2020年全國高考數(shù)學第二輪復習 第3講 解答題題型特點與技法指導 文

第3講解答題題型特點與技法指導高考解答題一般有六大方向：三角函數(shù)與平面向量、概率與統(tǒng)計、立體幾何、數(shù)列與不等式、解析幾何、不等式與函數(shù)及導數(shù)一般來說，前三題屬于中、低檔題，第四題屬中檔偏難題，后兩題屬難題三角函數(shù)與平面向量、概率與統(tǒng)計、立體幾何在前三題中出現(xiàn)的概率較高，掌握解這幾類題的解法是大多數(shù)學生成功的關(guān)鍵目前的高考解答題已經(jīng)由單純的知識綜合型轉(zhuǎn)化為知識、方法和能力的綜合型解答題能否做好解答題，是高考成敗的關(guān)鍵1三角函數(shù)有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題，主要是考查基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法，且難度不大凸顯恒等變換與三角函數(shù)圖象、性質(zhì)在三角形內(nèi)考查主要考查以下4個方面：三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)、圖象變換，主要是yAsin(x)b的圖象、性質(zhì)及圖象變換，考查三角函數(shù)的概念、奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值及圖象的平移和對稱等；三角恒等變換，主要考查公式的靈活運用、變換能力，一般需要運用和差角公式、倍角公式，尤其是對公式的應用與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合考查；三角函數(shù)性質(zhì)的應用，通過解三角形來考查三角恒等變形及應用三角函數(shù)性質(zhì)的綜合能力；三角函數(shù)與平面向量、數(shù)列、不等式等知識的綜合問題已知向量a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsin x,2cos x)，設(shè)函數(shù)f(x)a·b(xR)的圖象關(guān)于直線x對稱，其中，為常數(shù)，且.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的圖象經(jīng)過點，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍點評 利用向量的工具作用，與向量結(jié)合在一起命制綜合題，體現(xiàn)了在知識交匯點處命題的指導思想這類問題求解時，首先利用向量的運算，將向量式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再進行有關(guān)的三角恒等變換，再研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)變式訓練1 (2020·安徽高考，理16)設(shè)函數(shù)f(x)cossin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)設(shè)函數(shù)g(x)對任意xR，有g(shù)g(x)，且當x時，g(x)f(x)求g(x)在區(qū)間，0上的解析式2立體幾何立體幾何是高中數(shù)學的主干知識之一，命題形式比較穩(wěn)定，主要考查：(1)三視圖：解答題中一般是根據(jù)三視圖還原幾何體模型，然后展開推理；(2)空間線面關(guān)系的判定和推理證明：主要是證明平行和垂直，求解這類問題要依據(jù)線面關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進行推理論證；(3)空間幾何量(空間角、空間距離、幾何體體積與面積)的計算：求解這類問題，常用方法是依據(jù)公理、定理以及性質(zhì)等經(jīng)過推理論證，作出所求幾何量并求之一般解題步驟是“作、證、求”(2020·安徽八校一聯(lián)考，18)如圖，在多面體ABDEC中，AE平面ABC，BDAE，且ACABBCAE1，BD2，F(xiàn)為CD的中點(1)求證：EF平面ABC；(2)求證：EF平面BCD；(3)求多面體ABDEC的體積點評 本題第(1)問是證明線面平行問題，證明直線與平面平行，往往通過證直線與直線平行來實現(xiàn)第(2)問是證線面垂直問題，往往轉(zhuǎn)化為證線線垂直來實現(xiàn)第(1)(2)問充分體現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化思想第(3)問是幾何體的體積計算問題，需要把握錐體的體積計算公式變式訓練2 (2020·廣東高考，文18)如圖所示，在四棱錐PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中點，F(xiàn)是DC上的點且DFAB，PH為PAD中AD邊上的高(1)證明：PH平面ABCD；(2)若PH1，AD，F(xiàn)C1，求三棱錐EBCF的體積；(3)證明：EF平面PAB3概率與統(tǒng)計概率解答題為每年高考的必考內(nèi)容，主要考查互斥事件和對立事件的關(guān)系、古典概型和幾何概型要求學生能準確理解題意，迅速確定是古典概型還是幾何概型，然后用概率公式求解對于古典概型，要準確列出所有基本事件的個數(shù)和所求事件包含的基本事件個數(shù)對于幾何概型，一定要明確其與面積(體積、長度等)的關(guān)系對于較復雜的問題，可以借助于圖形和表格幫助分析(2020·河南洛陽統(tǒng)測，文18)為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學從理工類專業(yè)的A班和文史類專業(yè)的B班各抽取20名同學參加環(huán)保知識測試兩個班同學的成績(百分制)的莖葉圖如圖所示：按照大于或等于80分為優(yōu)秀，80分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表：成績與專業(yè)列聯(lián)表優(yōu)秀非優(yōu)秀總計A班20B班20總計40(2)能否有95%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關(guān)？附：K2P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828點評 本題主要考查統(tǒng)計中的莖葉圖獨立性檢驗，考查分析解決問題的能力、運算求解能力，難度適中準確讀取莖葉圖中的數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵變式訓練3 (2020·陜西高考，文19)假設(shè)甲乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場上銷售量相等，為了解它們的使用壽命，現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機抽取100個進行測試，結(jié)果統(tǒng)計如下：甲品牌乙品牌(1)估計甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的概率；(2)這兩種品牌產(chǎn)品中，某個產(chǎn)品已使用了200小時，試估計該產(chǎn)品是甲品牌的概率4數(shù)列與不等式高考中數(shù)列解答題的求解主要有以下幾個特點：(1)與等差、等比數(shù)列基本量有關(guān)的計算，可根據(jù)題意列方程(方程組)或利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解；(2)與求和有關(guān)的題目，首先要求通項公式，并根據(jù)通項公式選擇恰當?shù)那蠛头椒?如錯位相減法、裂項相消法、分組求和法等)；(3)含Sn的式子，要根據(jù)題目特征利用an進行轉(zhuǎn)化；(4)與遞推數(shù)列有關(guān)的問題，要能合理轉(zhuǎn)化，使之構(gòu)造出新的等差、等比數(shù)列；(5)與數(shù)列有關(guān)的不等式問題，可根據(jù)數(shù)列的特征選擇方法(如比較法、放縮法等)；(6)與函數(shù)有關(guān)的問題，應根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解(2020·四川成都二診，20)已知數(shù)列an和bn，b11，且bn13bn2n2，記anbn1bn1，nN*.(1)證明：數(shù)列an為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an和bn的通項公式；(3)記cn，數(shù)列cn的前n項和為Tn，若45Tk29，kN*恒成立，求k的最大值點評 第(1)問考查了等比數(shù)列的證明，它是為第(2)、(3)問服務(wù)的第(2)問考查了求數(shù)列通項公式的常規(guī)方法第(3)問考查了數(shù)列的求和方法，是數(shù)列與不等式知識的綜合問題變式訓練4 (2020·湖北八校二聯(lián)，19)各項為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足：Snaan(nN*)(1)求an；(2)設(shè)函數(shù)f(n)cnf(2n4)(nN*)，求數(shù)列cn的前n項和Tn.5解析幾何解析幾何解答題主要考查圓錐曲線的基本概念、標準方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和處理有關(guān)問題的基本技能、基本方法，往往以中檔偏難題或以壓軸題形式出現(xiàn)，主要考查學生的邏輯推理能力、運算能力，考查學生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力、突破解答題，應重點研究直線與曲線的位置關(guān)系，要充分運用一元二次方程根的判別式和韋達定理，注意運用“設(shè)而不求”的思想方法，靈活運用“點差法”解題，要善于運用數(shù)形結(jié)合思想分析問題，使數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化，根據(jù)具體特征選擇相應方法已知橢圓1，點P是橢圓上異于頂點的任意一點，過點P作橢圓的切線l，交y軸于點A，直線l過點P且垂直于l，交y軸于點B試判斷以AB為直徑的圓能否經(jīng)過定點，若能，求出定點坐標；若不能，請說明理由點評 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直是命題的熱點，基本方法是聯(lián)立方程，利用判別式、根與系數(shù)關(guān)系求解，運算量一般較大，這類綜合題中常涉及的問題有弦長問題、面積問題、對稱問題、定點定值問題等，是歷年高考的熱點問題，復習時要注重通性通法的訓練變式訓練5 (2020·山東高考，文21)如圖，橢圓M：1(ab0)的離心率為，直線x±a和y±b所圍成的矩形ABCD的面積為8.(1)求橢圓M的標準方程；(2)設(shè)直線l：yxm(mR)與橢圓M有兩個不同的交點P，Q，l與矩形ABCD有兩個不同的交點S，T.求的最大值及取得最大值時m的值6函數(shù)與導數(shù)以函數(shù)為載體，以導數(shù)為工具，以考查函數(shù)性質(zhì)及導數(shù)的應用為目標，以導數(shù)為工具圍繞函數(shù)、不等式、方程等綜合考查在知識的交匯處命題，涉及到具體內(nèi)容較多，如給定解析式求參數(shù)值，給定條件求參數(shù)范圍，以及對參數(shù)討論與證明不等式問題，極值、最值、值域及分析圖象交點等問題，都以導數(shù)為工具既考查函數(shù)部分的相關(guān)知識，又滲透函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合等數(shù)學思想(2020·山東青島一模，21)已知函數(shù)f(x)x3x.(1)若不等式f(x)k2 005對于x2,3恒成立，求最小的正整數(shù)k；(2)令函數(shù)g(x)f(x)ax2x(a2)，求曲線yg(x)在(1，g(1)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積的最小值點評 第(1)問是恒成立求參數(shù)范圍問題，常用分離參數(shù)求最值第(2)問考查了利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，利用導數(shù)求最值問題變式訓練6 (2020·廣西南寧一模，21)已知函數(shù)f(x)ax3bx2cxd是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象過點和(2,2)(1)求出函數(shù)f(x)的解析式，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)g(x)f(x)5t，當實數(shù)t取何值時，關(guān)于x的方程g(x)0有且只有一個實數(shù)根？參考答案方法例析【例1】解：(1)因為f(x)sin2xcos2x2sin x·cos xcos 2xsin 2x2sin.由直線x是yf(x)圖象的一條對稱軸，可得sin±1，所以2k(kZ)，即(kZ)又，kZ，所以k1，故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的圖象過點，得f0，即2sin2sin，即.故f(x)2sin.由0x，有x，所以sin1，得12sin2，故函數(shù)f(x)在上的取值范圍為1，2【變式訓練1】解：(1)f(x)cossin2xsin 2x，故f(x)的最小正周期為.(2)當x時，g(x)f(x)sin 2x.故當x時，x.由于對任意xR，gg(x)，從而g(x)gsinsin(2x)sin 2x.當x時，x.從而g(x)g(x)sin2(x)sin 2x.綜合得g(x)在，0上的解析式為g(x)【例2】(1)證明：取BC的中點G，連接AG，F(xiàn)G.F，G分別為DC，BC的中點，F(xiàn)G綉DB綉EA.四邊形EFGA為平行四邊形EFAG.又因為EF平面ABC，AG平面ABC，EF平面ABC.(2)證明：因為AE面ABC，BDAE，DB平面ABC.又DB平面BCD，平面ABC平面BCD.又G為BC的中點且ACABBC，AGBC.AG平面BCD.又EFAG，EF平面BCD.(3)解：過C作CHAB，則CH平面ABDE且CH，VCABDES四邊形ABDE·CH××.【變式訓練2】(1)證明：AB平面PAD，PH面PADPHAB，又PHAD，AD，AB平面ABCD，ADABAPH平面ABCD.(2)解：E是PB中點點E到面BCF的距離hPH，三棱錐EBCF的體積VSBCF·h··FC·AD·h×1××.(3)證明：取PA的中點為G，連接DG，EG.PD=ADDGPA，又AB平面PAD，AB平面PAB平面PAD平面PAB，又平面PAD平面PAB=PA，DG平面PADDG面PAB，點E，G是棱PB，PA的中點EG綉AB，又DF綉ABEG綉DFDGEF，得EF平面PAB.【例3】解：(1)成績與專業(yè)列聯(lián)表優(yōu)秀非優(yōu)秀總計A班14620B班71320總計211940(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到k4.9123.841.所以有95%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關(guān)【變式訓練3】解：(1)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的頻率為，用頻率估計概率，所以，甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的概率為.(2)根據(jù)抽樣結(jié)果，壽命大于200小時的產(chǎn)品有7570145(個)，其中甲品牌產(chǎn)品是75個，所以在樣本中，壽命大于200小時的產(chǎn)品是甲品牌的頻率是，用頻率估計概率，所以已使用了200小時的該產(chǎn)品是甲品牌的概率為.【例4】(1)證明：bn13bn2n2，bn3bn12(n1)2，n2，nN*.兩式相減，得bn1bn3bn3bn12(n2，nN*)整理，得bn1bn13(bnbn11)(n2，nN*)，即an3an1(n2，nN*)數(shù)列an是公比為3的等比數(shù)列(2)解：b23，a13113.an3n(nN*)anbn1bn13n，bnbn113n1，bn1bn213n2，b2b1131.累加，得bnb1n11.bnn(nN*)(3)解：cn.Tn.由45Tk29得13590116.k8.又kN*，k的最大值為7，【變式訓練4】解：(1)由Snan2an，得：當n2時，Sn1an21an1.，化簡得：(anan1)(anan12)0.又數(shù)列an的各項為正數(shù)，當n2時，anan12.故數(shù)列an為等差數(shù)列，且公差為2.又a1S1a12a1，解得a11，an2n1.(2)由分段函數(shù)f(n)可以得到：c1f(6)f(3)a35，c2f(8)f(4)f(2)f(1)a11；當n3，nN*時，cnf(2n4)f(2n12)f(2n21)2(2n21)12n11，故當n3時，Tn51(221)(231)(2n11)6(n2)2nn.n1時，T15不滿足Tn2nn；n2時，T2c1c26滿足Tn2nn.故Tn【例5】解：設(shè)點P(x0，y0)(x00，y00)，直線l的方程為yy0k(xx0)，代入1，整理得(34k2)x28k(y0kx0)x4(y0kx0)2120.xx0是方程的兩個相等實根，2x0，解得k.直線l的方程為yy0(xx0)令x0，得點A的坐標為.又，4y023x0212，點A的坐標為.又直線l的方程為yy0(xx0)，令x0，得點B的坐標為，以AB為直徑的圓方程為x·x·0，整理得x2y2y10.由得以AB為直徑的圓恒過定點(1,0)和(1,0)【變式訓練5】解：(1)設(shè)橢圓M的半焦距為c，由題意知所以a2，b1.因此橢圓M的方程為y21.(2)由整理得5x28mx4m240，由64m280(m21)8016m20，得m.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x2，x1x2.所以|PQ|(m)線段CD的方程為y1(2x2)，線段AD的方程為x2(1y1)不妨設(shè)點S在AD邊上，T在CD邊上，可知1m，S(2，m2)，D(2,1)，所以|ST|SD|1(m2)(3m)，因此.令t3m(1m)，則m3t，t(3，2，所以，由于t(3,2，所以，因此當，即時，取得最大值，此時.不妨設(shè)點S在AB邊上，T在CD邊上，此時1m1，因此|ST|=|AD|=，此時，所以當m=0時，取得最大值.不妨設(shè)點S在AB邊上，T在BC邊上，m1，由橢圓和矩形的對稱性知的最大值為，此時.綜上所述，或m=0時，取得最大值.【例6】解：(1)f(x)x3x，令f(x)x210，解得x±1.當x變化時，f(x)，f(x)的變化如下：x2(2，1)1(1,1)1(1,3)3f(x)00f(x)極大值極小值由上表可知：f(x)極大值f(1).又f(3)6，f(2).比較可得：當x2,3時，f(x)maxf(3)6.因為f(x)k2 005恒成立，所以k2 0056，即k2 011，所以最小的正整數(shù)k2 012.(2)g(x)f(x)ax2xx3ax2，則g(x)x2ax，所以g(1)1a.又因為g(1)a，所以切線方程為y(1a)(x1)令x0，得ya，令y0，得x，所以S.因為a2，則S，則S.所以S0，即S在2，)上單調(diào)遞增，所以a2時，Smin.【變式訓練6】解：(1)f(x)f(x)，ax3bx2cxdax3bx2cxd.b0，d0.故f(x)ax3cx.而它的圖象過點和(2,2)，則解得故f(x)x3x.從而f(x)x21；由f(x)0，得f(x)的單調(diào)增區(qū)間為和，由f(x)0，得f(x)的單調(diào)減區(qū)間為.(2)令g(x)0，得f(x)5t，要使得方程g(x)0有且只有一個解，即函數(shù)yf(x)與y5t的圖象有且只有一個交點，而由(1)知，f(x)在x時取得極大值，在x時取得極小值，而f×3，ff，故要使得yf(x)與y5t的圖象只有一個交點，則5t或5t，即t或t