2022高考數(shù)學”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題規(guī)范練2 文

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1、2022高考數(shù)學”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題規(guī)范練2 文 1.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bcos A=(2c-a)cos B. (1)求B; (2)若b=,△ABC的面積為,求△ABC的周長. [解] (1)由bcos A=(2c-a)cos B, 得2ccos B=bcos A+acos B. 由正弦定理可得2sin Ccos B=sin Bcos A+sin Acos B=sin(A+B)=sin C, 因為sin C≠0,所以cos B=. 因為0<B<π,所以B=. (2)因為S△ABC=acsin B=,所以ac=4. 又13=a2+c2

2、-2accos B=a2+c2-ac, 所以a2+c2=17, 所以a+c=5, 故△ABC的周長為5+. (教師備選) 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù). (1)證明:an+2-an=λ; (2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說明理由. [解] (1)證明:由題設(shè)anan+1=λSn-1, 知an+1an+2=λSn+1-1.兩式相減得,an+1(an+2-an)=λan+1. 由于an+1≠0,所以an+2-an=λ. (2)存在.由a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1,由(1)知,a3=

3、λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4. 故an+2-an=4,由此可得,{a2n-1}是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3; {a2n}是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在λ=4,使得{an}為等差數(shù)列. 2.如圖63,在長方形ABCD中,AB=4,BC=2,現(xiàn)將△ACD沿AC折起,使D折到P的位置且P在面ABC的射影E恰好在線段AB上. (1)證明:AP⊥PB; (2)求三棱錐P-EBC的表面積. 圖63 [解] (1)由題知PE⊥平面ABC,又

4、BC?平面ABC, ∴PE⊥BC; 又AB⊥BC且AB∩PE=E,∴BC⊥平面PAB; 又AP?平面PAB,∴BC⊥AP; 又AP⊥CP且BC∩CP=C,∴AP⊥平面PBC; 又PB?平面PBC,所以AP⊥PB. (2) 在△PAB中,由(1)得AP⊥PB,AB=4,AP=2, ∴PB=2,PE==,∴BE=3, ∴S△PEB=×3×=. 在△EBC中,EB=3,BC=2,∴S△EBC=×3×2=3, 在△PEC中,EC==,∴S△PEC=××=, ∴S△PBC=BC·PB=×2=2, 所以三棱錐P-EBC的表面積為 S=S△PEB+S△EBC+S△PEC+S△PBC

5、=+3++2=. 3.為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關(guān),對本班50人進行了問卷調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表: 喜愛打籃球 不喜愛打籃球 合計 男生 5 女生 10 合計 50 已知在全部50人中隨機抽取1人,抽到喜愛打籃球的學生的概率為. (1)請將上面的列聯(lián)表補充完整; (2)是否有99.5%的把握認為喜愛打籃球與性別有關(guān)?說明你的理由; (3)已知喜愛打籃球的10位女生中,A1,A2,A3還喜歡打羽毛球,B1,B2,B3還喜歡打乒乓球,C1,C2還喜歡踢足球,現(xiàn)在從喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的8位女生中各選出1位進行其他

6、方面的調(diào)查,求B1和C1不全被選中的概率. 下面的臨界值表供參考: P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (參考公式:K2=,其中n=a+b+c+d) [解] (1)列聯(lián)表補充如下: 喜愛打籃球 不喜愛打籃球 合計 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合計 30 20 50 (2)有,理由:∵K2=≈8.333>7.879, ∴有99.5%的把握認為喜愛打籃球

7、與性別有關(guān). (3)從10位女生中選出喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的各1位,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件如下: (A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3, C1),(A3,B3,C2),基本事件的總數(shù)為18,用M表示“B1,C1不全被選中”這一事件,則其對立

8、事件表示“B1,C1全被選中”這一事件,由于由(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)3個基本事件組成,所以P()==,由對立事件的概率公式得P(M)=1-P()=1-=. (教師備選) 如圖所示,一個正三棱錐A-BCD的底面邊長為a,側(cè)棱長為2a,過B作與側(cè)棱AC,AD相交的截面BEF.求: (1)截面三角形周長的最小值; (2)截面三角形周長最小時的面積. [解] (1)如圖①所示,若使截面三角形的周長最小,則將三棱錐的側(cè)面展開后,使三角形的三邊在一條直線上. 圖① 在圖中,△ABB′為等腰三角形,故△ABE≌△AB′F, ∴AE=AF,∴△

9、AEF為等腰三角形, 又A-BCD為正三棱錐, ∴EF∥CD,∴∠1=∠2=∠3=∠4, ∴△ABC∽△BCE∽△AEF, ∴AE=a,EF=a, ∴BB′=BE+EF+FB′=a, ∴截面三角形周長的最小值為a. (2)如圖②所示,取EF的中點G,連接BG. 圖② 由(1)知,在圖中,BE=BF=a, 故△BEF為等腰三角形, 高BG==a, ∴S△BEF=BG·EF =·a·a=a2. 4.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程] 在直角坐標系中,曲線C1的普通方程為+=1,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,并取與直角坐標系相同的長度單位,建立極坐標系

10、,曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcos θ-1=0. (1)求曲線C1、C2的參數(shù)方程; (2)若點M、N分別在曲線C1、C2上,求|MN|的最小值. [解] (1)依題意,曲線C1的參數(shù)方程為(α是參數(shù)), 因為曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcos θ-1=0,化簡可得直角坐標方程: x2+y2+2x-1=0,即(x+1)2+y2=2, 所以曲線C2的參數(shù)方程為(θ是參數(shù)). (2)設(shè)點M(4cos α,2sin α),易知C2(-1,0), ∴|MC2|= = ==≥, ∴當cos α=-時,|MC2|min=, ∴|MN|min=|MC2|min-r=-.

11、 [選修4-5:不等式選講] 已知a,b,c均為正數(shù),函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-5|. (1) 求不等式f(x)≤10的解集; (2)若f(x)的最小值為m,且a+b+c=m,求證:a2+b2+c2≥12. [解] (1)f(x)=|x+1|+|x-5|≤10 等價于或 或 解得-3≤x≤-1或-1<x<5或5≤x≤7, 所以不等式f(x)≤10的解集為{x|-3≤x≤7}. (2)因為f(x)=|x+1|+|x-5|≥|(x+1)-(x-5)|=6,所以m=6,即a+b+c=6. ∵a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,c2+b2≥2cb, ∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+ac+bc), ∴3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2, ∴a2+b2+c2≥12.當且僅當a=b=c=2時等號成立.

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