《（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 講重點(diǎn) 解答題專(zhuān)練 第2講 數(shù)列教學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 講重點(diǎn) 解答題專(zhuān)練 第2講 數(shù)列教學(xué)案 理（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第2講 數(shù)列
■真題調(diào)研——————————————
【例1】 [2019·全國(guó)卷Ⅱ]已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列；
(2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式．
解：(1)由題設(shè)得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，
即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．
又因?yàn)閍1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．
由題設(shè)得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8,
即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.
2、又因?yàn)閍1－b1＝1，所以{an－bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1.
所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，
bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.
【例2】 [2019·江蘇卷]定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”．
(1)已知等比數(shù)列{an}(n∈N*)滿足：a2a4＝a5，a3－4a2＋4a1＝0，求證：數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；
(2)已知數(shù)列{bn}(n∈N*)滿足：b1＝1，＝－，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
②設(shè)m為正整數(shù)．若存
3、在“M－數(shù)列”{cn}(n∈N*)，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時(shí)，都有ck≤bk≤ck＋1成立，求m的最大值．
解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
所以a1≠0，q≠0.
由得
解得
因此數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”．
(2)①因?yàn)椋剑?，所以bn≠0.
由b1＝1，S1＝b1，得＝－，則b2＝2.
由＝－，得Sn＝，
當(dāng)n≥2時(shí)，由bn＝Sn－Sn－1，
得bn＝－，
整理得bn＋1＋bn－1＝2bn.
所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列．
因此，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝n(n∈N*)．
②由①知，bk＝k，k∈N*.
因?yàn)閿?shù)列{cn}為“M－數(shù)
4、列”，
設(shè)公比為q，所以c1＝1，q>0.
因?yàn)閏k≤bk≤ck＋1，所以qk－1≤k≤qk，其中k＝1,2,3，…，m.
當(dāng)k＝1時(shí)，有q≥1；
當(dāng)k＝2,3，…，m時(shí)，有≤lnq≤.
設(shè)f(x)＝(x>1)，則f′(x)＝.
令f′(x)＝0，得x＝e.列表如下：
x
(1，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
極大值
因?yàn)椋?＝，
所以f(k)max＝f(3)＝.
取q＝，當(dāng)k＝1,2,3,4,5時(shí)，≤lnq，即k≤qk，經(jīng)檢驗(yàn)知qk－1≤k也成立．
因此所求m的最大值不小于5.
若m≥6，分別取k＝3,6，得3≤
5、q3，且q5≤6，從而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在．因此所求m的最大值小于6.
綜上，所求m的最大值為5.
【例3】 [2019·天津卷]設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列．已知a1＝4，b1＝6，b2＝2a2－2，b3＝2a3＋4.
(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足c1＝1，cn＝
其中k∈N*.
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
②求．
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.依題意得解得故an＝4＋(n－1)×3＝3n＋1，bn＝6×2n－1＝3×2n.
所以，{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n＋1，{
6、bn}的通項(xiàng)公式為bn＝3×2n.
(2)①＝(3×2n＋1)(3×2n－1)＝9×4n－1.
所以，數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為
＝9×4n－1.
②
＝＋(9×4i－1)
＝(3×22n－1＋5×2n－1)＋9×－n
＝27×22n－1＋5×2n－1－n－12(n∈N*)．
【例4】 [2019·浙江卷]設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝4，a4＝S3.數(shù)列{bn}滿足：對(duì)每個(gè)n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)記cn＝，n∈N*，證明：c1＋c2＋…＋cn<2，n∈N*.
解：(1)
7、設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意得
a1＋2d＝4，a1＋3d＝3a1＋3d，
解得a1＝0，d＝2.
從而an＝2n－2，n∈N*.
所以Sn＝n2－n，n∈N*.
由Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比數(shù)列得
(Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn)．
解得bn＝(S－SnSn＋2)．
所以bn＝n2＋n，n∈N*.
(2)cn＝＝＝，n∈N*.
我們用數(shù)學(xué)歸納法證明．
(1)當(dāng)n＝1時(shí)，c1＝0<2，不等式成立；
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)不等式成立，即
c1＋c2＋…＋ck<2，
那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
c1＋c2＋…＋ck
8、＋ck＋1<2＋<2＋<2＋＝2＋2(－)＝2，
即當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立．
根據(jù)(1)和(2)，不等式c1＋c2＋…＋cn<2對(duì)任意n∈N*成立．
■模擬演練——————————————
1．[2019·南昌二模]已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且存在實(shí)數(shù)λ滿足2an＋1＝λan＋4，n∈N*.
(1)求λ的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{a2n－n}的前n項(xiàng)和Sn.
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，d≠0，
由2an＋1＝λan＋4(n∈N*)，①
得2an＝λan－1＋4(n∈N*，n≥2)，②
兩式相減得，2d＝λd，又d≠
9、0，所以λ＝2.
將λ＝2代入①可得an＋1－an＝2，即d＝2，
又a1＝1，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)由(1)可得a2n－n＝2(2n－n)－1＝2n＋1－(2n＋1)，
所以Sn＝(22＋23＋…＋2n＋1)－[3＋5＋…＋(2n＋1)]＝－＝2n＋2－n2－2n－4.
2．[2019·廣州綜合測(cè)試二]已知{an}是遞增的等比數(shù)列，a2＋a3＝4，a1a4＝3.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解：(1)解法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.
因?yàn)閍2＋a3＝4，a1a4＝3，所以
解得或
10、
因?yàn)閧an}是遞增的等比數(shù)列，所以a1＝，q＝3，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－2.
解法二：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.
因?yàn)閍2＋a3＝4，a1a4＝a2a3＝3，
所以a2，a3是方程x2－4x＋3＝0的兩個(gè)根，
解得或
因?yàn)閧an}是遞增的等比數(shù)列，所以a2＝1，a3＝3，則q＝3，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－2.
(2)由(1)知bn＝n×3n－2，
則Sn＝1×3－1＋2×30＋3×31＋…＋n×3n－2，?、?
在①式兩邊同時(shí)乘以3得，
3Sn＝1×30＋2×31＋3×32＋…＋n×3n－1，?、?
①－②得－2Sn＝3－1＋30
11、＋31＋…＋3n－2－n×3n－1，
即－2Sn＝－n×3n－1，
所以Sn＝(2n－1)×3n－1＋.
3．[2019·福建質(zhì)檢]數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an－n.
(1)求證數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，并求an；
(2)若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且b3＝a2，b7＝a3，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和．
解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝2a1－1，所以a1＝1.
因?yàn)镾n＝2an－n，?、?
所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－(n－1)，?、?
①－②得an＝2an－2an－1－1，所以an＝2an－1＋1，
所以＝＝＝2，
所以{an＋1}是首項(xiàng)為2，公比為
12、2的等比數(shù)列，
所以an＋1＝2·2n－1＝2n，
所以an＝2n－1.
(2)由(1)知，a2＝3，a3＝7，
所以b3＝a2＝3，b7＝a3＝7.
設(shè){bn}的公差為d，則b7＝b3＋(7－3)·d，
所以d＝1，
所以bn＝b3＋(n－3)·d＝n，
所以anbn＝n(2n－1)＝n·2n－n.
設(shè)數(shù)列{n·2n}的前n項(xiàng)和為Kn，數(shù)列{n}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，
所以Kn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，?、?
2Kn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，?、?
③－④得
－Kn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1
＝(1－n)
13、·2n＋1－2.
所以Kn＝(n－1)·2n＋1＋2.
又Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝，
所以Kn－Tn＝(n－1)·2n＋1－＋2，
所以{anbn}的前n項(xiàng)和為
(n－1)·2n＋1－＋2.
4．[2019·安徽合肥質(zhì)檢]已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，其中a3，a2＋a3，a4成等差數(shù)列，a5＝32.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列{log2an}的前n項(xiàng)和為Sn，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由已知得即
∵an>0，∴q>0，解得
∴an＝2n.
(2)由已知得，
Sn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝，
∴＝＝2，
∴的前n項(xiàng)和
Tn＝2
＝.
7
（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 講重點(diǎn) 解答題專(zhuān)練 第2講 數(shù)列教學(xué)案 理
