距公式為d.(2)弦長公式：l2a2.3切線長公式圓的方程為f(x，y)x2y2DxEyF0，或f(x，y)(xa)2(yb)2R20，圓外有一點(diǎn)P(x0，y0)，由點(diǎn)P向圓引的切線的長為l.自測自評1設(shè)a，b，c分別是ABC中角A，B，C所對的邊，則直線sinA·xayc0與bxsinB·ysinC0的位置關(guān)系是()A平行B重合C垂直D相交但不垂直解析：由題意可得直線sinA·xayc0的斜率k1，bxsinB·ysinC0的斜率k2，故k1k2·1，所以直線sinA·xayc0與直線bxsinB·ysinC0垂直，故選C.答案：C2若直線l1：axy10與l2：3x(a2)y10平行，則a的值為()A1B3C0或D1或3解析：由題設(shè)可得a(a2)3，解得a1或a3.當(dāng)a3時兩直線重合，應(yīng)舍去，故選A.答案：A32019·合肥調(diào)研已知直線l：xy50與圓C：(x2)2(y1)2r2(r>0)相交所得的弦長為2，則圓C的半徑r()A.B2C2D4解析：解法一：依題意，圓C的圓心為(2,1)，圓心到直線的距離d，又弦長為2，所以22，所以r2，故選B.解法二：聯(lián)立得，整理得2x212x20r20，設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x26，x1·x2，所以|AB|x1x2|2，解得r2.答案：B42019·河北九校聯(lián)考圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x4y40與圓C相切，則圓C的方程為()Ax2y22x30Bx2y24x0Cx2y24x0Dx2y22x30解析：由題意設(shè)所求圓的方程為(xm)2y24(m>0)，則2，解得m2或m(舍去)，故所求圓的方程為(x2)2y24，即x2y24x0.故選C.答案：C52019·廣州調(diào)研若點(diǎn)P(1,1)為圓C：x2y26x0的弦MN的中點(diǎn)，則弦MN所在直線的方程為()A2xy30Bx2y10Cx2y30D2xy10解析：由圓的方程易知圓心C的坐標(biāo)為(3,0)，又P(1,1)，所以kPC.易知MNPC，所以kMN·kPC1，所以kMN2.根據(jù)弦MN所在的直線經(jīng)過點(diǎn)P(1,1)得所求直線方程為y12(x1)，即2xy10.故選D.答案：D62019·湖北重點(diǎn)中學(xué)已知兩點(diǎn)A(a,0)，B(a,0)(a>0)，若圓(x)2(y1)21上存在點(diǎn)P，使得APB90°，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(0,3B1,3C2,3D1,2解析：以AB為直徑的圓的方程為x2y2a2，則由題意知圓(x)2(y1)21與圓x2y2a2有公共點(diǎn)，則|a1|a1，解得1a3，故選B.答案：B72019·江蘇卷在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是曲線yx(x>0)上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線xy0的距離的最小值是_解析：通解：設(shè)P，x>0，則點(diǎn)P到直線xy0的距離d4，當(dāng)且僅當(dāng)2x，即x時取等號，故點(diǎn)P到直線xy0的距離的最小值是4.優(yōu)解：由yx(x>0)得y1，令11，得x，則當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，3)時，點(diǎn)P到直線xy0的距離最小，最小值為4.答案：482019·唐山摸底已知直線l：kxyk20與圓C：x2y22y70相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為_解析：直線l的方程為y2k(x1)，經(jīng)過定點(diǎn)P(1,2)，由已知可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)28，可知圓心C(0,1)，半徑r2，由圓的性質(zhì)可知當(dāng)直線l與CP垂直時弦長最小，因?yàn)閨CP|，故|AB|min22.答案：292019·廣東六校聯(lián)考已知點(diǎn)P(1,2)及圓(x3)2(y4)24，一光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)x軸上一點(diǎn)Q反射后與圓相切于點(diǎn)T，則|PQ|QT|的值為_解析：點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P(1，2)，如圖，連接PP，PQ，由對稱性可知，PQ與圓相切于點(diǎn)T，則|PQ|QT|PT|.圓(x3)2(y4)24的圓心為A(3,4)，半徑r2，連接AP，AT，則|AP|2(13)2(24)252，|AT|r2，所以|PQ|QT|PT|4.答案：4102019·浙江卷已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0，m)，半徑長是r.若直線2xy30與圓C相切于點(diǎn)A(2，1)，則m_，r_.解析：解法一：設(shè)過點(diǎn)A(2，1)且與直線2xy30垂直的直線方程為l：x2yt0，所以22t0，所以t4，所以l：x2y40.令x0，得m2，則r.解法二：因?yàn)橹本€2xy30與以點(diǎn)(0，m)為圓心的圓相切，且切點(diǎn)為A(2，1)，所以×21，所以m2，r.答案：2調(diào)研二橢圓、雙曲線備考工具一、定義1橢圓的定義(1)定義：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫橢圓這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距(2)集合語言：PM|MF1|MF2|2a，且2a>|F1F2|，|F1F2|2c，其中a>c>0，且a，c為常數(shù)(3)當(dāng)2a>|F1F2|時，軌跡為橢圓；當(dāng)2a|F1F2|時，軌跡為線段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時，軌跡不存在2雙曲線的定義及理解(1)定義：平面上到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值為非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距(2)符號語言：|MF1|MF2|2a(2a<|F1F2|)(3)當(dāng)|MF1|MF2|2a時，曲線僅表示焦點(diǎn)F2所對應(yīng)的雙曲線的一支；當(dāng)|MF1|MF2|2a時，曲線僅表示焦點(diǎn)F1所對應(yīng)的雙曲線的一支；當(dāng)2a|F1F2|時，軌跡為分別以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)2a>|F1F2|時，動點(diǎn)軌跡不存在二、方程和性質(zhì)1橢圓的方程與性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍axa，bybbxb，aya對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)；B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)；B1(b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|2c離心率e(0,1)a，b，c的關(guān)系a2b2c22.雙曲線的方程與性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)軸實(shí)軸：線段A1A2，虛軸：B1B2焦距|F1F2|2c離心率e，e(1，)a，b，c的關(guān)系c2a2b2漸近線y±xy±x三、離心率e的作用(1)橢圓：e越大，圖形越扁(2)雙曲線：e越大，開口越小四、常見結(jié)論1橢圓(1)橢圓的通徑(過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦)長為，通徑是最短的焦點(diǎn)弦(2)P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的焦點(diǎn)，則|PF|ac，ac，即橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為ac，最小值為ac.(3)橢圓的焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的PF1F2叫作焦點(diǎn)三角形如圖所示，設(shè)F1PF2.當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時，最大|PF1|·|PF2|·sinb2·b2tanc|y0|，當(dāng)|y0|b，即P為短軸端點(diǎn)時，取最大值，最大值為bc.焦點(diǎn)三角形的周長為2(ac)(4)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，AB是過F1的弦，則|AF2|BF2|AB|4a.(5)AB為橢圓1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則弦長l|x1x2|y1y2|(其中k為直線AB的斜率)；直線AB的斜率kAB.2雙曲線(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.(2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|minac，|PF2|minca.(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦)，其長為；異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長為2a.(4)若P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則SPF1F2，其中F1PF2.(5)若P是雙曲線1(a>0，b>0)右支上不同于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，I為PF1F2內(nèi)切圓的圓心，則圓心I的橫坐標(biāo)為定值a.(6)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)，AB是過F1的弦，則|AF2|BF2|AB|4a.(7)AB為雙曲線1(a>0，b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)則弦長l|x1x2|y1y2|(其中k為直線AB的斜率)；直線AB的斜率kAB.五、特殊曲線1等軸雙曲線(1)定義：中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，實(shí)半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫作等軸雙曲線(2)性質(zhì)：ab；e；漸近線互相垂直；等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng)2共軛雙曲線(1)定義：如果一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實(shí)軸，那么這兩條雙曲線互為共軛雙曲線(2)性質(zhì)：它們有共同的漸近線；它們的四個焦點(diǎn)共圓；它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1.六、求橢圓、雙曲線離心率的方法(1)定義法：直接求出a，c的值來解e，通過已知條件列方程，解出a，c的值(2)解方程法：由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解(3)通過特殊值或特殊位置求離心率此方法多用于選擇題和填空題(4)求離心率的最值(或范圍)，往往借助圖形的性質(zhì)、曲線的范圍、正余弦函數(shù)的有界性、基本不等式等來構(gòu)造關(guān)于a，b，c的不等式，從而達(dá)到求解的目的自測自評12019·北京卷已知橢圓1(a>b>0)的離心率為，則()Aa22b2B3a24b2Ca2bD3a4b解析：由題意得，又a2b2c2，4b23a2.故選B.答案：B22019·全國卷雙曲線C：1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若|PO|PF|，則PFO的面積為()A.B.C2D3解析：不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，根據(jù)題意可知c26，所以|OF|.又tanPOF，所以等腰三角形POF的高h(yuǎn)×，所以SPFO××.答案：A32018·全國卷已知雙曲線C：y21，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若OMN為直角三角形，則|MN|()A.B3C2D4解析：因?yàn)殡p曲線y21的漸近線方程為y±x，所以MON60°.不妨設(shè)過點(diǎn)F的直線與直線yx交于點(diǎn)M，由OMN為直角三角形，不妨設(shè)OMN90°，則MFO60°，又直線MN過點(diǎn)F(2,0)，所以直線MN的方程為y(x2)，由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3.答案：B42019·洛陽統(tǒng)考已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(2，)在雙曲線上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則該雙曲線的方程為()Ax2y21B.1Cx21D.1解析：通解：|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，|PF1|PF2|4c，點(diǎn)P位于第一象限，|PF1|PF2|2a，|PF1|2ca，|PF2|2ca，cosPF2F1，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，)，sinPF2F1，21，化簡得(c2a)23(2ca)2，c2a2b21，又1，a21，雙曲線的方程為x2y21，故選A.優(yōu)解：|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，|PF1|PF2|4c，點(diǎn)P位于第一象限，|PF1|PF2|2a，|PF1|2ca，|PF2|2ca，cosPF2F1，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，)，sinPF2F1，21，化簡得(c2a)23(2ca)2，c2a2b21，此時可以排除選項(xiàng)B，C，D，故選A.答案：A52019·石家莊一模已知橢圓1(ab0)，點(diǎn)F為左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為下頂點(diǎn)，平行于FP的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為M，則橢圓的離心率為()A.B.C.D.解析：FP的斜率為，F(xiàn)Pl，直線l的斜率為.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，即.AB的中點(diǎn)為M，a22bc，b2c22bc，bc，ac，橢圓的離心率為，故選B.答案：B62019·鄭州質(zhì)量預(yù)測二已知雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線上存在點(diǎn)P使，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A.B(1,2)C.D(1,2)解析：通解：因?yàn)椋渣c(diǎn)P不可能在雙曲線的左、右兩個頂點(diǎn)處，(1)當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的右支上(不包括雙曲線的右頂點(diǎn))時，根據(jù)雙曲線的定義，得|PF1|PF2|2a，因?yàn)?，所以由正弦定理得，解得|PF1|，|PF2|，所以c2a0，所以e2.在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即2c，整理得2a23acc20，所以e23e20，解得e.綜上，2e.(2)當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的左支上(不包括雙曲線的左頂點(diǎn))時，根據(jù)雙曲線的定義，得|PF1|PF2|2a，因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，解得|PF1|，|PF2|，所以2ac0，所以e2.在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即2c，整理得2a2acc20，所以e2e20，又20恒成立，由e1，所以1e2.綜上所述，該雙曲線的離心率e的取值范圍為(1,2).優(yōu)解：因?yàn)椋渣c(diǎn)P不可能在雙曲線的左、右兩個頂點(diǎn)處，(1)當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的右支上(不包括雙曲線的右頂點(diǎn))時，e2×2×2×22，因?yàn)閨PF2|ca，所以e22，所以e23e20，解得e，所以2e.(2)當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的左支上(不包括雙曲線的左頂點(diǎn))時，e2×2×2×22，因?yàn)閨PF2|ac，所以e22，所以e2e20，又20恒成立，e1，所以1e2.綜上所述，該雙曲線的離心率e的取值范圍為(1,2).答案：D72019·江蘇卷在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線x21(b>0)經(jīng)過點(diǎn)(3,4)，則該雙曲線的漸近線方程是_解析：因?yàn)殡p曲線x21(b>0)經(jīng)過點(diǎn)(3,4)，所以91，得b，所以該雙曲線的漸近線方程是y±bx±x.答案：y±x82019·全國卷設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：1的兩個焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限若MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為_解析：不妨令F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，根據(jù)題意可知c4.因?yàn)镸F1F2為等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84.設(shè)M(x，y)，則得所以M的坐標(biāo)為(3，)答案：(3，)92019·全國卷已知雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)若，·0，則C的離心率為_解析：通解：因?yàn)?#183;0，所以F1BF2B，如圖.所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因?yàn)?，所以點(diǎn)A為F1B的中點(diǎn)，又點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)ABF2，所以F1BOA，因?yàn)橹本€OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tanBF1O，tanBOF2.因?yàn)閠anBOF2tan(2BF1O)，所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，所以雙曲線的離心率e2.優(yōu)解：因?yàn)?#183;0，所以F1BF2B，在RtF1BF2中，|OB|OF2|，所以O(shè)BF2OF2B，所以A為F1B的中點(diǎn)，所以O(shè)AF2B，所以F1OAOF2B.又F1OABOF2，所以O(shè)BF2為等邊三角形由F2(c,0)可得B，因?yàn)辄c(diǎn)B在直線yx上，所以c·，所以，所以e2.答案：2102019·浙江卷已知橢圓1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方若線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是_解析：通解：依題意，設(shè)點(diǎn)P(m，n)(n>0)，由題意知F(2,0)，所以線段FP的中點(diǎn)M在圓x2y24上，所以224，又點(diǎn)P(m，n)在橢圓1上，所以1，所以4m236m630，所以m或m(舍去)，n，所以kPF.優(yōu)解：如圖，取PF的中點(diǎn)M，連接OM，由題意知|OM|OF|2，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，連接PF1，在PFF1中，OM為中位線，所以|PF1|4，由橢圓的定義知|PF|PF1|6，所以|PF|2.因?yàn)镸為PF的中點(diǎn)，所以|MF|1.在等腰三角形OMF中，過O作OHMF于點(diǎn)H，所以|OH|，所以kPFtanHFO.答案：調(diào)研三拋物線備考工具1拋物線的定義平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線2拋物線定義的理解拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化如果問題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題3拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)圖形頂點(diǎn)(0,0)對稱軸x軸y軸焦點(diǎn)FFFF準(zhǔn)線xxyy4.拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)焦點(diǎn)弦：線段AB為拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2；(2)y1y2p2；(3)焦半徑|AF|x1；(4)弦長lx1x2p.當(dāng)弦ABx軸時，弦長最短為2p，此時的弦又叫通徑；(5)弦長l(為AB的傾斜角)5直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線l的方程AxByC0(A，B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)0，消去y(或x)得到一個關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程即消去y得ax2bxc0.(1)當(dāng)a0時，設(shè)一元二次方程ax2bxc0的判別式為，則>0直線與圓錐曲線C相交；0直線與圓錐曲線C相切；<0直線與圓錐曲線C相離(2)當(dāng)a0，b0時，得到一個一元一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個交點(diǎn)，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行或重合6重要結(jié)論(1)以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；以焦半徑為直徑的圓與y軸相切(開口向右或向左)(2)過拋物線焦點(diǎn)弦的兩個端點(diǎn)作拋物線的兩條切線，則切線互相垂直，且交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上自測自評12019·安徽五校質(zhì)檢二已知拋物線C：x22py(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上，且|PF|，則p()A.B.C.D1解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為y，因?yàn)镻在拋物線上，所以點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離d|PF|，則p，故選B.答案：B22019·全國卷若拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)是橢圓1的一個焦點(diǎn)，則p()A2B3C4D8解析：由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)，所以，解得p8，故選D.答案：D32019·天津卷已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且|AB|4|OF|(O為原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為()A.B.C2D.解析：由題意，可得F(1,0)，直線l的方程為x1，雙曲線的漸近線方程為y±x.將x1代入y±x，得y±，所以點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)的絕對值均為.由|AB|4|OF|可得4，即b2a，b24a2，故雙曲線的離心率e.答案：D42019·江西五校聯(lián)考過拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過線段AB的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)M，若|MN|AB|，則直線l的傾斜角為()A15°B30°C45°D60°解析：分別過A，B，N作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A，B，N，由拋物線的定義知|AF|AA|，|BF|BB|，|NN|(|AA|BB|)|AB|，因?yàn)閨MN|AB|，所以|NN|MN|，所以MNN60°，即直線MN的傾斜角為120°，又直線MN與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為30°，故選B.答案：B52019·廣東六校聯(lián)考拋物線y2x2上有一動弦AB，中點(diǎn)為M，且弦AB的長為3，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的最小值為()A.B.C.D1解析：通解：由題意設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直線AB的方程為ykxb.由題意知y0b>0.聯(lián)立得整理得2x2kxb0，k28b>0，x1x2，x1x2，則|AB|，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y0xxb.因?yàn)橄褹B的長為3，所以3，即(1k2)9，故(14y04b)(y0b)9，即(14y04b)(4y04b)36.由基本不等式得，(14y04b)(4y04b)212，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即18y012，y0，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的最小值為.故選A.優(yōu)解：由題意得，焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線y.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則y0(y1y2)(|AF|BF|)|AB|.(當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，取等號)答案：A62019·安徽示范高中聯(lián)考設(shè)拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A4或8B2或4C2或8D4或16解析：拋物線C的方程為y22px(p>0)，F(xiàn)，準(zhǔn)線方程為x.如圖，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，則|KF|p.過M作MP平行于x軸交準(zhǔn)線于P，則|MP|MF|5.取MF的中點(diǎn)為N，過N作NQ平行于x軸交準(zhǔn)線于Q，交y軸于A，則|NQ|，|AN|NQ|，以MF為直徑的圓與y軸相切，A為切點(diǎn)，即A(0,2)，N，故M，162p，p210p160，p2或p8，故選C.答案：C72019·湖南四校調(diào)研已知F是拋物線C：y28x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|()A4B6C8D10解析：通解：如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線l：x2與x軸交于點(diǎn)F，作MBl于點(diǎn)B，NAl于點(diǎn)A，則|AN|2，|FF|4.在直角梯形ANFF中，由中位線定理，知|BM|3.由拋物線的定義，知|MF|MB|3，結(jié)合題意，有|MN|MF|3，所以|FN|FM|MN|6，故選B.優(yōu)解：設(shè)N(0，a)，由題意知F(2,0)，則M，因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以8，解得a±4，所以N(0，±4)，所以|FN|6，故選B.答案：B82019·山西第一次聯(lián)考已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與該拋物線交于P，Q兩個不同的點(diǎn)，P，Q兩點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為M，N，若|MN|4，|NF|4，則p()A.B2C2D4解析：通解：易得拋物線的準(zhǔn)線l：x.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由題意可得F，M，N，故|MF|22(y10)2p2y，即(4)2p2y，即y48p2.|NF|22(y20)2p2y，即42p2y，即y16p2.又直線PQ過焦點(diǎn)F，所以y1y2p2，所以(y1y2)2(p2)2，即yp(48p2)(16p2)p4，整理得p212，所以p2.優(yōu)解：根據(jù)題意，得拋物線的準(zhǔn)線方程為x，F(xiàn)，設(shè)直線PQ的方程為xty，與拋物線方程y22px聯(lián)立，得y22ptyp20，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1y2p2，設(shè)MN與x軸的交點(diǎn)為H，則由題意可得M，N，(p，y1)，(p，y2)，·p2y1y20，故MFNF，所以|MN|8，所以由等面積法可得p|FH|2.答案：C92019·惠州調(diào)研設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(2,0)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)C，若，則|AF|()A.B4C3D2解析：設(shè)過點(diǎn)(2,0)的直線的方程為yk(x2)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程代入拋物線方程得，k2x24(1k2)x4k20，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1·x24.分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線AA1，BB1，垂足分別為點(diǎn)A1，B1，則，即5x12x230，由得x11或x1(舍去)，|AF|x112，故選D.答案：D102019·山西八校聯(lián)考已知A是拋物線y24x上的動點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上的射影是點(diǎn)C，B是圓D：(x3)2(y2)21上的動點(diǎn)，則|AB|AC|的最小值是_解析：圓D：(x3)2(y2)21的圓心為D(3,2)，半徑r1.拋物線y24x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.如圖，設(shè)點(diǎn)A在拋物線準(zhǔn)線上的射影為點(diǎn)H，則|AB|AC|AB|AH|1.連接AF，由拋物線的定義可知|AH|AF|，|AB|AC|AB|AF|1.易知D，B，A，F(xiàn)四點(diǎn)共線時，|AB|AF|取得最小值，連接DF，則(|AB|AF|)min|DF|r121，(|AB|AC|)min22.答案：2221