2020屆高中數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) 綜合訓(xùn)練（二） 理 新課標(湖南專用)

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1、2020屆高中數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) 綜合訓(xùn)練（二） 理 新課標(湖南專用) 時量：50分鐘　　　滿分：50分 解答題：本大題共4小題，第1,2,3小題各12分，第4小題14分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 　1.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0,0<φ<，x∈R)的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為，其圖象上一個最高點為P(，3)． (1)求f(x)的解析式； (2)當x∈[，]時，求f(x)的值域． 解： (1)由f(x)圖象上的一個最高點為P(，3)得A＝3. 又由f(x)圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為，得＝，即T＝π. 所以ω＝＝＝

2、2. 由點P(，3)在圖象上，得3sin(2×＋φ)＝3，即sin(φ＋)＝1， 則φ＋＝2kπ＋，即φ＝2kπ＋(k∈Z)， 又0<φ<，則φ＝. 故f(x)＝3sin(2x＋)． (2)因為x∈[，]，所以2x＋∈[，]． 當2x＋＝，即x＝時，f(x)取最大值3， 當2x＋＝，即x＝時，f(x)取最小值－. 故f(x)的值域為[－，3]． 　2.如圖所示的幾何體是由四棱錐P－ABCD與三棱錐P－BCE組合成而成，已知四邊形PABE是邊長為2a的正方形，BC⊥平面PABE，DA∥CB，且BC＝2AD＝2a，M是PC的中點． (1)求證：DM∥平面PABE； (2)

3、求點E到平面PCD的距離； (3)求平面PCD與平面PABE所成二面角的余弦值． 解析：以A為坐標原點，分別以直線AP、AB、AD為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系． 因為PA＝AB＝2a，BC＝2AD＝2a， 則A(0,0,0)，P(2a,0,0)，B(0,2a,0)，E(2a,2a,0)，D(0,0，a)，C(0,2a,2a)，M(a，a，a)． (1)證明：因為＝(a，a,0)，＝(0,2a,0)，＝(2a,0,0)， 所以＝＋， 所以與，共面． 又D?平面PABE，所以DM∥平面PABE. (2)＝(0,2a，a)，＝(2a,0，－a)． 設(shè)n＝(x，y，z)

4、為平面PCD的一個法向量， 則，即， 取z＝2，則y＝－1，x＝1，所以n＝(1，－1,2)． 又＝(0,2a,0)，設(shè)E到平面PCD的距離為d， 則d＝＝＝， 所以點E到平面PCD的距離為a. (3)由(2)知平面PCD的法向量n＝(1，－1,2)，而平面PABE的一個法向量m＝(0,0,1)． 設(shè)平面PCD與平面PABE所成的角為θ， 則cosθ＝＝＝. 　3.從某中學(xué)隨機抽取100名同學(xué)，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖． (1)由圖中數(shù)據(jù)求a的值以及身高在[165,170)之內(nèi)的學(xué)生人數(shù)b； (2)若要從身高在[170,175)，[

5、175,180)，[180,185]的三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣方法選取6名學(xué)生參加某項選拔，求各組分別選取的人數(shù)； (3)學(xué)校決定在(2)中選取的6名學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生進行某項測試，設(shè)身高在[170,175)內(nèi)的學(xué)生被抽取的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列以及ξ的數(shù)學(xué)期望． 解析：(1)由頻率分布直方圖可知，組距為5， 所以(0.07＋a＋0.04＋0.02＋0.01)×5＝1， 所以a＝0.06. 身高在[165,170)組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)b＝0.07×5×100＝35人． (2)因為身高在[170,175)，[175,180)，[180,185]的學(xué)生人數(shù)分別為0.06×5×100＝3

6、0人，0.04×5×100＝20人，0.02×5×100＝10人， 利用分層抽樣方法從中抽取6名學(xué)生， 則每組分別抽取×6＝3人，×6＝2人，×6＝1人， 所以在[170,175)，[175,180)，[180,185]三組中分別抽取3人，2人，1人． (3)在選取的6名學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生進行測試，身高在[170,175)內(nèi)的學(xué)生被抽取的人數(shù)ξ的可能取值分別為0,1,2,3， 且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝2)＝， 所以ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 3 P 所以Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝. 　4.某

7、建筑公司用8000萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少12層、每層4000平方米的樓房．經(jīng)初步估計得知，如果將樓房建為x(x≥12)層，則每平方米的平均建筑費用為Q(x)＝3000＋50x(單位：元)，為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？每平方米的平均綜合費最小值是多少？(注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝) 解析：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元，依題意得 f(x)＝Q(x)＋＝50x＋＋3000(x≥12，x∈N)． 方法1： f(x)＝50x＋＋3000≥2＋3000＝5000， 當且僅當50x＝，即x＝20上式取“＝”． 因此，當x＝20時，f(x)取得最小值5000(元)． 方法2：f(x)＝50x＋＋3000，f′(x)＝50－， f′(x)＝0(x≥12)?x＝20. 12≤x<20時，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)； x>20時，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)， 所以當且僅當x＝20時，f(x)有最小值f(20)＝5000. 答：為了使樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應(yīng)建為20層，每平方米的平均綜合費最小值為5000元．