2020屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 函數(shù)圖象與性質(zhì)

2020屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 函數(shù)圖象與性質(zhì)【教學(xué)內(nèi)容】 函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、反函數(shù)、指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)?！窘虒W(xué)目標(biāo)】 1、要正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義。由定義可知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)奇偶性的定義是制定函數(shù)奇偶然性的依據(jù)，但有時(shí)為了便于判斷，需將函數(shù)進(jìn)行變形，化簡或利用定義的等價(jià)形式：f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0=-1 (f(x)0)f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0=-1 (f(x)0)另外，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，反之亦成立，因此也可以利用函數(shù)圖象去制定函數(shù)的奇偶性。2、函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間是其定義域的子集，因此討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)應(yīng)先確定函數(shù)的定義域。利用定義證明函數(shù)的增減性時(shí)，要注意證題過程的書寫要嚴(yán)密，先設(shè)x1<x2，再作差f(x1)-f(x2)因式分解或變形，最后判斷f(x1)-f(x2)的符號(hào)，從而證得增減性。若直接判斷f(x1)-f(x2)的正負(fù)較困難時(shí)，也可采用分析法，另外要熟練掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定，設(shè)y=f(u)、u=g(x)，xa,b, um,n若外函數(shù)y=f(u)是增函數(shù)，則y=fg(x)的單調(diào)性與內(nèi)函數(shù)u=g(x)的單調(diào)性一致；若外函數(shù)y=f(u)是減函數(shù)，則y=fg(x)的單調(diào)性與內(nèi)函數(shù)u=g(x)的單調(diào)性相反。3、反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域，因此求反函數(shù)時(shí)它的定義域不能由解析式直接得到，而要由原函數(shù)的值域求得。求y=f(x)的反函數(shù)通常分三個(gè)步驟來進(jìn)行1°確定原函數(shù)的值域，它就是反函數(shù)的定義域。2°由y=f(x)反解x得x=f-1(y)，3°交換x、y的位置求得反函數(shù)y=f-1(x)。若y=f(x)是分段函數(shù)，也應(yīng)分段來求反函數(shù)，最后仍然寫成分段函數(shù)的形式。4、指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)是基本的初等函數(shù)，我們應(yīng)熟練掌握這些函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)性并能運(yùn)用這些知識(shí)來解決問題?！局R(shí)講解】 例1、已知函數(shù)f(x)=(m-n)2x3-(m2-n2)x2+(m3n3)x-(m+n)2（1） 當(dāng)m、n滿足什么條件時(shí)，f(x)是奇函數(shù)。（2） 當(dāng)m、n滿足什么條件時(shí)，f(x)是偶函數(shù)。解：（1）若f(x)是奇函數(shù)，則f(-x)+f(x)=0(m2-n2)x2+( m+n)2=0對(duì)一切x恒成立 m2-n2=0 (m+n)2=0 m+n=0 即當(dāng)m+n=0時(shí)，f(x)為奇函數(shù)（2）同理可得當(dāng)m=n時(shí)，f(x)為偶函數(shù)說明：設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+ +a1x+a0，若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)表達(dá)式中不含x的偶次項(xiàng)，即含x的偶次冪（包含常數(shù)項(xiàng)）的系數(shù)均為零；若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)表達(dá)式中不含x的奇次項(xiàng)。例2、已知y=f(x)是奇函數(shù)，且x0時(shí)，f(x)=x2-2x，求f(x)的解析式。解：設(shè)x<0，則-x>0，由題意可知f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x，又y=f(x)是奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x)，所以當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-f(-x)=-x2-2x， f(x)= x2-2x x0 -x2-2x x<0例3、用定義判定下列函數(shù)的奇偶性。（1）f(x)=x (nN, x0)（2）f(x)=log2(x+), xR（3） f(x)=lgx2+lg (x0)（4） f(x)=()·tanx（5） f(x)=解：（1） nN, 2n是偶函數(shù)，2n+1是奇數(shù)，f(-x)=(-x)=x=f(x)， f(x)是偶函數(shù)。（2）f(-x)=log2(-x+)=log2=-log2(x+)=-f(x)， f(x)是奇函數(shù)。（3）f(x)=lgx2+lg=0，則f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。（4）f(x)的定義域是x|xR且x kZ關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(-x)=()·tan(-x)=-()tanx=()tanx=f(x)f(x)為偶函數(shù)（5）對(duì)于三角形1+sinx+cosx，當(dāng)x=時(shí)，其值為2，當(dāng)x=-時(shí)，其值為零，由此1可知原函數(shù)f(x)=的定義域中包含x=，但是不包含x=-，所以定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)是非奇偶的函數(shù)。例4、證明函數(shù)f(x)=x+在0，1上是減函數(shù)。證明：當(dāng)0<x1<x21，則f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(-)=(x1-x2)+ =(x1-x2)(1-)=(x1-x2)·又x1-x2<0，x1x2(0,1，>1 <0f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)-f(x2)>0f(x)=x+在(0,1上是減函數(shù)。例5、判斷函數(shù)y=在（0，+）內(nèi)的增減性。證明：設(shè)0<x1<x2，則f(x1)-f(x2)= -=而x1-x2=<0f(x1)<f(x2)，y=f(x)在（0,+）上是增函數(shù)。說明：利用定義證明或判斷函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的增減性時(shí)，關(guān)鍵是作差f(x1)-f(x2)后與0來比較大小，我們常常需對(duì)f(x1)-f(x2)因式分解或進(jìn)行等價(jià)變形，然后再制定它與0的大小。例6、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f(x)=-x3+1在（-，+）上是減函數(shù)。解法一：設(shè)x1<x2，且x1、x2R，那么f(x2)-f(x1)=(-x23+1)-(-x13+1)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)x1<x2 x1-x2<0 如果x1x2>0, 則x12+x1x2+x22>0如果x1x2=0，由于x1x2 故x12+x1x2+x22>0如果x1·x2<0，則x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2>0總之，只要x1x2，則都有x12+x1x2+x22>0 (x1-x2)(x12+x1x2+x22)<0，即f(x2)<f(x1)因此f(x)=-x3+1在（-，+）上是減函數(shù)解法二：設(shè)-<x1<x2<+，則f(x2)-f(x1)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22) x1<x2 x1-x2<0 x1<x2，在x1和x2中至少有一個(gè)不為零，不妨設(shè)x20，可是x12+x1x2+x22=(x1+)2+x22>0 由和知f(x)2<f(x1) 以下同解法一。解法三：設(shè)-<x1<x2<+，則f(x2)-f(x1)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22) x1<x2 x1-x2<0x12+x22>2|x1x2|x1x2|-x1x2 x12+x1x2+x22>0以下同解法一。例7、求函數(shù)y =的單調(diào)區(qū)間。分析：注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)定義域的子集，因此求單調(diào)區(qū)間必須首先求該函數(shù)的定義域，由-x2-2x+30知-3x1，而u=-x2-2x+3=-(x+1)2+4在-3，-1上遞增，在-1，1上遞減，又y=單調(diào)遞增，所以原函數(shù)的增區(qū)間為-3，-1，減區(qū)間為-1，1。例8、已知f(x)=x2+c，且ff(x)=f(x2+1)。（1） 設(shè)g(x)=ff(x)，求g(x)的解析式。（2） 設(shè)(x)=g(x)-·f(x)，試問：是否存在實(shí)數(shù)使(x)在（-，-1）上是減函數(shù)，并且在（-1，0）上是增函數(shù)。解：（1）由已知得ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+c，f(x2+1)=(x2+1)2+c (x2+c)2+c=(x2+1)2+c故c=1 g(x)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2（2）(x)=g(x)-·f(x)=x4+(2-)x2+(2-) (x2)- (x1)=(x24-x14)+(2-)(x22-x12) =(x1+x2)(x2-x1)x12+x22+(2-)設(shè)-<x1<x2<-1，則(x1+x2)(x2-x1)<0x12+x22+2->1+1+2-=4- 由與當(dāng)4-0 即4時(shí)，(x)在（-，-1）上是減函數(shù)同理，當(dāng)4時(shí)，(x)在（-1，0）上是增函數(shù)。綜上可知，當(dāng)=4時(shí)，(x)在（-，-1）上是減函數(shù)，并且在（-1，0）上是增函數(shù)。例9、已知f(x)= ，xR，求f-1()的值。解：根據(jù)函數(shù)y=f(x)與反函數(shù)與反函數(shù)y=f-1(x)之間的關(guān)系，求f-1()的值，就是求f(x)=時(shí)的x的值，于是有=，則2x=，即2x+1=1x=-1 即f-1()=-1說明：此解法必須建立在對(duì)函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)之間的關(guān)系有深刻的理解的基礎(chǔ)之上，把求f-1(a)的問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求指數(shù)方程f(x)=a的解的問題，觀點(diǎn)高，解法也簡便，省去了先求f(x)的反函數(shù)的這一較繁瑣的過程。例10、已知函數(shù)f(x)=()x，(x>0)和定義在R上的奇函數(shù)g(x)；當(dāng)x>0時(shí)有g(shù)(x)=f(x)，試求g(x)的反函數(shù)。解：g(x)為奇函數(shù)，g(0)=0，又x>0時(shí)，g(x)=f(x)=()x，且x>0時(shí)，()x（0，1）設(shè)x<0，則-x>0，又g(x)為奇函數(shù)。g(x)=-f(-x)=-()_x=-2x 且x<0時(shí)，-2 x（-1，0） ()x x>0 g(x)= 0 x=0 -2x x<0 logx 0<x<1 g-1(x)= 0 x=0 log2(-x) -1<x<0例11、給定實(shí)數(shù)a，a0且a1，設(shè)函數(shù)y=（xR且x），證明：這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱圖形。證明：先求所給函數(shù)的反函數(shù)。由y= （x）得(ay-1)x=y-1 （*）假如ay-1=0，即y=，又由(*)知y=1，于是=1，故a=1與已知條件矛盾，所以ay-10，因此由（*）得x= （y）這說明函數(shù)y= （xR且x）的反函數(shù)就是y= （xR且x），兩者相同。由于y=f(x)的圖象與y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以函數(shù)y= （xR且x）的圖象關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱圖形。例12、設(shè)0<a<1，x和y滿足logax+3logxa-logxy=3，知logax+-=3，則：loga2x-3logax+3=logaylogay=(logax-)2+ 當(dāng)logax=時(shí)，logay取得最小值，又0<a<1，logay為減函數(shù)，ymax=a，a=a= ()= ()=，此時(shí)x=a= ()=。 例13、設(shè)a是實(shí)常數(shù)，求函數(shù)。y=4x+4-x-2a(2x+2-x)的最小值，并求出相應(yīng)的x的值。解：y=(2x+2-x)2-2a(2x+2+-x)-2 令t=2x+2-x2，則y=t2-2at-21°若a2，則當(dāng)t=a時(shí)，ymin=-a2-2，此時(shí)2x+2-x=a，x=log2·(a±)-12°若a<2，則當(dāng)t=2時(shí)，ymin=2-4a，此時(shí)2x+2-x=2，即 (2x-1)2=02x-1=0，x=0【每周一練】一、 選擇題：1、 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，xR時(shí)，|f(x)|=|f(-x)|，則函數(shù)f(x)（ ）A、必是奇函數(shù) B、必是偶函數(shù)C、或?yàn)槠婧瘮?shù)或?yàn)榕己瘮?shù) D、不一定是奇函數(shù)也不一定是偶函數(shù)2、 定義在R上的偶函數(shù)f(x)以2為周期，已知當(dāng)x2，3時(shí)，f(x)=x，那么x-2,0時(shí)，f(x)的解析式是（ ）A、f(x)=x+4 B、f(x)=2-xC、f(x)=3-|x+1| D、f(x)=2+|x+1|3、 若0<a<1，x>y>1，則ax、ay、xa、ya中最大的數(shù)是（ ）A、ax B、xa C、ay D、ya4、 若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=()x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則f(2x-x2)的單調(diào)區(qū)間是（ ）A、1，+） B、（0，1C、1，2） D、（-，15、 已知f(x)=3+log2x (x1)，則f-1(x)的定義域是（ ）A、xR B、x1 C、0<x<1 D、x36、 若對(duì)于一切xR，偶函數(shù)f(x)恒滿足f(m+x)=f(x) (mR且m0)，那么函數(shù)y=f(x)的圖象（ ）A、關(guān)于直線x=m對(duì)稱 B、關(guān)于直線x=對(duì)稱C、關(guān)于直線x=2m對(duì)稱 D、除y軸外無對(duì)稱軸二、 填空題：7、 下列四個(gè)命題：（1）f(x)=()2是偶函數(shù)；（2）f(x)=()3是奇函數(shù)；（3）f(x)=lg(-x)是非奇非偶的函數(shù)；（4）f(x)=+是偶函數(shù)，其中正確命題的序號(hào)是_。8、 若函數(shù)y=(2k+1)x+b在（-，+）上是減函數(shù)，則k的取值范圍是_。9、 函數(shù)y=()的單調(diào)減區(qū)間是_。10、已知函數(shù)f(x)=(xR，x)的反函數(shù)是_。11、函數(shù)y=的增區(qū)間為_。12、已知0<a<1，0<b<1，如果a<1，則x的取值范圍是_。三、解答題：13、討論函數(shù)y=x+在區(qū)間（0，2）及（2，+)上的單調(diào)性。14、判斷函數(shù)f(x)= x+1 x-1, )0的奇偶性。 x-1 x(0,115、設(shè)x（-1，1）f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且f(x)+g(x)=-2lg(1+x)，求10g(x)。16、討論下列函數(shù)的單調(diào)性。（1）y= （2）y=lg(x2-2x-3)17、求下列函數(shù)的反函數(shù)。（1）y = - （2）y = x<0 1 + x018、已知f(x)=x2-ax x1,+)（1） 求f(x)的最小組m(a)；（2） 求函數(shù)f(a)=m(a)-a2的最大值。19、設(shè)f(x)是定義在（-，+）上以2為周期的周期函數(shù)，且f(x)為偶函數(shù)，在區(qū)間2，3上，有f(x)=-2(x-3)2+4，（1）求x1，2時(shí),f(x)的解析式；（2）若矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B在x軸上，C、D在函數(shù)y=f(x) (0x2)的圖象上，求這個(gè)矩形面積的最大值。參考答案一、 選擇題1、D 2、C 3、B 4、B 5、D 6、B 二、 填空題：7、（4） 8、（-，-2） 9、2，+）10、y= (xR且x)11、-3，-1 12、3<x<4三、 解答題：13、（0，2）上遞減，（2，+）遞增14、奇函數(shù) 15、10g(k)= x(-1,1)16、（1）a>1時(shí)，x(-，y遞減，x，+)遞增。 0<a<1時(shí)，x(-，遞增，x，+)遞減。 （2）（-，-1）遞減，（3，+）遞增17、（1）y=- (x-1) （2）y= -1<x<0 2x-2 x118、（1）m(a)= - a2 1-a a<2（2）fmax(a)=此時(shí)a=-19、（1）f(x)=-2(x-1)2+4 （2）Smax=