2020年高考數(shù)學40個考點總動員 考點30 圓錐曲線的綜合應用（教師版） 新課標

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1、2020年新課標數(shù)學40個考點總動員 考點30 圓錐曲線的綜合應用（教師版） 【高考再現(xiàn)】 熱點一 軌跡問題 1. (2020年高考江西卷理科20) （本題滿分13分） 已知三點O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲線C上任意一點M（x，y）滿足. （1） 求曲線C的方程； （2）動點Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲線C上，曲線C在點Q處的切線為l向：是否存在定點P（0，t）（t＜0），使得l與PA，PB都不相交，交點分別為D,E，且△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值。若不存在，說明理由。 2.(2020年高考四川卷理科21) (本小題滿分12

2、分) 如圖，動點到兩定點、構(gòu)成，且，設動點的軌跡為。 （Ⅰ）求軌跡的方程； （Ⅱ）設直線與軸交于點，與軌跡相交于點，且，求的取值范圍. 【方法總結(jié)】求軌跡方程的常用方法 (1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)＝0； (2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程——先根據(jù)條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)； (3)定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程； (4)代入轉(zhuǎn)移法：動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表

3、示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程； 熱點二 范圍問題 3．(2020年高考天津卷理科19)（本小題滿分14分）設橢圓的左、右頂點分別為，點P在橢圓上且異于 兩點，為坐標原點. （Ⅰ）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率； （Ⅱ）若，證明：直線的斜率滿足. 4.(2020年高考山東卷理科21)（本小題滿分13分） 在平面直角坐標系中，是拋物線的焦點，是拋物線上 位于第一象限內(nèi)的任意一點，過三點的圓的圓心為，點到拋物線的準線 的距離為． （Ⅰ）求拋物線的方程； （Ⅱ）是否存在點，使得直線與拋物線相切于點若存在，求出點的坐標； 若不存在，說明理由；

4、（Ⅲ）若點的橫坐標為，直線與拋物線有兩個不同的交點，與 圓有兩個不同的交點，求當時，的最小值． 5.(2020年高考浙江卷理科21) (本小題滿分15分)如圖，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分． (Ⅰ)求橢圓C的方程； (Ⅱ) 求ABP的面積取最大時直線l的方程． 6.(2020年高考北京卷理科19)（本小題共14分） 已知曲線. （1）若曲線是焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍； （2）設，曲線與軸的交點為，（點位于點的上方），直線與 曲線交于不同的兩點，，直線與直線交于點，

5、求證：，， 三點共線. 【方法總結(jié)】解決圓錐曲線的最值與范圍問題常見的解法有兩種：幾何法和代數(shù)法．若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法．若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立起目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，這就是代數(shù)法． 熱點三 定值問題 7.(2020年高考湖南卷理科21)（本小題滿分13分）[www.z%zstep.co*~&m^] 在直角坐標系xOy中，曲線C1的點均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且對C1上任意一點M，M到直線x=﹣2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值. （Ⅰ）求曲線C1的方程；

6、（Ⅱ）設P(x0,y0)（y0≠±3）為圓C2外一點，過P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點A，B和C，D.證明：當P在直線x=﹣4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值. 8.(2020年高考遼寧卷理科20) (本小題滿分12分) 如圖，橢圓，動圓.點分別為的左、右頂點，與相交于四點 （1）求直線與直線交點的軌跡方程； （2）設動圓與相交于四點，其中，.若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值 9.(2020年高考福建卷理科19)（本小題滿分13分） 如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率。過的直線交橢圓于兩點，且的周長為8。 （Ⅰ）求橢圓的方程。 （Ⅱ）

7、設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點。試探究： 在坐標平面內(nèi)是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由。 10.（2020年高考江蘇卷19） （本小題滿分16分） 如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為，．已知和都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率． （1）求橢圓的離心率； （2）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線 與直線平行，與交于點P． （i）若，求直線的斜率； （ii）求證：是定值． 【方法總結(jié)】1．求定值問題常見的方法有兩種 (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．

8、 (2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值． 2．定點的探索與證明問題 (1)探索直線過定點時，可設出直線方程為y＝kx＋b，然后利用條件建立b、k等量關(guān)系進行消元，借助于直線系的思想找出定點． (2)從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關(guān)． 熱點四 存在性問題 11.(2020年高考湖北卷理科21)（本小題滿分13分） 設A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，i是過點A與x軸垂直的直線，D是直線i與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）。當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C。 （I）求曲線C的方程，判斷曲線C

9、為何種圓錐曲線，并求焦點坐標； （Ⅱ）過原點且斜率為k的直線交曲線C于P、Q兩點，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H，是否存在m，使得對任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由。 12. (2020年高考廣東卷理科20)（本小題滿分14分） 在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1：的離心率e=，且橢圓C上的點到Q（0，2）的距離的最大值為3. （1）求橢圓C的方程； （2）在橢圓C上，是否存在點M（m,n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最

10、大？若存在，求出點M的坐標及相對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由。 【考點剖析】 一．明確要求 能解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系等問題. 二．命題方向 1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、弦長問題、中點弦、最值范圍、定點定值的探索與證明是命題的熱點． 2.題型以解答題為主，注重數(shù)學思想與方法的考查．難度較大. 三．規(guī)律總結(jié) 一種方法 點差法：在求解圓錐曲線并且題目中交代直線與圓錐曲線相交和被截的線段的中點坐標時，設出直線和圓錐曲線的兩個交點坐標，代入圓錐曲線的方程并作差，從而求出直線的斜率，然后利用中點求出直線方程．“點差法”的常見題型有：求中點弦方程、求(過定點、平行

11、弦)弦中點軌跡、垂直平分線問題．必須提醒的是“點差法”具有不等價性，即要考慮判別式Δ是否為正數(shù)． 一條規(guī)律 “聯(lián)立方程求交點，根與系數(shù)的關(guān)系求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”． 【基礎練習】 1．(人教A版教材習題改編)直線y＝kx－k＋1與橢圓＋＝1的位置關(guān)系為 (　　)． A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定 解析　直線y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒過定點(1,1)，而點(1,1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交． 答案　A 2．已知以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為(　　)．

12、A．3 B．2 C．2 D．4 3．(2020·成都月考)已知雙曲線E的中心為原點，F(xiàn)(3,0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N(－12，－15)，則E的方程為(　　)． A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 4．(2020·泉州模擬)y＝kx＋2與y2＝8x有且僅有一個公共點，則k的取值為________． 解析　由得ky2－8y＋16＝0，若k＝0，則y＝2；若k≠0，則Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1.故k＝0或k＝1. 答案　0或1　　 【名校模擬】 一．基礎扎實 1.(202

13、0年大連沈陽聯(lián)合考試第二次模擬試題理)已知、分別為橢圓：的左、右焦點，點為橢圓上的動點，則 的重心的軌跡方程為( ) A． B． C． D． 【解析】 第一步識別條件：橢圓：可以畫出圖像畫，好圖形之后，趕緊把焦點標上，頂點標上，點為橢圓上的動點，趕緊把點P標上吧。隨便找個位置，但是千萬別找特殊點，比如頂點！ 的重心，重心G，啥意思呢？這還有坐標系， 第二步轉(zhuǎn)化條件：?應該想到在向量一章里面學過這個重心的坐標表示可以用三個頂點表示啊 G（(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3），再看看圖形，發(fā)現(xiàn)太好了， 三個點中，F(xiàn)1,F2關(guān)于原點

14、是對稱的，x1+x2=0,y1+y2=0這下可好了。 第三步看問定向：?重心的軌跡方程?，設G（x，y）,則P(3x,3y)，再利用P在橢圓上，坐標帶進去吧 第四步結(jié)論已出現(xiàn)： 【答案】C 2.（北京2020學年度第二學期高三綜合練習（二）文） （本小題共14分） 已知橢圓的左焦點，長軸長與短軸長的比是． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過作兩直線，交橢圓于，，，四點，若，求證：為定值． 【命題分析】 第一問根據(jù)橢圓中a,b,c的關(guān)系以及已知中的條件列出方程組，直接解出a,b,c，從而求得橢圓方程。第二問設出直線方程，根據(jù)直線和橢圓有交點，列出方程，把源都用斜率k表示，求出

15、倒數(shù)和。 二．能力拔高 3.(浙江省2020屆重點中學協(xié)作體高三第二學期高考仿真試題理)已知點，，，動圓與直線切于點，過、與圓相切的兩直線相交于點，則點的軌跡方程為 A． B． C． D． 【解析】如圖： ． 故點的軌跡為雙曲線， 且． 所以，． 【答案】A 4.(北京市西城區(qū)2020屆高三下學期二模試卷理)曲線是平面內(nèi)到定點和定直線的距離之和等于的點的軌跡，給出 下列三個結(jié)論： ① 曲線關(guān)于軸對稱； ② 若點在曲線上，則； ③ 若點在曲線上，

16、則. 其中，所有正確結(jié)論的序號是____________． 5.(北京市朝陽區(qū)2020屆高三年級第二次綜合練習理)（本小題滿分13分） 在平面直角坐標系中，已知點，，為動點，且直線與直線的斜率之積為． （Ⅰ）求動點的軌跡的方程； （Ⅱ）設過點的直線與曲線相交于不同的兩點，．若點在軸上，且<滿足，求點的縱坐標的取值范圍． 【命題分析】本題考查曲線方程，考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，第一問可通過橢圓的定義列方程求解；第二問借助第一問的結(jié)論，借助直線和曲線的位置關(guān)系列方程消去y找到關(guān)于x的方程，根據(jù)方程的根的關(guān)系求解. 6．(北京市東城區(qū)2020學年度第二學期高三綜合練習

17、（二）理)（本小題共14分） 已知拋物線：，為直線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為,. （Ⅰ）當?shù)淖鴺藶闀r，求過三點的圓的方程； （Ⅱ）證明：以為直徑的圓恒過點. 【命題分析】第一問通過直線和拋物線的方程聯(lián)立，求出A、B點坐標。第二問設出切點坐標，切線方程，用來證明以為直徑的圓恒過點 7. (2020北京海淀區(qū)高三年級第二學期期末練習理)（本小題滿分13分） 已知橢圓:的右焦點為，且點在橢圓上. （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）已知動直線過點，且與橢圓交于，兩點.試問軸上是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由. 【命題

18、分析】本題考查橢圓的方程和直線與橢圓的相交問題，考查學生利用待定系數(shù)法和解析法的解題能力. 待定系數(shù)法：如果題目給出是何曲線，可根據(jù)題目條件，恰當?shù)脑O出曲線方程，然后借助條件進一步確定求橢圓的標準方程應從“定形”“定式”“定量”三個方面去思考?！岸ㄐ巍笔侵笇ΨQ中心在原點，焦點在哪條對稱軸上；“定式”是指根據(jù)“形”設出相應的橢圓方程的具體形式；“定量”是指利用定義法或待定系數(shù)法確定的值.本題第一問利用橢圓的離心率和直線與橢圓相切判別式為0得到兩個等式求解的值；關(guān)于直線與圓錐曲線位置關(guān)系的存在性問題，一般先假設存在滿足題意的元素，經(jīng)過推理論證，如果得到可以成立的結(jié)果，就可以作出存在的結(jié)論；若得到與

19、已知條件、定義、公理、定理、性質(zhì)相矛盾的量，則說明假設不成立.本題的第二問就是利用這個解題思路，借助韋達定理和進行轉(zhuǎn)化和探索. 8. (北京市西城區(qū)2020屆高三4月第一次模擬考試試題理)（本小題滿分14分） 已知橢圓的離心率為，定點，橢圓短軸的端點是，，且. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設過點且斜率不為的直線交橢圓于，兩點.試問軸上是否存在定點，使平分？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由. 【命題分析】本題考查橢圓的離心率，橢圓方程問題以及直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學生利用待定系數(shù)法和解析法的解題能力.分析此類問題時，要充分利用數(shù)形結(jié)合思想去考慮，達到優(yōu)化

20、解題思維，簡化解題過程的目的. （Ⅰ）解：由 ， 得 . ………2分 依題意△是等腰直角三角形，從而，故. …………4分 所以橢圓的方程是. ……5分 （Ⅱ）解：設，，直線的方程為. 將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立， 消去得 . ……7分 所以 ，. ……8分 若平分，則直線，的傾斜角互補， 所以. …………9分 設，則有 . 將 ，代入上式， 整理得 ， 所以 . ………

21、………12分 將 ，代入上式， 整理得 . ……………13分 由于上式對任意實數(shù)都成立，所以 . 綜上，存在定點，使平分. …………14分 9．(北京市西城區(qū)2020屆高三下學期二模試卷理)（本小題滿分13分） 已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點． （Ⅰ）若，求直線的斜率； （Ⅱ）設點在線段上運動，原點關(guān)于點的對稱點為，求四邊形面積的最小值． 【命題分析】本題考查直線的斜率、向量共線，軌跡問題以及直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學生利用待定系數(shù)法和解析法的解題能力.對直線和拋物線的位置關(guān)系的考查，通常涉及到拋物線的性質(zhì)，最

22、值的求法和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直等問題，分析此類問題時，要充分利用數(shù)形結(jié)合思想去考慮，達到優(yōu)化解題思維，簡化解題過程的目的.要特別注意與向量相結(jié)合的問題，一般與共線、垂直和夾角有關(guān)，解題關(guān)鍵利用“向量問題坐標化”，本題的第一問借助向量共線得到坐標之間的關(guān)系；第二問中根據(jù)對稱關(guān)系確定四邊形面積的函數(shù)表達式是解題的關(guān)鍵. 10. (北京市西城區(qū)2020屆高三下學期二模試卷文)（本小題滿分14分） 已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過點的直線交橢圓于，兩點，求△（為原點）面積的最 大值． 【命題分析】本題考查橢圓的方程和直線與橢圓的相交問題，考

23、查學生利用待定系數(shù)法和解析法的解題能力. 待定系數(shù)法：如果題目給出是何曲線，可根據(jù)題目條件，恰當?shù)脑O出曲線方程，然后借助條件進一步確定求橢圓的標準方程應從“定形”“定式”“定量”三個方面去思考?！岸ㄐ巍笔侵笇ΨQ中心在原點，焦點在哪條對稱軸上；“定式”是指根據(jù)“形”設出相應的橢圓方程的具體形式；“定量”是指利用定義法或待定系數(shù)法確定的值.本題第一問利用橢圓的離心率和直線與橢圓相切判別式為0得到兩個等式求解的值；關(guān)于直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，借助韋達定理和面積公式進行轉(zhuǎn)化和探索為函數(shù)關(guān)系式，進而求最值. （Ⅰ）解： 由 ， 得 ． ① ………………2分 由橢

24、圓經(jīng)過點，得． ② ………………3分 聯(lián)立① ②，解得 ，． …………4分 所以橢圓的方程是 ． …………5分 （Ⅱ）解：易知直線的斜率存在，設其方程為． 將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去得 ． ………………7分 令，得． 設，，則，． ……………9分 所以 ． ………………10分 因為 ， 設 ， 則 ． ………13分 當且僅當，即時等號成立，此時△面積取得最大值．

25、 ………………14分 11. (2020東城區(qū)普通高中示范校高三綜合練習（二）理) （本小題滿分14分） 已知頂點在坐標原點，焦點在軸正半軸的拋物線上有一點，點到拋物線焦點的距離為1. （1）求該拋物線的方程； （2）設為拋物線上的一個定點，過作拋物線的兩條互相垂直的弦,, 求證：恒過定點. （3）直線與拋物線交于,兩點，在拋物線上是否存在點，使得△為以為斜邊的直角三角形. 12. (2020屆高三年級第二次綜合練習文)（本小題滿分14分） 在平面直角坐標系中，點M到

26、兩點，的距離之和為，設點的軌跡為曲線． （Ⅰ）寫出曲線的方程； （Ⅱ）設過點的斜率為（）的直線與曲線交于不同的兩點,，點在軸上，且，求點縱坐標的取值范圍． 【命題分析】本題考查曲線方程，考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，第一問可通過橢圓的定義列方程求解；第二問借助第一問的結(jié)論，借助直線和曲線的位置關(guān)系求解. 13. （海淀區(qū)高三年級第二學期期末練習文）（本小題滿分13分） 已知橢圓:的右焦點為，且點在橢圓上. （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）已知點，動直線過點，且直線與橢圓交于，兩點，證明：為定值. 14. (東城區(qū)普通高中示范校高三綜合練習(二)

27、（文）) （本小題滿分14分） 已知橢圓的左、右焦點分別為 , 離心率為.以原點為圓心，橢圓的短軸長為直徑的圓與直線相切． (Ⅰ) 求橢圓的方程； (Ⅱ) 如圖，若斜率為的直線與軸、橢圓順次相交于點（點在橢圓右頂點的右側(cè)），且. （?。┣笞C：直線過定點（2，0）; （ⅱ）求斜率的取值范圍. 15 (2020年大連沈陽聯(lián)合考試第二次模擬試題理) (本小題滿分12分) 如圖，已知拋物線：和⊙：，過拋物線上一點 作兩條直線與⊙相切于、兩點，分別交拋物線為E、F兩點，圓心點到拋物線準線的距離為． (Ⅰ)求拋物線的方程； (Ⅱ)當?shù)慕瞧椒志€垂直軸時， 求直線的斜率；

28、(Ⅲ)若直線在軸上的截距為，求的最小值． 【解析】 識別條件1：拋物線：，轉(zhuǎn)化：我能求出焦點坐標，準線方程，是否有用，不用管。 識別條件2：⊙：，轉(zhuǎn)化：我能求出圓心坐標，以及半徑。對照條件1，我知道橢圓焦點在圓M外。 ?識別條件3：拋物線上一點，轉(zhuǎn)化： ?還有就是 識別條件4：，轉(zhuǎn)化，點H只能在拋物線一段上運動，而不是整個拋物線。另外，這個可能提示我，將來可能求什么范圍，最值之類。 識別條件5：作兩條直線與⊙相切于、兩點，轉(zhuǎn)化：圓與切線問題，圓心到切線的距離等于圓的半徑。還有，圓心與切點連線，垂直于切線。 識別條件6：分別交拋物線為E、F兩點EF也在拋物線上，坐標滿足拋物線方

29、程。 識別條件7：圓心點到拋物線準線的距離為呵呵，總算給我點能寫數(shù)字的地方。?利用這個條件7，能求出拋物線方程了 ?看問定方向：求拋物線的方程，，剛剛做完。 ?看問定方向：當?shù)慕瞧椒志€垂直軸時，求直線的斜率； ?啥叫當?shù)慕瞧椒志€垂直軸時，意味著什么？轉(zhuǎn)化一下，就是H點在M點的正上方。哈哈，H點坐標就知道了 條件2中，有圓的方程，HA,HB直線方程可以求出了。那EF直線斜率就不是問題了。 ?看問定方向：(Ⅲ)若直線在軸上的截距為，求的最小值． 轉(zhuǎn)化：直線AB，看看你的圖吧，你看出來了嗎？ 圓外一點做圓的兩條切線，切點連線直線方程，你會寫不？ 不會？怎么可能。你一定是把老師講過的

30、一個知識點忘記了 我提醒你一下吧，圓，過圓上一點的切線方程是 想起來沒？那個圓的方程 是 這個直線AB方程就是： 是H點橫坐標 可以換成 要求的就是這條直線與y軸交點縱坐標，把x換成0吧，沒合計的，縱坐標換成t行了，得到一個關(guān)于的式子， ?看看，本來是導數(shù)處理單調(diào)性，求值域問題 ?一看導數(shù)也不必用上了 與單調(diào)性相同，都是增函數(shù)，那就是在1處取得最小值了。 ?呵呵，這個題目結(jié)束了。 16. (2020年長春市高中畢業(yè)班第二次調(diào)研測試文)（本小題滿分12分） 已知橢圓過定點，以其四個頂點為頂點的四邊形的面 積等于以其兩個短軸端點和兩個焦點為頂點的四邊形面積

31、的2倍. ⑴求此橢圓的方程； ⑵若直線與橢圓交于，兩點，軸上一點，使得為 銳角，求實數(shù)的取值范圍. 【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到拋物線 方程的求法、直線與圓錐曲線的相關(guān)知識以及向量與圓錐曲線的綜合知識. 17. (2020年長春市高中畢業(yè)班第二次調(diào)研測試理)（本小題滿分12分） 已知拋物線的頂點是坐標原點，焦點在軸正半軸上，過的直線與拋物線交于、兩點，且滿足. ⑴求拋物線的方程； ⑵在軸負半軸上一點，使得是銳角，求的取值范圍； ⑶若在拋物線準線上運動，其縱坐標的取值范圍是，且，點 是以為直徑的圓與準線的一個公共點，求點的縱坐標的取值范

32、圍. 【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到拋物線 方程的求法、直線與圓錐曲線的相關(guān)知識以及向量與圓錐曲線的綜合知識. 18. (2020年石家莊市高中畢業(yè)班第一次模擬考試理) (本小題滿分12分） 在平面直角坐標系xOy中，已知定點A(-2，0)、B(2，0)，M是動點，且直線MA與直線MB的斜率之積為，設動點M的軌跡為曲線C. (I)求曲線C的方程； (II )過定點T(-1，0)的動直線l與曲線C交于P,Q兩點，是否存在定點S(s，0)，使得為定值，若存在求出s的值;若不存在請說明理由. 19. (2020年石家莊市高中畢業(yè)

33、班第二次模擬考試理) (本小題滿分12分） 在平面直角坐標系中，已知直線l:y=-1，定點F(0，1)，過平面內(nèi)動點P作PQ丄l于Q點，且? (I )求動點P的軌跡E的方程； (II)過點P作圓的兩條切線，分別交x軸于點B、C，當點P的縱坐標y0>4時，試用y0表示線段BC的長，并求ΔPBC面積的最小值. 20．(河北唐山市2020屆高三第三次模擬理)（本小題滿分12分） 拋物線在點P處的切線l分別交x軸、y軸于不同的兩點A、B，。當點P在C上移動時，點M的軌跡為D。 （1）求曲線D的方程： （2）設直線l與曲線D的另一個交點為N，曲線D在點M、N處的切

34、線分別為m、n直線m、n相交于點Q，證明：PQ平行于x軸。 18．(河北唐山市2020屆高三第三次模擬文)（本小題滿分12分） 拋物線在點P處的切線分別交x軸、y軸于不同的兩點A、B，。當點P在C上移動時，點M的軌跡為D。 （1）求曲線D的方程： （2）圓心E在y軸上的圓與直線相切于點P，當|PE|=|PA|，求圓的方程。 解： （Ⅰ）對y＝x2求導，得y￠＝2x． 設點P(x0，x)（x0≠0），則直線l方程為y－x＝2x0(x－x0)， 在l方程中分別令y＝0，x＝0，得A(，0)、B(0，－x)． …3分 設M(x，y)，＝即(x－，y)＝(－x，－x－

35、y)，由此得 x0＝3x，x＝－3y， 消去x0，得曲線D的方程為y＝－3x2（x≠0）． …6分 （Ⅱ）依題意，直線PE方程為y－x＝－(x－x0)， 令x＝0，得E(0，x＋)． 由|PE|＝|PA|，得x＋＝＋x， 解得x＝1，或x＝－（舍去）． …9分 于是所求圓的圓心為E(0，)，半徑r＝|PE|＝， 圓的方程為x2＋(y－)2＝． …12分 21. （2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學質(zhì)量檢測(二)文）(本小題滿分12分) 點P為圓：上一動點，PD軸于D點，記線段PD的中點M的運動軌跡為曲線C． (I)求

36、曲線C的方程； (II)直線經(jīng)過定點（0，2）與曲線C交于A、B兩點，求△OAB面積的最大值． 22．(2020年石家莊市高中畢業(yè)班第二次模擬考試文) (本小題滿分12分） 已知點P(l，）在橢圓上，且該橢圓的離心率為. (I )求橢圓E的方程； (II)過橢圓E上一點P(x0，3)作圓的兩條切線，分別交x軸于點B、C，求的面積. 解：（Ⅰ）依題意得：，…………………2分 解之得． ∴橢圓的方程為．………………5分 （Ⅱ）把代入，求得，不妨取， 易知過橢圓上一點作圓的兩條切線的斜率存在， 設為，則切線的方程為：，………………7分 依題意得，化簡得， 則.

37、 ∴切線的方程為：,…………………9分 令得, ∴.…………………12分 23．(唐山市2020學年度高三年級第一次模擬考試文)中心在原點O,焦點F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過點C(2, 2),且·＝2 (I )求橢圓E的方程； (II)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程. 24. (2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學質(zhì)量檢測(二) 理) (本小題滿分12分) 點P為圓： (>0)上一動點，PD軸于D點，記線段PD的中點M的運動軌跡為曲線C． (I)求曲線C的方程； (II)若動直

38、線與曲線C交于A、B兩點，當△OAB(O是坐標原點)面積取得最大值，且最大值為1時，求的值． 三．提升自我 25.(湖北省武漢市2020年普通高等學校招生適應性訓練文)已知雙曲線的兩個焦點分別為、，則滿足△的周長為的動點的軌跡方程為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依題意得知，，，因此滿足的周長為的動點的軌跡是以點為焦點、長軸長是6的橢圓（除去長軸的端點），即動點的軌跡方程是，選C. 26.(浙江省寧波市鄞州區(qū)2020屆高三高考適應性考試（3月）文)在直角坐標系中,的兩個頂點坐標分別為,平面內(nèi)兩點同時滿足下列條件:

39、 則的另一個頂點的軌跡方程為 27. (2020年河南豫東、豫北十所名校階段性測試(三）理) (本小題滿分12分） 已知橢圓：與X軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點，原點O到直線AB的距離為，該橢圓的離心率為 (I)求橢圓的方程； (II)是否存在過點的直線I與橢圓交于M,N兩個不同的點，且對l外任意一點Q，有成立？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由. 【命題分析】本題考查橢圓的方程和直線與橢圓的相交問題，考查學生利用待定系數(shù)法和解析法的解題能力. 待定系數(shù)法：如果題目給出是何曲線，可根據(jù)題目條件，恰當?shù)脑O出曲線方程，然后借助條件進一步確定求橢圓

40、的標準方程應從“定形”“定式”“定量”三個方面去思考?！岸ㄐ巍笔侵笇ΨQ中心在原點，焦點在哪條對稱軸上；“定式”是指根據(jù)“形”設出相應的橢圓方程的具體形式；“定量”是指利用定義法或待定系數(shù)法確定的值.本題第一問利用橢圓的離心率和直線與橢圓相切判別式為0得到兩個等式求解的值；關(guān)于直線與圓錐曲線位置關(guān)系的存在性問題，一般先假設存在滿足題意的元素，經(jīng)過推理論證，如果得到可以成立的結(jié)果，就可以作出存在的結(jié)論；若得到與已知條件、定義、公理、定理、性質(zhì)相矛盾的量，則說明假設不成立.本題的第二問就是利用這個解題思路，借助韋達定理和進行轉(zhuǎn)化和探索. 28. (中原六校聯(lián)誼2020年高三第一次聯(lián)考文)（本小題滿

41、分12分）已知橢圓右頂點與右焦點的距離為，短軸長為 （I）求橢圓的方程； （Ⅱ）過左焦點F的直線與橢圓分別交于A、B兩點，若三角形OAB的面積為求直線AB的方程。 29. (河南省鄭州市2020屆高三第二次質(zhì)量預測文) (本小題滿分12分) 已知圓C的圓心為C(m,0)，m<3，半徑為，圓C與離心率的橢圓的其中一個公共點為A(3，l)，F(xiàn)1,F2分別是橢圓的左、右焦點. (I)求圓C的標準方程； (II)若點P的坐標為（4，4），試探究直線PF1與圓C能否相切，若能，求出橢圓E和直線PF1的方程；若不能，請說明理由. 【命題分析】本題考查橢圓的方程，直線和橢

42、圓的相交問題等綜合問題. 考查學生利用待定系數(shù)法和解析法的解題能力. 待定系數(shù)法：如果題目給出是何曲線，可根據(jù)題目條件，恰當?shù)脑O出曲線方程，然后借助條件進一步確定求橢圓的標準方程應從“定形”“定式”“定量”三個方面去思考?！岸ㄐ巍笔侵笇ΨQ中心在原點，焦點在哪條對稱軸上；“定式”是指根據(jù)“形”設出相應的橢圓方程的具體形式；“定量”是指利用定義法或待定系數(shù)法確定的值.本題第一問利用橢圓的離心率和點在直線上得到兩個等式求解的值；在直線與橢圓的位置關(guān)系問題中，一類是直線和橢圓關(guān)系的判斷，利用判別式法.另一類常與“弦”相關(guān)：“平行弦”問題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點弦”問題關(guān)鍵是“韋達定理”或“小小直角三角

43、形”或“點差法”、“長度（弦長）”問題關(guān)鍵是長度（弦長）公式.在求解弦長問題中，要注意直線是否過焦點，如果過焦點，一般可采用焦半徑公式求解；如果不過，就用一般方法求解.要注意利用橢圓自身的范圍來確定自變量的范圍，涉及二次方程時一定要注意判別式的限制條件.本題的第二問利用直線和橢圓聯(lián)立，借助韋達定理和橢圓的定義進行轉(zhuǎn)換建立等量關(guān)系，進而求解直線l的方程和圓P的方程. 30． (2020屆鄭州市第二次質(zhì)量預測理) (本小題滿分12分）. 已知圓C的圓心為C(m，0), m<3，半徑為，圓C與離心率的橢圓的其中一個公共點為A(3，l) ,F1 ,F2分別是橢圓的左、右焦點. (I) 求

44、圓C的標準方程； (II) 若點P的坐標為(4，4)，試探究直線PF1與圓C能否相切？若能，設直線PF1與橢圓E相交于A，B兩點，求ΔABF2的面積;若不能,請說明理由. 31．(2020洛陽示范高中聯(lián)考高三理)（本小題滿分12分） 已知橢圓經(jīng)過點，且兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形． （1）求橢圓的方程； （2）動直線交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T。若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由． 【命題說明】本試題考查了橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運用，體現(xiàn)了運用代數(shù)方法解決解析

45、幾何的本質(zhì)。聯(lián)立方程組，設而不求的數(shù)學思想。借助于韋達定理，求解計算。 32．（懷化2020高三第三次模擬考試文）（本小題滿分13分） 設、是橢圓上的兩點，已知向量，滿足，且橢圓的離心率短軸長為2，為坐標原點. （1）求橢圓的方程； （2）若直線過橢圓的焦點，（為半焦距），求直線的方程. 【解析】：（1）---------1分 ------------3分 [ 橢圓的方程為 ------------5分 【點評】本小題主要考查直線與橢圓的方程和位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能

46、力。 33．(浙江省2020屆重點中學協(xié)作體高三第二學期4月聯(lián)考試題理 )（本小題滿分15分）如圖，曲線是以原點O為中心、 為焦點的橢圓的一部分，曲線是以O為頂點、為 焦點的拋物線的一部分，A是曲線和的交點且 為鈍角，若，． （Ⅰ）求曲線和的方程； （Ⅱ）過作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線依 次交于B、C、D、E四點，若G為CD中點、H為BE中點，問是否 為定值？若是求出定值；若不是說明理由． 34. (浙江省2020屆重點中學協(xié)作體高三第二學期高考仿真試題理)（本題滿分15分） 已知點，，動點的軌跡曲線滿足， ，過點的直線交曲線于、兩

47、點. （Ⅰ）求的值，并寫出曲線的方程； （Ⅱ）求△面積的最大值. 【解析】(21) 本題主要考查橢圓的標準方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎知識， 同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．滿分15分． 解：（Ⅰ）設，在△中，，， 根據(jù)余弦定理得． ……12分 即． ． 而，所以. 所以． 　　　　 　　　　………………4分 又， 因此點的軌跡是以、為焦點的橢圓（點在軸上也符合題意）， ，． 所以曲線的方程為． ………………6分 （Ⅱ）設直線的方程為． 由，消去x并整理得. ① 顯然方程①的，設，． 則 由韋達定理

48、得，． …………9分 所以． …………11分 令，則，． ………………12分 由于函數(shù)在上是增函數(shù)． 所以，當，即時取等號． 所以，即的最大值為3． 所以△面積的最大值為3，此時直線的方程為．……15分 35. 【2020學年浙江省第二次五校聯(lián)考理】（本題滿分15分） 設點為圓上的動點，過點作軸的垂線，垂足為．動點滿足（其中，不重合）． （Ⅰ）求點的軌跡的方程； （Ⅱ）過直線上的動點作圓的兩條切線，設切點分 別為．若直線與（Ⅰ）中的曲線交于兩點， 求的取值范圍． 36. （寧波四中2020學年第一學期期末考試理）（本題滿分15分）長為3的線段的兩個端點分

49、別在軸上移動，點在直線上且滿足．（I）求點的軌跡的方程；（II）記點軌跡為曲線，過點任作直線交曲線于兩點，過作斜率為的直線交曲線于另一 37. (浙江省2020屆浙南、浙北部分學校高三第二學期3月聯(lián)考試題理)（本小題滿分15分）在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點為，．平面內(nèi)兩點、同時滿足： ① 為△ABC的重心, ② ，③∥． （Ⅰ）求頂點的軌跡的方程； （Ⅱ）設都在曲線上 ，定點的坐標為，已知∥ , ∥且．求四邊形面積的最大值和最小值． 【解析】本題主要考查橢圓的標準方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．滿

50、分15分． 【原創(chuàng)預測】 1. (2020北京海淀區(qū)高三年級第二學期期末練習理)曲線是平面內(nèi)到定點的距離與到定直線的距離之和為3的動點的軌跡. 則曲線與軸交點的坐標是 ；又已知點（為常數(shù)），那么的最小值= . 2，已知點是圓上任意一點，過點作軸的垂線，垂足為，點滿足，記點的軌跡為曲線． （Ⅰ）求曲線的方程； （Ⅱ）設，點、在曲線上，且直線與直線的斜率之積為，求的面積的最大值． 3.如圖，已知動直線經(jīng)過點，交拋物線于兩點，坐標原點是的中點，設直線的斜率分別為. （1）證明： （2）當時，是否存在垂直于軸的直線，被以為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，請求出直

51、線的方程；若不存在，請說明理由. 4.如圖，過點作拋物線的切線，切點A在第二象限．. （1）求切點A的縱坐標； （2）若離心率為的橢圓恰好經(jīng)過切點A，設切線交橢圓的另一點為B，記切線、OA、OB的斜率分別為，求橢圓方程． ∴ 5.已知橢圓G：(a>b>0)的離心率為，右焦點F(1,0)．過 點F作斜率為k（k10）的直線l，交橢圓G于A、B兩點，M（2,0）是一個定點．如圖 所示，連AM、BM，分別交橢圓G于C、D[兩點（不同于A、B），記直線CD的斜率為 ． (Ⅰ)求橢圓G的方程； (Ⅱ)在直線l的斜率k變化的過程中，是否存在一 個常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出 這個常數(shù)；若不存在，請說明理由．