部審人教版九年級數(shù)學(xué)下冊教案28.2.2 第3課時(shí) 利用方位角、坡度解直角三角形

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28.2.2 應(yīng)用舉例 第3課時(shí) 利用方位角、坡度解直角三角形 1．知道測量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度與坡角的關(guān)系；(重點(diǎn)) 2．能夠應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)解決與方位角、坡度有關(guān)的問題．(難點(diǎn)) 一、情境導(dǎo)入 在修路、挖河、開渠和筑壩時(shí)，設(shè)計(jì)圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度．如圖，坡面的鉛垂高度(h)和水平長度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i，即i＝. 坡度通常寫成1∶m的形式，如i＝1∶6.坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，有i＝＝tanα.顯然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我們這節(jié)課就解決這方面的問題． 二、合作探究 探究點(diǎn)一：利用方位角解直角三角形 【類型一】 利用方位角求垂直距離 如圖所示，A、B兩城市相距200km.現(xiàn)計(jì)劃在這兩座城市間修筑一條高速公路(即線段AB)，經(jīng)測量，森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30和B城市的北偏西45的方向上．已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點(diǎn)為圓心，100km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，請問：計(jì)劃修筑的這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)(參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414)． 解析：過點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足．AC與BC都可以根據(jù)三角函數(shù)用PC表示出來．根據(jù)AB的長得到一個(gè)關(guān)于PC的方程，求出PC的長．從而可判斷出這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)． 解：過點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足．則∠APC＝30，∠BPC＝45，AC＝PCtan30，BC＝PCtan45.∵AC＋BC＝AB，∴PCtan30＋PCtan45＝200，即PC＋PC＝200，解得PC≈126.8km＞100km. 答：計(jì)劃修筑的這條高速公路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)． 方法總結(jié)：解一般三角形的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第1題 【類型二】 利用方位角求水平距離 “村村通”公路工程拉近了城鄉(xiāng)距離，加速了我區(qū)農(nóng)村經(jīng)濟(jì)建設(shè)步伐．如圖所示，C村村民欲修建一條水泥公路，將C村與區(qū)級公路相連．在公路A處測得C村在北偏東60方向，沿區(qū)級公路前進(jìn)500m，在B處測得C村在北偏東30方向．為節(jié)約資源，要求所修公路長度最短．畫出符合條件的公路示意圖，并求出公路長度．(結(jié)果保留整數(shù)) 解析：作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，據(jù)題意有∠CAD＝30，求得AD.在Rt△CBD中，據(jù)題意有∠CBD＝60，求得BD.又由AD－BD＝500，從而解得CD. 解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足落在AB的延長線上，CD即為所修公路，CD的長度即為公路長度．在Rt△ACD中，據(jù)題意有∠CAD＝30，∵tan∠CAD＝，∴AD＝＝CD.在Rt△CBD中，據(jù)題意有∠CBD＝60，∵tan∠CBD＝，∴BD＝＝CD.又∵AD－BD＝500，∴CD－CD＝500，解得CD≈433(m)． 答：所修公路長度約為433m. 　　方法總結(jié)：在解決有關(guān)方位角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第4題 探究點(diǎn)二：利用坡角、坡度解直角三角形 【類型一】 利用坡角、坡度解決梯形問題 如圖，某水庫大壩的橫截面為梯形ABCD，壩頂寬BC＝3米，壩高為2米，背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC為30.求壩底AD的長度． 解析：首先過B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，可得四邊形BEFC是矩形，又由背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC為30，根據(jù)坡度的定義，即可求解． 解：分別過B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足為E、F，可得BE∥CF，又∵BC∥AD，∴BC＝EF，BE＝CF.由題意，得EF＝BC＝3，BE＝CE＝2.∵背水坡AB的坡度i＝1∶1，∴∠BAE＝45，∴AE＝＝2，DF＝＝2，∴AD＝AE＋EF＋DF＝2＋3＋2＝5＋2(m)． 答：壩底AD的長度為(5＋2)m. 方法總結(jié)：解決此類問題一般要構(gòu)造直角三角形，并借助于解直角三角形的知識(shí)求解． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題 【類型二】 利用坡角、坡度解決三角形問題 如圖，某地下車庫的入口處有斜坡AB，它的坡度為i＝1∶2，斜坡AB的長為6m，斜坡的高度為AH(AH⊥BC)，為了讓行車更安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改造為14(圖中的∠ACB＝14)． (1)求車庫的高度AH； (2)求點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離(結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin14≈0.24，cos14≈0.97，tan14≈0.25)． 解析：(1)利用坡度為i＝1∶2，得出AH∶BH＝1∶2，進(jìn)而利用勾股定理求出AH的長；(2)利用tan14＝，求出BC的長即可． 解：(1)由題意可得AH∶BH＝1∶2，設(shè)AH＝x，則BH＝2x，故x2＋(2x)2＝(6)2，解得x＝6，故車庫的高度AH為6m； (2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m.在Rt△AHC中，∠AHC＝90，故tan∠ACB＝，又∵∠ACB＝14，∴tan14＝，即0.25＝，解得BC＝12m. 答：點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離是12m. 方法總結(jié)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中坡度、坡角問題，明確坡度等于坡角的正切值是解題的關(guān)鍵． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第6題 三、板書設(shè)計(jì) 1．方位角的意義； 2．坡度、坡比的意義； 3．應(yīng)用方位角、坡度、坡比解決實(shí)際問題． 將解直角三角形應(yīng)用到實(shí)際生活中，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，即要求學(xué)生通過對實(shí)物的觀察或根據(jù)文字語言中的某些條件，畫出適合他們的圖形．這一方面在教學(xué)過程應(yīng)由學(xué)生展開，并留給學(xué)生思考的時(shí)間，給學(xué)生充分的自主思考空間和時(shí)間，讓學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí). 第 4 頁 共 4 頁