七年級上冊第一章 走進(jìn)數(shù)學(xué)世界精講精練(2)(含答案)

上傳人:艷*** 文檔編號:109545297 上傳時間:2022-06-17 格式:DOC 頁數(shù):8 大?。?4KB
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1、走進(jìn)數(shù)學(xué)世界 【引言】 中學(xué)生朋友們,祝賀你們跨進(jìn)了蘇中網(wǎng)校,數(shù)學(xué)世界歡迎你。 蘇中網(wǎng)校將結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容,從學(xué)生的生活實際出發(fā),創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境,引導(dǎo)學(xué)生通過實踐、思考、探索、交流去獲取知識,建立數(shù)學(xué)模型,形成解題技能,發(fā)展數(shù)學(xué)思維,掌握必要的基礎(chǔ)知識,發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識與能力。我們將在輕松、愉快的氣氛中與數(shù)學(xué)交朋友,學(xué)會去分析生活中的有趣的數(shù)學(xué)問題,了解宇宙之大,粒子之微,驚嘆火箭之速,化工之巧,探索生物之謎,地球之變,讓我們走進(jìn)數(shù)學(xué)世界去了解數(shù)學(xué)的奧秘。誠然我們從小學(xué)已經(jīng)開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門學(xué)科,知道了整數(shù)和分?jǐn)?shù),學(xué)會了加、減、乘、除;認(rèn)識了三角形、長

2、方形、正方形、圓以及長方體、正方體、圓柱體和球體等圖形,數(shù)學(xué)無處不在,數(shù)學(xué)伴我們成長。下面我們準(zhǔn)備了十個例題,考查一下你的思維,是不是很聰明? 【典型例題分析】 例1. 李白買酒歌 李白街上走,提壺去買酒, 遇店加一倍,見花喝一斗, 三遇店和花,喝光壺中酒, 試問壺中原有多少酒? 算術(shù)頭腦分析:(倒推法)喝光壺中酒第三次見花前應(yīng)有酒1斗第三次遇店前應(yīng)有酒斗第二次見花前應(yīng)有酒(+1)斗第二次遇店前應(yīng)有酒(+1)斗第一次見花前應(yīng)有酒[(+1)+1]斗第一次遇店前應(yīng)有酒 [(+1)+1]斗,此即壺里原有的酒。 解1: [(+1)+1]=(斗) 答:略

3、 說明:算術(shù)方法注重的是結(jié)論,運用例推的思維方法就可以解決李白買酒的數(shù)學(xué)問題,其實我們也有一些聰明的孩子已經(jīng)掌握了代數(shù)的方法。 代數(shù)頭腦分析 代數(shù)方法是用字母來代替數(shù),順著讀題的順序把每次買酒的數(shù)量用一個含字母的式子來表示,下面我們具體用分析如下:設(shè)壺中原有酒x斗第一次遇店后,壺中酒變?yōu)?x斗第一次見花后,壺中酒變?yōu)椋?x-1)斗第二次遇店后,壺中酒為2(2x-1)斗第二次見花后,壺中酒變?yōu)?(2x-1)-1=(4x-3)斗第三次遇店后為2(4x-3)斗第三次見花后為2(4x-3)-1=0 解2:8x-7=0,得斗 答:(略) 例2.我國四大發(fā)明之一的黑火藥,它所用的原料是硫磺,硝酸

4、鉀和木炭,其比例是2∶15∶3,要配制這種火藥640克,三種原料應(yīng)各取多少克? 分析:在這個問題中,黑火藥是一個整體,它包含三種物質(zhì)硫磺、硝酸鉀和木炭。 用算術(shù)頭腦分析:三種原料混合在一起共重640克,由比例的性質(zhì)知: 硫磺占,即(克) 硝酸鉀占,即(克) 木炭占,即(克) 答:三種原料各取64克,480克,96克。 用代數(shù)頭腦分析:在比例問題中,通常設(shè)每一份為x 根據(jù)題意得:2x+15x+3x=640,解得x=32 所以2x=64(克) 15x=480(克) 3x=96(克) 答:(略) 例3.時鐘大家都很熟悉,請你觀察并計算一下,在兩點和三點之間,

5、時鐘上的分針和時針重合的時刻。 分析:針面是圓的,可以用兩種計時單位來計算。 解法一:把鐘面的圓盤邊緣分成60格,分針每分鐘走1格,時針每分鐘走格;設(shè)在兩點x分時,時針和分針重合。這時分針走了x格,時針走了x格,重合時時針比分針少走了10格(時針是從第10個格出發(fā)走的)。由題意得x-x=10,解得x=, 答:在兩點分時,時針與分針重合。 解法二:由于時針、分針是繞圓心旋轉(zhuǎn),分針60分鐘可旋轉(zhuǎn)一圈360°,那么分針每分鐘轉(zhuǎn)6°,時針每分鐘轉(zhuǎn)度,設(shè)在兩點x分時,時針和分針重合。這時分針轉(zhuǎn)了6x度,時針轉(zhuǎn)了x度,重合時時針比分針少轉(zhuǎn)了60度(時針是從鐘面上2處開始旋轉(zhuǎn)的)由題意得,解得,答:

6、(略)。 同學(xué)們,你們可以仿造上面的例題編一個在三點和四點之間,分針和時針成一條直線的應(yīng)用題,再試著求一求,你感到難不難? 例4.萊蒙托夫是俄國著名的詩人,愛好數(shù)學(xué)。有一次,他給一些軍官表演猜數(shù)游戲。他請一名軍官隨便想好一個數(shù),不要說出來,然后請這個軍官將想好的這個數(shù)加上25,再加上125,減去37,再減去最初想好的這個數(shù),把得到的數(shù)乘以5,最后再除以2,這時,萊蒙托夫說,我可以猜出你算出的結(jié)果,他問那個軍官:“此數(shù)是282.5對嗎?”那個軍官非常吃驚,因為萊蒙托夫并不知道他想的是什么數(shù),卻得到了和他完全一樣的結(jié)果。奧秘在哪里呢?請你用字母表示這個數(shù),就能解開這個謎。 解:設(shè)那個軍官想好

7、的數(shù)為a 由題意得:(a+25+125-37-a)×5÷2=282.5 例5.托爾斯泰的割草問題 割草隊要收割兩塊草地,其中一塊比另一塊大1倍,全隊在大的一塊草地上割了一上午,到了下午就分成兩半,一半人繼續(xù)留在大塊草地上,到晚上正好把大塊草地的草割完。另一半人轉(zhuǎn)移到小塊草地上,到了晚上還未割完,還剩下一小塊。第二天,這剩下的一小塊由一個割草隊員花了一整天剛好割完。問這個割草隊共有幾人? 算術(shù)頭腦分析:在大塊草地上割草隊全體割了半天,全隊的一半人又割了半天,這就是,這一半人要花3個半天收割完這大塊草地。也就是說,全隊一半的人在半天時間內(nèi)收割了大塊草地的。由于大塊草地比小塊草地大一倍,

8、所以在小塊草地上,半隊人割半天后剩下的草地為大塊草地的。由于這剩下的一小塊地正好由一個割草隊員割完,即一個割草隊員一天可割大塊草地的。而全隊人在一天中共割了大塊草地的,所以割草隊的總?cè)藬?shù)為。 我們?nèi)绻脠D解法也很方便,如右圖: 大塊草地 小塊草地 代數(shù)頭腦分析: 設(shè)割草隊人數(shù)為x,每人每天割草面積為a,由題意可知: 大塊草地面積為: 小塊草地面積為: 由于大塊草地比小塊草地大一倍,故有: 兩邊都除以(>0),解得x=8 答:割草隊共有8人。 例6.立達(dá)中學(xué)第5中隊的少先隊員們?nèi)ミ\河公園植樹。已知樹苗的成活率在75%—80%

9、之間,為了確保1200棵樹成活,第5中隊的少年隊員們,最少要栽種多少棵樹苗? 分析:樹苗的成活率在75%到80%之間,那么也就是說如果成活率低需要的樹苗就多,需1600棵;如果成活率高,需要的樹苗就少,需1500棵。因此為了確保1200棵樹成活,就要細(xì)心呵護(hù)小樹苗,讓成活率達(dá)到最高時,栽種的最少樹苗為1500棵。 例7.一幢八層樓房,由第一層到第二層有21級臺階,以后每上一層少2級臺階,求小強由第三層到達(dá)第八層共走了多少級臺階? 分析:上樓走樓梯與種樹的道理一樣 由一層到八層共有7個樓梯,它們是: 21+19+17+15+13+11+9 由第三層

10、到達(dá)第八層共走了 17+15+13+11+9=65(級) 注意:由于缺乏生活經(jīng)驗,可能會出現(xiàn)走8個樓梯的錯誤。 例8.果子成熟后,從樹上落到地面。它落下的高度與經(jīng)過的時間有下面的關(guān)系: 時間t(秒) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 …… 高度h(米) 5×0.25 5×0.36 5×0.49 5×0.64 5×0.81 5×1 …… 請你猜測一下用t表示h的公式。并用公式計算一下果子經(jīng)過0.55秒落到地上,這個果子離地面的高度是多少米?(精確到0.01) 分析:通過列表給出的數(shù)據(jù),我們發(fā)現(xiàn)了規(guī)律:5×0.25=5×0. 52

11、 5×0.36= 5×0. 62 …… ∴公式h=5t2 當(dāng)t=0.55秒時,高度h=5×0. 552=1.5125≈1.51(米) 請同學(xué)們自己來完成解題過程,要注意表述完整、清晰。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 例9.將正方體用刀切去一塊,可得到下列哪些圖形?不能得到的圖形是哪一個? 分析:這是一道空間想象能力的題目,要通過觀察,實踐、摸索、總結(jié),才能夠全面地給出答案。我們不注重你的結(jié)論,而更看重的是你思考的過程,實踐出真知,讓我們動手,動腦,試一試吧! 例10.閱讀科學(xué)家的故事。

12、哥德巴赫猜想與陳景潤 早在1742年6月7日數(shù)學(xué)家哥德巴赫寫信告訴歐拉,說他想發(fā)表一個猜想:任何一個不小于6的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和。同年6月30日歐拉給他回信說:每一個偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和,雖然我還不能證明它,但我確信這個論斷是完全正確的。 我們可以驗證這個結(jié)論,例如: 6=3+3; 8=3+5; 10=3+7=5+5; 12=5+7; 14=3+11; 16=3+13=5+11; 18=5+13=7+11; 20=3+17=7+13; 22=3+19=5+17=11+11; 24=5+19=7+17=11+13; 26=3+23=5+21=7+19=13+13;

13、 …… 同學(xué)們也可自己試一試,任意取一個偶數(shù)(例如1000,1998),將它寫成兩個素數(shù)之和。 有人對一個一個偶數(shù)都進(jìn)行了驗算,一直算到3億多,都表明這個猜想是對的,但是這還不能說明哥德巴赫猜想對于全部大偶數(shù)都是正確的,它的正確性還有待于研究。 歐拉和哥德巴赫一生都沒能證明這個論斷,以后的200年里,也沒有哪位數(shù)學(xué)家給出證明。因此,直到今日,這只能稱為一個猜想,這個猜想也就是著名的哥德巴赫猜想。這是一個世界上有名的難題,被譽為數(shù)學(xué)王冠上的一顆明珠。1900年,德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在巴黎召開的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上,提出了23個他認(rèn)為最重要的沒有解決的數(shù)學(xué)問題,這23個問題預(yù)

14、示著20世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的方向,許多數(shù)學(xué)家分別在解決這些問題方面作了巨大的努力,取得了豐碩的成果,哥德巴赫猜想問題就是希爾伯特第8問題(素數(shù)問題)的一部分。 我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤潛心研究了一系列著名的數(shù)論問題,特別是在哥德巴赫猜想問題的研究上,得到了目前世界上最好的結(jié)果,1966年5月,他證明了:每一個充分大的偶數(shù)都可以表示為一個素數(shù)和一個不超過2個素因子的積的和。 這個結(jié)果就是國際上公認(rèn)的以陳景潤的名字命名的陳氏定理。陳景潤寫出的(1,2)的證明長達(dá)200頁,他的證明引起國際數(shù)學(xué)界的關(guān)注,稱他的論文是解析數(shù)論的名作,是篩法的光輝頂點,是對研究哥德巴赫猜想的重大貢獻(xiàn)。 至今為止,對哥德巴赫猜

15、想的研究還沒有結(jié)束,還有從(1,2)到(1,1)這最艱難的一步。英國數(shù)學(xué)家哈代(1877—1947)1921年在哥本哈根數(shù)學(xué)會上說:“哥德巴赫猜想可能是沒有解決的數(shù)學(xué)問題中最困難的一個”。現(xiàn)在這顆皇冠上的明珠正在峰頂上閃耀,但她只屬于那些勤奮踏實、不畏艱險、勇于攀登的攀登者。 【同步練習(xí)】 1. 小華買了60分和80分的郵票共10枚,花了7元2角,那么60分和80分的郵票各買了幾枚? 2. 銀行計算利息是存入的錢數(shù)(本金)與存入的時間數(shù)(期數(shù))及每期的利率的積。某人將1萬元按一年定期儲蓄存入銀行,月利率是1.88‰(讀作千分之一點八八),到期后交利息稅20%,問此人最后可

16、得利息為多少元? 3. 運用加、減、乘、除四種運算,如何由四個數(shù)2,7,10,4(每個數(shù)只能用一次)得到24,你能想出幾個算式?寫出來。 4. 今年5月1日是星期三,你能否推算出今年10月1日是星期幾? 5. 如圖,線與線的交點個數(shù)由1+2+3+4+5得15個, (1) 圖中的三角形個數(shù)為多少個? (2) 是點多呢?還是三角形多? (3) 你能寫出數(shù)三角形個數(shù)的方法嗎?如果再增加一排,會有多少個三角形呢? 1 2 3 4 5 6. 電影院的座位數(shù)如下表所示: (1) 如果電影院有20排座位,那么電影院共有多少座位。

17、 每排座位數(shù) 排 數(shù) 2 18 1 3 4 5 20 22 24 26 (2) 記為第n排的座位數(shù),試用n的代數(shù)式表示。 7. 某中隊48人去游樂場游覽,游樂場售票處規(guī)定:門票一人券每張10元,十人券每張70元,他們動腦筋想出了一種購買門票花費最少的辦法,請你想一想最少要花多少元? 8. “從1999年11月1日起,全國儲蓄存款開始征收利息稅,利息稅的稅率為20%(即儲蓄利息的20%,由各銀行儲蓄點代扣代收)”,某人在2002年1月5日存入人民幣30000元,年利率為2.25%,一年到期后應(yīng)繳納利息稅多少元?

18、 9. 某服裝店同時賣出兩套服裝,每套均賣168元,以成本計算,其中一套盈利20%,另一套虧本20%,問這次出售服裝,是賺錢還是賠錢? 10.媽媽讓小明給客人燒水沏茶。他計算了一下時間,洗水壺需用1分,燒開水需用15分,洗茶壺需用1分,洗茶杯需用1分,拿茶葉需用2分。小明估算了一下,完成這些工作需花20分。為了使客人早喝上茶,按你認(rèn)為最合理的安排,多少分就能沏茶了? 【練習(xí)答案】 1. 買60分郵票4枚,80分郵票6枚 2. 180.48元 3. (10-2)×(7-4); 2×4×(10-7); 7×(4÷2)+10;等

19、4. 今年10月1日是星期二 5. (1)共計27個 (2)此圖中三角形的個數(shù)多 (3)數(shù)三角形的個數(shù)要掌握規(guī)律,從小到大來數(shù) 有一個小三角形的有1+3+5+7=16個 由4個小三角形組成的有1+2+3+1=7個 由9個小三角形組成的有1+2=3個 由16個小三角形組成的有1個 如果再增加一排,會有48個 6.(1)740 (2) 7.買五張十人券共花費350元,如果把多余的兩張再帶兩個人進(jìn)游樂場,收每人7元的話,只要花費336元。 8. 135元 9. 原價分別為140元和210元,共計350元,現(xiàn)兩套賣得168×2=336(元)因此賠了。 10.16分鐘。這樣安排, 洗水壺(1分)燒開水(15分) 利用燒開水同時:洗茶壺(1分)洗茶杯(1分)拿茶葉(2分)。

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