2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 第2講 不等式學(xué)案

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1、第2講不等式考向預(yù)測(cè)1利用不等式性質(zhì)比較大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題是高考的熱點(diǎn)，主要以選擇題、填空題為主；2在解答題中，特別是在解析幾何中求最值、范圍問題或在解決導(dǎo)數(shù)問題時(shí)常利用不等式進(jìn)行求解，難度較大1不等式的解法(1)一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2bxc0(或0)，如果a與ax2bxc同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與ax2bxc異號(hào)，則其解集在兩根之間(2)簡(jiǎn)單分式不等式的解法0(0(0，b0)(4)2(a2b2)(ab)2(a，bR，當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)3利用基本不等式求最值(1)如果x0，y0，xyp(定值)，當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值2(簡(jiǎn)記為：積定

2、，和有最小值)(2)如果x0，y0，xys(定值)，當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值(簡(jiǎn)記為：和定，積有最大值)4簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域上的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決熱點(diǎn)一不等式的性質(zhì)及解法【例1】(1)(2018武漢聯(lián)考)已知函數(shù)是上的減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(2)(2017江蘇卷)已知函數(shù)f(x)x32xex，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若f(a1)f(2a2)0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析(1)因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，若，所以，解不等式組得，(2)f(x)3x22e

3、x3x2223x20且f(x)不恒為0，所以f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)又f(x)x32xexex(x32xex)f(x)，故f(x)為奇函數(shù)，由f(a1)f(2a2)0，得f(2a2)f(1a)，2a21a，解之得1a，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是答案(1)C(2)探究提高1解一元二次不等式：先化為一般形式ax2bxc0(a0)，再結(jié)合相應(yīng)二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集2(1)對(duì)于和函數(shù)有關(guān)的不等式，可先利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化(2)含參數(shù)的不等式的求解，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論【訓(xùn)練1】(1)(2018七寶中學(xué))若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_(2)已知不等式|a2a|對(duì)于x2，6恒

4、成立，則a的取值范圍是_解析(1)由已知得不等式對(duì)任意恒成立，所以不等式對(duì)任意恒成立，即不等式對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，則不等式對(duì)任意不恒成立，所以。所以，即，所以解得(2)設(shè)y，故y在x2，6上單調(diào)遞減，則ymin，故不等式|a2a|對(duì)于x2，6恒成立等價(jià)于|a2a|恒成立，化簡(jiǎn)得解得1a2，故a的取值范圍是1，2答案(1)R(2)1，2熱點(diǎn)二基本不等式【例2】(1)(2018天津期末)已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_(2)(2016江蘇卷改編)已知函數(shù)f(x)2x，若對(duì)于任意xR，不等式f(2x)mf(x)6恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為_解析(1)，恒成立，且，因?yàn)楹愠闪?，故答案?2)由

5、條件知f(2x)mf(x)6對(duì)于xR恒成立，且f(x)0，對(duì)于xR恒成立又f(x)24，且，m4，故實(shí)數(shù)m的最大值為4答案(1)8(2)4探究提高1利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、湊”等變形，變形的原則是在已知條件下通過變形湊出基本不等式應(yīng)用的條件，即“和”或“積”為定值，等號(hào)能夠取得2特別注意：(1)應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，則應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解(2)若兩次連用基本不等式，要注意等號(hào)的取得條件的一致性，否則會(huì)出錯(cuò)【訓(xùn)練2】 (1) (2018新泰一中)若直線過點(diǎn)，則的最小值為_(2)若實(shí)數(shù)a，b滿足，則ab的最小值為()AB2C2D4解析(1)直線過點(diǎn)，故，當(dāng)且

6、僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，結(jié)合可解得且，故答案為(2)依題意知a0，b0，則2，當(dāng)且僅當(dāng)，即b2a時(shí)，“”成立，即ab2，ab的最小值為2答案(1)C(2)C熱點(diǎn)三簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題【例3】 (1) (2018張家口期中)已知，滿足，則的最大值為_(2) (2017池州模擬)已知x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z2x3y的最大值是2，則實(shí)數(shù)a()AB1CD4解析(1)根據(jù)題中所給的約束條件，畫出可行域，如圖所示：由解得，目標(biāo)函數(shù)可看做斜率為3的動(dòng)直線，其縱截距越小，越大，由圖可知，當(dāng)動(dòng)直線過點(diǎn)時(shí)，最大，最大值為，故答案是6. (2)解析作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)z2x3y的最大值

7、是2，由圖象知z2x3y經(jīng)過平面區(qū)域的A時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值2由解得A(4，2)，同時(shí)A(4，2)也在直線axy40上，4a2，則a答案(1)D(2)A探究提高1線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得2對(duì)于線性規(guī)劃中的參數(shù)問題，需注意：(1)當(dāng)最值是已知時(shí)，目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)往往與直線斜率有關(guān)，解題時(shí)應(yīng)充分利用斜率這一特征加以轉(zhuǎn)化(2)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與最值都是已知，且約束條件中含有參數(shù)時(shí)，因?yàn)槠矫鎱^(qū)域是變

8、動(dòng)的，所以要抓住目標(biāo)函數(shù)及最值已知這一突破口，先確定最優(yōu)解，然后變動(dòng)參數(shù)范圍，使得這樣的最優(yōu)解在該區(qū)域內(nèi)即可【訓(xùn)練3】 (1) (2019貴州聯(lián)考)設(shè)實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的最小值是_(2)(2017新鄉(xiāng)模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足且zmxy(m2)的最小值為，則m等于()ABC1D解析(1)作出不等式組，表示的平面區(qū)域：得到如圖的陰影部分，得，設(shè)，將直線進(jìn)行平移，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值，故答案為2 (2)作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示，zmxy(m0，則的最小值為_1(2018南陽期中)已知正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為2，若，則的最小值等于（）ABCD2(2017全國(guó)卷)設(shè)x，y滿足

9、約束條件則zxy的取值范圍是()A3，0 B3，2C0，2 D0，33已知當(dāng)x0時(shí)，2x2mx10恒成立，則m的取值范圍為()A2，) B(，2C(2，) D(，2)4已知函數(shù)那么不等式f(x)1的解集為_5設(shè)，滿足約束條件:的可行域?yàn)椋?）求的最大值與的最小值;（2）若存在正實(shí)數(shù),使函數(shù)的圖象經(jīng)過區(qū)域中的點(diǎn),求這時(shí)的取值范圍.1已知，滿足約束條件，記（其中）的最小值為，若，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A3B4C5D62(2017北京卷)已知x0，y0，且xy1，則x2y2的取值范圍是_3(2017長(zhǎng)郡中學(xué)二模)曲線x|y1|與y2x5圍成封閉區(qū)域(含邊界)為，直線y3xb與區(qū)域有公共點(diǎn)，則b的最小值

10、為_4（2018莆田一中）已知函數(shù)，對(duì)任意的，恒有（1）證明：（2）若對(duì)滿足題設(shè)條件的任意，不等式恒成立，求的最小值5（2018執(zhí)信中學(xué)）私人辦學(xué)是教育發(fā)展的方向，某人準(zhǔn)備投資1200萬元舉辦一所中學(xué)，為了考慮社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益，對(duì)該地區(qū)教育市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查，得出一組數(shù)據(jù)，列表如下（以班級(jí)為單位）：市場(chǎng)調(diào)查表班級(jí)學(xué)生數(shù)配備教師數(shù)硬件建設(shè)費(fèi)（萬元）教師年薪（萬元）初中高中根據(jù)物價(jià)部門的有關(guān)文件，初中是義務(wù)教育階段，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)控制，預(yù)計(jì)除書本費(fèi)、辦公費(fèi)，初中每生每年可收取元，高中每生每年可收取元.因生源和環(huán)境等條件限制，辦學(xué)規(guī)模以至個(gè)班為宜（含個(gè)與個(gè)）.教師實(shí)行聘任制.初、高中的教育周期均為三年.請(qǐng)

11、你合理地安排招生計(jì)劃，使年利潤(rùn)最大，大約經(jīng)過多少年可以收回全部投資？參考答案1【解題思路】首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應(yīng)的可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，之后在圖中畫出直線，在上下移動(dòng)的過程中，結(jié)合的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)直線過B點(diǎn)時(shí)取得最大值，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)解析式，求得最大值.【答案】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對(duì)應(yīng)的可行域，如圖所示：由可得，畫出直線，將其上下移動(dòng)，結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí)，取得最大值，由，解得，此時(shí)，故答案為6.2【解題思路】x2y2可看做點(diǎn)(x, y)到(0,0)的距離的平方【答案】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示：x

12、2y2表示區(qū)域內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，由得A(3，1)由圖形知，(x2y2)max|OA|232(1)210故選C3【解題思路】首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖像畫出來，從圖中可以發(fā)現(xiàn)若有成立，一定會(huì)有，從而求得結(jié)果.【答案】將函數(shù)f(x)的圖像畫出來，觀察圖像可知會(huì)有，解得，所以滿足的的取值范圍是，故選D.4【解題思路】直接用兩次均值不等式，本題恰好能同時(shí)取等號(hào)【答案】a，bR，ab0，4ab24，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)故填41【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出，由乘“1”法求出代數(shù)式的最小值即可【答案】正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為2，若，故,故，,故當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“”成立，故選A2【解題思路】畫出

13、可行域，確定取最小值和最大值時(shí)的點(diǎn)【答案】畫出不等式組表示的可行域(如圖陰影部分所示)，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點(diǎn)A(0，3)處取得最小值z(mì)033，在點(diǎn)B(2，0)處取得最大值z(mì)202故選B3【解題思路】利用分離參數(shù)法分離出m，轉(zhuǎn)化為求最值問題【答案】由2x2mx10，得mx2x21，因?yàn)閤0，所以m2x又2x22當(dāng)且僅當(dāng)2x，即x時(shí)取等號(hào)，所以m2故選C4【解題思路】分類討論代入不同的函數(shù)解析式，進(jìn)而求出x的范圍【答案】當(dāng)x0時(shí)，由可得x3，當(dāng)x0時(shí)，由1可得x0，不等式f(x)1的解集為(，03，)故填(，03，)5【解題思路】（1）畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)變形為，故最大值，直線縱截

14、距最大，故將直線經(jīng)過可行域盡可能地向上平移到點(diǎn)時(shí)，此時(shí)最大，將點(diǎn)坐標(biāo)帶入即可，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，觀察可行域內(nèi)的點(diǎn)并將與原點(diǎn)距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)帶入目標(biāo)函數(shù)即可；（2）函數(shù)解析式化為，由圖像得只需，解不等式得的取值范圍【答案】（1）由，得，由，得，由，得，可行域?yàn)槿鐖D，又，是軸的截距，過點(diǎn)時(shí)，是表示區(qū)域M上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方.如圖使所求距離的平方最小，.（2），過區(qū)域中的點(diǎn)，而區(qū)域中，又，函數(shù)圖象過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，滿足過區(qū)域M中的點(diǎn)，只須圖象與射線，有公共點(diǎn).只須時(shí), ，所求的取值范圍是.1【解題思路】畫出可行域，確定何時(shí)取最小值.【答案】由題畫出可行域如圖所示，可知目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)取得最

15、小值，由題，選C2【解題思路】x2y2可看做點(diǎn)(x, y)到(0, 0)的距離的平方，也可利用均值不等式【答案】法一x0，y0且xy12xy1，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)，從而0xy，因此x2y2(xy)22xy12xy，所以x2y21法二可轉(zhuǎn)化為線段AB上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方的范圍，AB上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的范圍為，則x2y2的取值范圍為故填3【解題思路】y3xb化為b3xy即為目標(biāo)函數(shù)，畫出可行域，確定取最小值時(shí)的點(diǎn)【答案】作x|y1|與y2x5圍成的平面區(qū)域如圖，由解得A(6，7)，平移直線y3xb，則由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y3xb在y軸上的截距最小，此時(shí)b最小b3xy的最小值為18711

16、故填114【解題思路】（1）先求導(dǎo)數(shù)，并化簡(jiǎn)不等式得，再根據(jù)一元二次不等式恒成立得，最后利用基本不等式得結(jié)論.（2）先討論時(shí)，不等式恒成立，再討論時(shí)，利用變量分離法將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)最值即得M的取值范圍，最后確定M的最小值【答案】（1）易知由題設(shè)，對(duì)任意的，即恒成立，所以，從而于是，且，因此（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，有令，則，而函數(shù)的值域是因此，當(dāng)時(shí)，的取值集合為當(dāng)時(shí)，由（1）知，此時(shí)或0，從而恒成立綜上所述，的最小值為5【解題思路】根據(jù)設(shè)初中編個(gè)班，高中編制為個(gè)班，得出二元一次方程組，又設(shè)年利潤(rùn)為萬元，那么，即，根據(jù)線性規(guī)劃可得年利潤(rùn)最大值，利用可得大約經(jīng)過36年可以收回全部投資.【答案】設(shè)初中編制為個(gè)班，高中編制為個(gè)班.則依題意有，（*）又設(shè)年利潤(rùn)為萬元，那么，即，在直角坐標(biāo)系中作出（*）所表示的可行域，如圖所示.問題轉(zhuǎn)化為在如圖所示的陰影部分中，求直線在軸上的截距的最大值，如圖，虛線所示的為一組斜率為的直線，顯然當(dāng)直線過圖中的點(diǎn)時(shí)，縱截距取最大值.解聯(lián)立方程組得，將，代入s中得，.設(shè)經(jīng)過年可收回投資，則第年利潤(rùn)為（萬元）；第2年利潤(rùn)為（萬元），以后每年的利潤(rùn)均為萬元，故依題意應(yīng)有.解得.答：學(xué)校規(guī)模以初中個(gè)班、高中個(gè)班為宜，第一年初中招生個(gè)班約人，高中招生個(gè)班約，從第三年開始年利潤(rùn)為萬元，約經(jīng)過年可以收回全部投資.16