2022年高考數(shù)學(xué)40個考點(diǎn)總動員 考點(diǎn)20 數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和（學(xué)生版） 新課標(biāo)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)40個考點(diǎn)總動員 考點(diǎn)20 數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和（學(xué)生版） 新課標(biāo) 【高考再現(xiàn)】 熱點(diǎn)一、求數(shù)列的通項(xiàng)公式 1．（xx年高考（大綱文））已知數(shù)列中,,前項(xiàng)和. (Ⅰ)求; (Ⅱ)求的通項(xiàng)公式. 2．（xx年高考（上海春））本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分. 已知數(shù)列滿足 (1)設(shè)是公差為的等差數(shù)列.當(dāng)時,求的值; (2)設(shè)求正整數(shù)使得一切均有 (3)設(shè)當(dāng)時,求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 3．（xx年高考（廣東理））設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,,且、、成等差數(shù)列. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅲ)證明:

2、對一切正整數(shù),有. 【方法總結(jié)】 求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常見的有六種類型： （1） 已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求其通項(xiàng)公式. 常用方法：觀察分析法、逐差法、待定系數(shù)法、特殊數(shù)列法、轉(zhuǎn)化法、歸納遞推法等. 根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)，觀察規(guī)律，歸納出數(shù)列通項(xiàng)公式是一項(xiàng)重要能力. （2） 已知數(shù)列前n項(xiàng)和，或前n項(xiàng)和與的關(guān)系求通項(xiàng). 利用雖然已知求時，方法千差萬別，但已知求時，方法卻相對固定. （3）已知遞推公式求通項(xiàng)公式，對這類問題要求不高，主要掌握“先猜后證”“化歸法”“累加法”等. （4）對于型，求，其關(guān)鍵是確定待定系數(shù)，使 （5）對于型，求，可用的方法. （6）對于型，求，可用的方法. 熱

3、點(diǎn)二、錯位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和、并項(xiàng)法求和、分組求和法 1．（xx年高考（浙江文））已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=,n∈N﹡,數(shù)列{bn}滿足an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求an,bn; (2)求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn. 2．（xx年高考（天津文））(本題滿分13分)已知是等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,是等比數(shù)列,且. (I)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式; (II)記()證明:. 3．（xx年高考（江西文））已知數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和(其中c,k為常數(shù)),且a2=4,a6=8a3 (1)求an; (2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.

4、 4．（xx年高考（天津理））已知{}是等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,{}是等比數(shù)列,且= ,,. (Ⅰ)求數(shù)列{}與{}的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)記,,證明. 5．（xx年高考（江西理））已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn的最大值為8. (1)確定常數(shù)k,求an; (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 6．（xx年高考（福建文））數(shù)列的通項(xiàng)公式,其前項(xiàng)和為,則等于（　　） A．1006 B．2012 C．503 D．0 【答案】A 【解析】由,可得 7．（xx年高考（福建理））數(shù)列的通項(xiàng)公式,前項(xiàng)和為,則___________.

5、8．（xx年高考（山東理））在等差數(shù)列中,. (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)對任意,將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個數(shù)記為,求數(shù)列 的前項(xiàng)和. 【方法總結(jié)】 （1） 分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列 （2） 裂（拆）項(xiàng)相消：把一個數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和。 （3） 錯位相減：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和。 【考點(diǎn)剖析】 一．明確要求 1．熟練掌握和應(yīng)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式． 2．熟練掌握?？嫉腻e位相減法，裂項(xiàng)相消以及分組求和這些基本方法，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性和方法選擇的靈活性． 二．命題

6、方向 1.數(shù)列求和主要考查分組求和、錯位相減和裂項(xiàng)相消求和，特別是錯位相減出現(xiàn)的機(jī)率較高． 2.題型上以解答題為主. 三．規(guī)律總結(jié) 基礎(chǔ)梳理 數(shù)列求和的常用方法 1．公式法 直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和 (1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： Sn＝＝na1＋d； (2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： Sn＝ 2．倒序相加法 如果一個數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的． 3．錯位相減法 如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之

7、積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的． 4．裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和． 5．分組轉(zhuǎn)化求和法 一個數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和而后相加減． 6．并項(xiàng)求和法 一個數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 一種思路 一

8、般數(shù)列求和，應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，先求通項(xiàng)，然后通過對通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式，從而選擇合適的方法求和． 兩個提醒 在利用裂項(xiàng)相消法求和時應(yīng)注意： (1)在把通項(xiàng)裂開后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差； (2)在正負(fù)項(xiàng)抵消后，是否只剩下了第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，或有時前面剩下兩項(xiàng)，后面也剩下兩項(xiàng)． 三個公式 【基礎(chǔ)練習(xí)】 4．(教材習(xí)題改編)數(shù)列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十項(xiàng)，且其和為240，則a1＋…＋ak＋…＋a10的值為(　　) A．31 B．120 C．130 D．185 【名校模擬】 一．基礎(chǔ)扎實(shí) 1．(

9、xx·包頭模擬)已知數(shù)列{xn}的首項(xiàng)x1＝3，通項(xiàng)xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q為常數(shù))，且x1，x4，x5成等差數(shù)列．求：(1)p，q的值；(2)數(shù)列{xn}前n項(xiàng)和Sn的公式． 2．(浙江省寧波市鄞州區(qū)xx屆高三高考適應(yīng)性考試（3月）文)對于正項(xiàng)數(shù)列，定義,若則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 . 5．(xx年石家莊市高中畢業(yè)班第二次模擬考試文) (本小題滿分12分） 已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ，a1=2, S1 2S2 3S3成等差數(shù)列. (I )求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (II )數(shù)列是首項(xiàng)為-6，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和. 7

10、．(浙江省溫州中學(xué)xx屆高三10月月考理）（15分）已知數(shù)列中，， （I）計(jì)算的值； （II）令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（III）求數(shù)列的前項(xiàng)和 8．(山西省xx年高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練理)（本小題滿分12分） 已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和． 10．(xx濟(jì)南高考模擬理) 11．（湖北黃岡xx高三五月模擬考試文）（本小題滿分12分） 數(shù)列滿足，（）. （Ⅰ）證明：數(shù)列是等差數(shù)列； （Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅲ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 13．（湖北襄陽五中xx高三年級第二次適應(yīng)性考試文）（本題13分）

11、已知等差數(shù)列滿足：的前項(xiàng)和為． （1）求及； （2）令，若數(shù)列的前項(xiàng)和記作,求使（）恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍． 二．能力拔高 1．(中原六校聯(lián)誼xx年高三第一次聯(lián)考理)數(shù)列{）滿足并且,則數(shù)列的第xx項(xiàng)為（ ） A． B． C． D． 2．(xx云南省第一次高中畢業(yè)生統(tǒng)一檢測復(fù)習(xí)文)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，如果，，那么 . 4．(xx年長春市高中畢業(yè)班第二次調(diào)研測試?yán)?（本小題滿分12分） 等差數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和為. ⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式； ⑵設(shè)數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，求證： 6．(xx河南豫東豫北十所名校畢業(yè)班階段性測試(三）文) (本小題滿

12、分12分） 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為. (I )求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (II)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和 7．（山東省濟(jì)南市xx屆高三3月（二模）月考理）（本小題滿分12分） 已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足=+k， （1） 求k的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2） 若數(shù)列滿足=，求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 9．(湖北省武漢外國語學(xué)?！＄娤橐恢衳x屆高三4月聯(lián)考文)（本小題滿分12分） 已知等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，. (I) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (II) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 10．(湖北八校xx高三第二次聯(lián)考文) 三．提升自我 1．(浙江省溫州中學(xué)x

13、x屆高三10月月考理）在數(shù)列中，，若為等差數(shù)列，則等于（ ） A． B． C． D． 2．(xx年云南省第一次統(tǒng)一檢測理)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，如果，，那么 ． 3．(北京市西城區(qū)xx屆高三下學(xué)期二模試卷文)（本小題滿分13分） 在等差數(shù)列中，， ． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求的前項(xiàng)和． 5. (河北省唐山市xx高三年級第二次模擬考試?yán)?（本小題滿分12分） 已知數(shù)列滿足：. （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）設(shè)，求 6．(浙江省xx屆重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三

14、第二學(xué)期4月聯(lián)考試題理 )（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足，且（n2且n∈N*）． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)之和，求，并證明：． 8．(仙桃市xx年五月高考仿真模擬試題理)（本題滿分12分） 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且。 （I）求的值及； （II）設(shè) （i）求 ； （ii）令，求的前項(xiàng)和為。 10．(襄陽五中高三年級第一次適應(yīng)性考試?yán)?（本題滿分12分) 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足 （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）在數(shù)列的每兩項(xiàng)之間都按照如下規(guī)則插入一些數(shù)后，構(gòu)成新數(shù)列，在兩項(xiàng)之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，求的值。 （Ⅲ）對于（II）中的數(shù)列，若，并求（用表示）． 【原創(chuàng)預(yù)測】 2． 在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列 對一切正整數(shù)n，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列． 3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),數(shù)列的前項(xiàng)和為,點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及的最大值； （Ⅱ）令,其中,求的前項(xiàng)和．