2019屆高考數(shù)學二輪復習 專題一 第2講 不等式學案

第2講不等式考向預測1利用不等式性質(zhì)比較大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題是高考的熱點，主要以選擇題、填空題為主；2在解答題中，特別是在解析幾何中求最值、范圍問題或在解決導數(shù)問題時常利用不等式進行求解，難度較大1不等式的解法(1)一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2bxc>0(或<0)(a0，b24ac>0)，如果a與ax2bxc同號，則其解集在兩根之外；如果a與ax2bxc異號，則其解集在兩根之間(2)簡單分式不等式的解法>0(<0)f(x)g(x)>0(<0)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0(3)指數(shù)不等式、對數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解2幾個不等式(1)a2b22ab(取等號的條件是當且僅當ab)(2)(a，bR)(3)(a>0，b>0)(4)2(a2b2)(ab)2(a，bR，當ab時等號成立)3利用基本不等式求最值(1)如果x>0，y>0，xyp(定值)，當xy時，xy有最小值2(簡記為：積定，和有最小值)(2)如果x>0，y>0，xys(定值)，當xy時，xy有最大值(簡記為：和定，積有最大值)4簡單的線性規(guī)劃問題解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再根據(jù)目標函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結合找到目標函數(shù)達到最值時可行域上的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準確，整點問題要驗證解決熱點一不等式的性質(zhì)及解法【例1】(1)(2018·武漢聯(lián)考)已知函數(shù)是上的減函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍為_(2)(2017·江蘇卷)已知函數(shù)f(x)x32xex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，若f(a1)f(2a2)0，則實數(shù)a的取值范圍是_解析(1)因為是上的減函數(shù)，若，所以，解不等式組得，(2)f(x)3x22ex3x2223x20且f(x)不恒為0，所以f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)又f(x)x32xexex(x32xex)f(x)，故f(x)為奇函數(shù)，由f(a1)f(2a2)0，得f(2a2)f(1a)，2a21a，解之得1a，故實數(shù)a的取值范圍是答案(1)C(2)探究提高1解一元二次不等式：先化為一般形式ax2bxc>0(a>0)，再結合相應二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集2(1)對于和函數(shù)有關的不等式，可先利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化(2)含參數(shù)的不等式的求解，要對參數(shù)進行分類討論【訓練1】(1)(2018·七寶中學)若對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_(2)已知不等式|a2a|對于x2，6恒成立，則a的取值范圍是_解析(1)由已知得不等式對任意恒成立，所以不等式對任意恒成立，即不等式對任意恒成立，當時，則不等式對任意不恒成立，所以。所以，即，所以解得(2)設y，故y在x2，6上單調(diào)遞減，則ymin，故不等式|a2a|對于x2，6恒成立等價于|a2a|恒成立，化簡得解得1a2，故a的取值范圍是1，2答案(1)R(2)1，2熱點二基本不等式【例2】(1)(2018·天津期末)已知，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_(2)(2016·江蘇卷改編)已知函數(shù)f(x)2x，若對于任意xR，不等式f(2x)mf(x)6恒成立，則實數(shù)m的最大值為_解析(1)，恒成立，且，因為恒成立，故答案為(2)由條件知f(2x)mf(x)6對于xR恒成立，且f(x)>0，對于xR恒成立又f(x)24，且，m4，故實數(shù)m的最大值為4答案(1)8(2)4探究提高1利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、湊”等變形，變形的原則是在已知條件下通過變形湊出基本不等式應用的條件，即“和”或“積”為定值，等號能夠取得2特別注意：(1)應用基本不等式求最值時，若遇等號取不到的情況，則應結合函數(shù)的單調(diào)性求解(2)若兩次連用基本不等式，要注意等號的取得條件的一致性，否則會出錯【訓練2】 (1) (2018·新泰一中)若直線過點，則的最小值為_(2)若實數(shù)a，b滿足，則ab的最小值為()AB2C2D4解析(1)直線過點，故，當且僅當，即時取等號，結合可解得且，故答案為(2)依題意知a>0，b>0，則2，當且僅當，即b2a時，“”成立，即ab2，ab的最小值為2答案(1)C(2)C熱點三簡單的線性規(guī)劃問題【例3】 (1) (2018·張家口期中)已知，滿足，則的最大值為_(2) (2017·池州模擬)已知x，y滿足約束條件目標函數(shù)z2x3y的最大值是2，則實數(shù)a()AB1CD4解析(1)根據(jù)題中所給的約束條件，畫出可行域，如圖所示：由解得，目標函數(shù)可看做斜率為3的動直線，其縱截距越小，越大，由圖可知，當動直線過點時，最大，最大值為，故答案是6. (2)解析作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示，目標函數(shù)z2x3y的最大值是2，由圖象知z2x3y經(jīng)過平面區(qū)域的A時目標函數(shù)取得最大值2由解得A(4，2)，同時A(4，2)也在直線axy40上，4a2，則a答案(1)D(2)A探究提高1線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結合的思想需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數(shù)所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得2對于線性規(guī)劃中的參數(shù)問題，需注意：(1)當最值是已知時，目標函數(shù)中的參數(shù)往往與直線斜率有關，解題時應充分利用斜率這一特征加以轉(zhuǎn)化(2)當目標函數(shù)與最值都是已知，且約束條件中含有參數(shù)時，因為平面區(qū)域是變動的，所以要抓住目標函數(shù)及最值已知這一突破口，先確定最優(yōu)解，然后變動參數(shù)范圍，使得這樣的最優(yōu)解在該區(qū)域內(nèi)即可【訓練3】 (1) (2019·貴州聯(lián)考)設實數(shù)，滿足不等式組，則的最小值是_(2)(2017·新鄉(xiāng)模擬)若實數(shù)x，y滿足且zmxy(m<2)的最小值為，則m等于()ABC1D解析(1)作出不等式組，表示的平面區(qū)域：得到如圖的陰影部分，得，設，將直線進行平移，當經(jīng)過點時，目標函數(shù)達到最小值，故答案為2 (2)作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示，zmxy(m<2)的最小值為，可知目標函數(shù)的最優(yōu)解過點A，由解得A，3，解得m1答案(1)C(2)C1(2018·全國I卷)若，滿足約束條件，則的最大值為_2(2016·山東卷)若變量x，y滿足則x2y2的最大值是()A4B9C10D123(2018·全國I卷)設函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）ABCD4(2017·天津卷)若a，bR，ab>0，則的最小值為_1(2018·南陽期中)已知正項等比數(shù)列的公比為2，若，則的最小值等于（）ABCD2(2017·全國卷)設x，y滿足約束條件則zxy的取值范圍是()A3，0 B3，2C0，2 D0，33已知當x0時，2x2mx10恒成立，則m的取值范圍為()A2，) B(，2C(2，) D(，2)4已知函數(shù)那么不等式f(x)1的解集為_5設，滿足約束條件:的可行域為（1）求的最大值與的最小值;（2）若存在正實數(shù),使函數(shù)的圖象經(jīng)過區(qū)域中的點,求這時的取值范圍.1已知，滿足約束條件，記（其中）的最小值為，若，則實數(shù)的最小值為（）A3B4C5D62(2017·北京卷)已知x0，y0，且xy1，則x2y2的取值范圍是_3(2017·長郡中學二模)曲線x|y1|與y2x5圍成封閉區(qū)域(含邊界)為，直線y3xb與區(qū)域有公共點，則b的最小值為_4（2018·莆田一中）已知函數(shù)，對任意的，恒有（1）證明：（2）若對滿足題設條件的任意，不等式恒成立，求的最小值5（2018·執(zhí)信中學）私人辦學是教育發(fā)展的方向，某人準備投資1200萬元舉辦一所中學，為了考慮社會效益和經(jīng)濟效益，對該地區(qū)教育市場進行調(diào)查，得出一組數(shù)據(jù)，列表如下（以班級為單位）：市場調(diào)查表班級學生數(shù)配備教師數(shù)硬件建設費（萬元）教師年薪（萬元）初中高中根據(jù)物價部門的有關文件，初中是義務教育階段，收費標準適當控制，預計除書本費、辦公費，初中每生每年可收取元，高中每生每年可收取元.因生源和環(huán)境等條件限制，辦學規(guī)模以至個班為宜（含個與個）.教師實行聘任制.初、高中的教育周期均為三年.請你合理地安排招生計劃，使年利潤最大，大約經(jīng)過多少年可以收回全部投資？參考答案1【解題思路】首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應的可行域，再將目標函數(shù)化成斜截式，之后在圖中畫出直線，在上下移動的過程中，結合的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)直線過B點時取得最大值，聯(lián)立方程組，求得點B的坐標代入目標函數(shù)解析式，求得最大值.【答案】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對應的可行域，如圖所示：由可得，畫出直線，將其上下移動，結合的幾何意義，可知當直線過點B時，取得最大值，由，解得，此時，故答案為6.2【解題思路】x2y2可看做點(x, y)到(0,0)的距離的平方【答案】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示：x2y2表示區(qū)域內(nèi)點到原點距離的平方，由得A(3，1)由圖形知，(x2y2)max|OA|232(1)210故選C3【解題思路】首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖像畫出來，從圖中可以發(fā)現(xiàn)若有成立，一定會有，從而求得結果.【答案】將函數(shù)f(x)的圖像畫出來，觀察圖像可知會有，解得，所以滿足的的取值范圍是，故選D.4【解題思路】直接用兩次均值不等式，本題恰好能同時取等號【答案】a，bR，ab>0，4ab24，當且僅當即時取得等號故填41【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出，由乘“1”法求出代數(shù)式的最小值即可【答案】正項等比數(shù)列的公比為2，若，故,故，,故當且僅當即時“”成立，故選A2【解題思路】畫出可行域，確定取最小值和最大值時的點【答案】畫出不等式組表示的可行域(如圖陰影部分所示)，結合目標函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點A(0，3)處取得最小值z033，在點B(2，0)處取得最大值z202故選B3【解題思路】利用分離參數(shù)法分離出m，轉(zhuǎn)化為求最值問題【答案】由2x2mx10，得mx2x21，因為x0，所以m2x又2x22當且僅當2x，即x時取等號，所以m2故選C4【解題思路】分類討論代入不同的函數(shù)解析式，進而求出x的范圍【答案】當x0時，由可得x3，當x0時，由1可得x0，不等式f(x)1的解集為(，03，)故填(，03，)5【解題思路】（1）畫出可行域，將目標函數(shù)變形為，故最大值，直線縱截距最大，故將直線經(jīng)過可行域盡可能地向上平移到點時，此時最大，將點坐標帶入即可，表示可行域內(nèi)的點到原點距離的平方，觀察可行域內(nèi)的點并將與原點距離最小的點的坐標帶入目標函數(shù)即可；（2）函數(shù)解析式化為，由圖像得只需，解不等式得的取值范圍【答案】（1）由，得，由，得，由，得，可行域為如圖，又，是軸的截距，過點時，是表示區(qū)域M上的點到原點距離平方.如圖使所求距離的平方最小，.（2），過區(qū)域中的點，而區(qū)域中，又，函數(shù)圖象過點，當時，滿足過區(qū)域M中的點，只須圖象與射線，有公共點.只須時, ，所求的取值范圍是.1【解題思路】畫出可行域，確定何時取最小值.【答案】由題畫出可行域如圖所示，可知目標函數(shù)過點時取得最小值，由題，選C2【解題思路】x2y2可看做點(x, y)到(0, 0)的距離的平方，也可利用均值不等式【答案】法一x0，y0且xy12xy1，當且僅當xy時取等號，從而0xy，因此x2y2(xy)22xy12xy，所以x2y21法二可轉(zhuǎn)化為線段AB上的點到原點距離平方的范圍，AB上的點到原點距離的范圍為，則x2y2的取值范圍為故填3【解題思路】y3xb化為b3xy即為目標函數(shù)，畫出可行域，確定取最小值時的點【答案】作x|y1|與y2x5圍成的平面區(qū)域如圖，由解得A(6，7)，平移直線y3xb，則由圖象可知當直線經(jīng)過點A時，直線y3xb在y軸上的截距最小，此時b最小b3xy的最小值為18711故填114【解題思路】（1）先求導數(shù)，并化簡不等式得，再根據(jù)一元二次不等式恒成立得，最后利用基本不等式得結論.（2）先討論時，不等式恒成立，再討論時，利用變量分離法將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)最值問題，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)最值即得M的取值范圍，最后確定M的最小值【答案】（1）易知由題設，對任意的，即恒成立，所以，從而于是，且，因此（2）由（1）知，當時，有令，則，而函數(shù)的值域是因此，當時，的取值集合為當時，由（1）知，此時或0，從而恒成立綜上所述，的最小值為5【解題思路】根據(jù)設初中編個班，高中編制為個班，得出二元一次方程組，又設年利潤為萬元，那么，即，根據(jù)線性規(guī)劃可得年利潤最大值，利用可得大約經(jīng)過36年可以收回全部投資.【答案】設初中編制為個班，高中編制為個班.則依題意有，（*）又設年利潤為萬元，那么，即，在直角坐標系中作出（*）所表示的可行域，如圖所示.問題轉(zhuǎn)化為在如圖所示的陰影部分中，求直線在軸上的截距的最大值，如圖，虛線所示的為一組斜率為的直線，顯然當直線過圖中的點時，縱截距取最大值.解聯(lián)立方程組得，將，代入s中得，.設經(jīng)過年可收回投資，則第年利潤為（萬元）；第2年利潤為（萬元），以后每年的利潤均為萬元，故依題意應有.解得.答：學校規(guī)模以初中個班、高中個班為宜，第一年初中招生個班約人，高中招生個班約，從第三年開始年利潤為萬元，約經(jīng)過年可以收回全部投資.16