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1、2022高考數(shù)學”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題規(guī)范練2 文
1.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bcos A=(2c-a)cos B.
(1)求B;
(2)若b=,△ABC的面積為,求△ABC的周長.
[解] (1)由bcos A=(2c-a)cos B,
得2ccos B=bcos A+acos B.
由正弦定理可得2sin Ccos B=sin Bcos A+sin Acos B=sin(A+B)=sin C,
因為sin C≠0,所以cos B=.
因為0<B<π,所以B=.
(2)因為S△ABC=acsin B=,所以ac=4.
又13=a2+c2
2、-2accos B=a2+c2-ac,
所以a2+c2=17,
所以a+c=5,
故△ABC的周長為5+.
(教師備選)
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù).
(1)證明:an+2-an=λ;
(2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說明理由.
[解] (1)證明:由題設(shè)anan+1=λSn-1,
知an+1an+2=λSn+1-1.兩式相減得,an+1(an+2-an)=λan+1.
由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.
(2)存在.由a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1,由(1)知,a3=
3、λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.
故an+2-an=4,由此可得,{a2n-1}是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3;
{a2n}是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1.
所以an=2n-1,an+1-an=2.
因此存在λ=4,使得{an}為等差數(shù)列.
2.如圖63,在長方形ABCD中,AB=4,BC=2,現(xiàn)將△ACD沿AC折起,使D折到P的位置且P在面ABC的射影E恰好在線段AB上.
(1)證明:AP⊥PB;
(2)求三棱錐P-EBC的表面積.
圖63
[解] (1)由題知PE⊥平面ABC,又
4、BC?平面ABC,
∴PE⊥BC;
又AB⊥BC且AB∩PE=E,∴BC⊥平面PAB;
又AP?平面PAB,∴BC⊥AP;
又AP⊥CP且BC∩CP=C,∴AP⊥平面PBC;
又PB?平面PBC,所以AP⊥PB.
(2) 在△PAB中,由(1)得AP⊥PB,AB=4,AP=2,
∴PB=2,PE==,∴BE=3,
∴S△PEB=×3×=.
在△EBC中,EB=3,BC=2,∴S△EBC=×3×2=3,
在△PEC中,EC==,∴S△PEC=××=,
∴S△PBC=BC·PB=×2=2,
所以三棱錐P-EBC的表面積為
S=S△PEB+S△EBC+S△PEC+S△PBC
5、=+3++2=.
3.為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關(guān),對本班50人進行了問卷調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表:
喜愛打籃球
不喜愛打籃球
合計
男生
5
女生
10
合計
50
已知在全部50人中隨機抽取1人,抽到喜愛打籃球的學生的概率為.
(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整;
(2)是否有99.5%的把握認為喜愛打籃球與性別有關(guān)?說明你的理由;
(3)已知喜愛打籃球的10位女生中,A1,A2,A3還喜歡打羽毛球,B1,B2,B3還喜歡打乒乓球,C1,C2還喜歡踢足球,現(xiàn)在從喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的8位女生中各選出1位進行其他
6、方面的調(diào)查,求B1和C1不全被選中的概率.
下面的臨界值表供參考:
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(參考公式:K2=,其中n=a+b+c+d)
[解] (1)列聯(lián)表補充如下:
喜愛打籃球
不喜愛打籃球
合計
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合計
30
20
50
(2)有,理由:∵K2=≈8.333>7.879,
∴有99.5%的把握認為喜愛打籃球
7、與性別有關(guān).
(3)從10位女生中選出喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的各1位,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件如下:
(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3, C1),(A3,B3,C2),基本事件的總數(shù)為18,用M表示“B1,C1不全被選中”這一事件,則其對立
8、事件表示“B1,C1全被選中”這一事件,由于由(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)3個基本事件組成,所以P()==,由對立事件的概率公式得P(M)=1-P()=1-=.
(教師備選)
如圖所示,一個正三棱錐A-BCD的底面邊長為a,側(cè)棱長為2a,過B作與側(cè)棱AC,AD相交的截面BEF.求:
(1)截面三角形周長的最小值;
(2)截面三角形周長最小時的面積.
[解] (1)如圖①所示,若使截面三角形的周長最小,則將三棱錐的側(cè)面展開后,使三角形的三邊在一條直線上.
圖①
在圖中,△ABB′為等腰三角形,故△ABE≌△AB′F,
∴AE=AF,∴△
9、AEF為等腰三角形,
又A-BCD為正三棱錐,
∴EF∥CD,∴∠1=∠2=∠3=∠4,
∴△ABC∽△BCE∽△AEF,
∴AE=a,EF=a,
∴BB′=BE+EF+FB′=a,
∴截面三角形周長的最小值為a.
(2)如圖②所示,取EF的中點G,連接BG.
圖②
由(1)知,在圖中,BE=BF=a,
故△BEF為等腰三角形,
高BG==a,
∴S△BEF=BG·EF
=·a·a=a2.
4.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
在直角坐標系中,曲線C1的普通方程為+=1,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,并取與直角坐標系相同的長度單位,建立極坐標系
10、,曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcos θ-1=0.
(1)求曲線C1、C2的參數(shù)方程;
(2)若點M、N分別在曲線C1、C2上,求|MN|的最小值.
[解] (1)依題意,曲線C1的參數(shù)方程為(α是參數(shù)),
因為曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcos θ-1=0,化簡可得直角坐標方程:
x2+y2+2x-1=0,即(x+1)2+y2=2,
所以曲線C2的參數(shù)方程為(θ是參數(shù)).
(2)設(shè)點M(4cos α,2sin α),易知C2(-1,0),
∴|MC2|=
=
==≥,
∴當cos α=-時,|MC2|min=,
∴|MN|min=|MC2|min-r=-.
11、
[選修4-5:不等式選講]
已知a,b,c均為正數(shù),函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-5|.
(1) 求不等式f(x)≤10的解集;
(2)若f(x)的最小值為m,且a+b+c=m,求證:a2+b2+c2≥12.
[解] (1)f(x)=|x+1|+|x-5|≤10
等價于或
或
解得-3≤x≤-1或-1<x<5或5≤x≤7,
所以不等式f(x)≤10的解集為{x|-3≤x≤7}.
(2)因為f(x)=|x+1|+|x-5|≥|(x+1)-(x-5)|=6,所以m=6,即a+b+c=6.
∵a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,c2+b2≥2cb,
∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+ac+bc),
∴3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2,
∴a2+b2+c2≥12.當且僅當a=b=c=2時等號成立.