陜西省高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 高考中的合情推理例題訓(xùn)練 北師大版選修2-2（通用）

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1、高考中的合情推理 合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程，其主要形式有歸納和類(lèi)比。 一、歸納推理 例1、（2020廣東）在德國(guó)不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場(chǎng)櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干準(zhǔn)“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個(gè)乒乓球；第2、3、4、…堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放.從第一層開(kāi)始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則 ； （答案用n表示） 分析：解決本題的關(guān)鍵之一是找出相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，即

2、下一堆的個(gè)數(shù)是上一堆的個(gè)數(shù)加上其第一層的個(gè)數(shù)；其次是求出第一層的通項(xiàng)公式。 解：f（1）＝1，觀察圖象可知f（2）＝4，f（3）＝10，f（4）＝20，下一堆的個(gè)數(shù)是上一堆的個(gè)數(shù)加上其第一層的個(gè)數(shù)，而第一層的個(gè)數(shù)滿足1，3，6，10，……，通項(xiàng)公式是，所以f（n）＝f（n－1）＋， 所以有：f（2）－f（1）＝ f（3）－f（2）＝ f（4）－f（3）＝ …………………………………… f（n）－f（n－1）＝ 以上各式相加得：f（n）＝f（1）＋ ＝ ＝ ＝ 所以應(yīng)該填：10； 點(diǎn)評(píng)：求f（n）的通項(xiàng)公式時(shí)運(yùn)用累差法思想求解?？梢?jiàn)高考題多數(shù)依據(jù)課本知識(shí)、思想或方法的設(shè)計(jì)

3、題目。解決問(wèn)題的關(guān)鍵是找到相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系。 二、 類(lèi)比推理（類(lèi)比） 例2、（2020湖北）半徑為r的圓的面積，周長(zhǎng)，若將r看作上的變量，則， ①，①式可用語(yǔ)言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)。對(duì)于半徑為R的球，若將R看作看作上的變量，請(qǐng)你寫(xiě)出類(lèi)似于①的式子：_________________，②，②式可用語(yǔ)言敘述為_(kāi)__________. 解：由提供的形式找出球的兩個(gè)常用量體積、表面積公式，類(lèi)似寫(xiě)出恰好成立，. 答案：① ②球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)。 點(diǎn)評(píng)：主要考查類(lèi)比意識(shí)考查學(xué)生分散思維，注意將圓的面積與周長(zhǎng)與球的體積與表面積進(jìn)行類(lèi)比。 結(jié)論類(lèi)比：

4、已知簡(jiǎn)單命題A的結(jié)論去探索新命題B的結(jié)論，從而對(duì)問(wèn)題從更高層次上去把握，這類(lèi)題目能訓(xùn)練學(xué)生的信息遷移能力和創(chuàng)造思維能力。 例3、（2020上海）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a>o，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。 （1） 如果函數(shù)的值域?yàn)?，求b的值； （2） 研究函數(shù)（常數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由； （3） 對(duì)函數(shù)和（常數(shù)作出推廣，使它們都是你所推廣 的函數(shù)的特例，研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）。 解：（1）函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以該函數(shù)在處取得最小值 令，得 （2）設(shè)，顯然函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，令得，令得或 又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，在上是增函數(shù)，于是利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)。 （3）推廣結(jié)論：當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，函數(shù)（常數(shù)是奇函數(shù)，故在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。 而當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，函數(shù)（常數(shù)是偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。 點(diǎn)評(píng)：本題設(shè)計(jì)新穎，層層遞進(jìn)，主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查分析解決問(wèn)題的能力。