2020年高考數(shù)學(xué)40個考點總動員 考點34 離散型隨機變量的均值與方差（理）（教師版） 新課標

《2020年高考數(shù)學(xué)40個考點總動員 考點34 離散型隨機變量的均值與方差（理）（教師版） 新課標》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學(xué)40個考點總動員 考點34 離散型隨機變量的均值與方差（理）（教師版） 新課標（39頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2020年新課標數(shù)學(xué)40個考點總動員 考點34 離散型隨機變量的均值與方差（理）（教師版） 【高考再現(xiàn)】 熱點一、頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用 1．（2020年高考（遼寧理））電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖; 將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”. (Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別 有關(guān)? (Ⅱ)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機抽 樣方法每次抽取

2、1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求X的分布列,期望和方差. 附: 【解析】 (I)由頻率頒布直方圖可知,在抽取的100人中,“體育迷”有25人,從而2×2列聯(lián)表如下: 由2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計算,得: 因為3.030<3.841,所以,沒有理由認為“體育迷”與性別有關(guān). (II)由頻率頒布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25,將頻率視為概率,即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為,由題意, ,從而X的分布列為: 2．（2020年高考（廣東理））(概率

3、統(tǒng)計)某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖4所示,其中成績分組區(qū)間是:、、、、、. (Ⅰ)求圖中的值; (Ⅱ)從成績不低于80分的學(xué)生中隨機選取2人,該2人中成績在90分以上(含90分)的人數(shù)記為,求的數(shù)學(xué)期望. 3．（2020年高考（安徽理））甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示,則 （　　） A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù) B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù) C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差 D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差 【解析】選 甲的成績的方差為,乙的成績的方差為

4、 【方法總結(jié)】 頻率分布直方圖直觀形象地表示了樣本的頻率分布，從這個直方圖上可以求出樣本數(shù)據(jù)在各個組的頻率分布．根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本(或者總體)的平均值時，一般是采取組中值乘以各組的頻率的方法． 熱點二、莖葉圖的應(yīng)用 1．（2020年高考（陜西理））從甲乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機,對其銷售額進行統(tǒng)計,統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示),設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為,,中位數(shù)分別為,,則 （　　） A． , B．, C．, D．, 熱點三、離散型隨機變量的均值與方差 1．（2020年高考（上海理））設(shè),. 隨機變量取值、、、、的概率均為0.2,隨機

5、變量取值、、、、的概率也為0.2. 若記、分別為、的方差,則 （　　） A．>. B．=. C．<. D．與的大小關(guān)系與、、、的取值有關(guān). [解析] 2．（2012年高考（天津理））現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動,該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性,約定:每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加個游戲,擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲,擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲. (Ⅰ)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率: (Ⅱ)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率: (Ⅲ)用分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù),記,求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)

6、期望. (1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率為. (2)設(shè)“這4人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”不事件,則,由于與互斥,故 所以這4人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為. 3．（2020年高考（浙江理））已知箱中裝有4個白球和5個黑球,且規(guī)定:取出一個白球的2分,取出一個黑球的1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回,且每球取到的機會均等)3個球,記隨機變量X為取出3球所得分數(shù)之和. (Ⅰ)求X的分布列; (Ⅱ)求X的數(shù)學(xué)期望E(X). 【解析】 4．（2020年高考（重慶理））(本小題滿分13分,(Ⅰ)小問5分,(Ⅱ)小問8分.)

7、甲、乙兩人輪流投籃,每人每次投一球,.約定甲先投且先投中者獲勝,一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為,乙每次投籃投中的概率為,且各次投籃互不影響. (Ⅰ) 求甲獲勝的概率; (Ⅱ) 求投籃結(jié)束時甲的投籃次數(shù)的分布列與期望 綜上知,有分布列 1 2 3 從而,(次) 5．（2020年高考（四川理））某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))和,系統(tǒng)和在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和. (Ⅰ)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為,求的值; (Ⅱ)設(shè)系統(tǒng)在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量,求的概

8、率分布列及數(shù)學(xué)期望. [解析](1)設(shè):“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C,那么 1-P(C)=1-P= ,解得P=4 分 所以,隨機變量的概率分布列為: 0 1 2 3 P 故隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為: E=0 . 6．（2020年高考（陜西理））某銀行柜臺設(shè)有一個服務(wù)窗口,假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間互相獨立,且都是整數(shù)分鐘,對以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下: 從第一個顧客開始辦理業(yè)務(wù)時計時. (1)估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率; (2)表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù),

9、求的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【解析】:設(shè)表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間,用頻率估計概率,得的分布列如下: 1 2 3 4 5 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 (1)表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”,則事件A對應(yīng)三種情形: ①第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘,且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘;②第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘,且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘;③第一個和第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為2分鐘. 所以 7．（2020年高考（山東理））先在甲、乙兩個靶.某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為,命中

10、得1分,沒有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為,每命中一次得2分,沒有命中得0分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊. (Ⅰ)求該射手恰好命中一次得的概率; (Ⅱ)求該射手的總得分的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【解析】:(Ⅰ); (Ⅱ) , X 0 1 2 3 4 5 P EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=. 8．（2020年高考（江西理））如圖,從A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,2,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1), C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點,

11、將這3個點及原點O兩兩相連構(gòu)成一個“立體”,記該“立體”的體積為隨機變量V(如果選取的3個點與原點在同一個平面內(nèi),此時“立體”的體積V=0). (1)求V=0的概率; (2)求V的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【解析】 (1)從6個點中隨機地選取3個點共有種選法,選取的3個點與原點O在同一個平面上的選法有種,因此V=0的概率 (2)V的所有可能值為,因此V的分布列為 V 0 P 由V的分布列可得: EV= 9．（2020年高考（江蘇））設(shè)為隨機變量,從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條,當(dāng)兩條棱相交時,;當(dāng)兩條棱平行時,的值為兩條棱之

12、間的距離;當(dāng)兩條棱異面時,. (1)求概率; (2)求的分布列,并求其數(shù)學(xué)期望. 10．（2020年高考（湖南理））某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示. 一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客數(shù)(人) 30 25 10 結(jié)算時間(分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%. (Ⅰ)確定x,y的值,并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望; (Ⅱ)若某顧客到達收銀臺時前面恰

13、有2位顧客需結(jié)算,且各顧客的結(jié)算相互獨立,求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2 鐘的概率. (注:將頻率視為概率) 【解析】(1)由已知,得所以 該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體,所以收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量隨機樣本,將頻率視為概率得 的分布為 X 1 1.5 2 2.5 3 P X的數(shù)學(xué)期望為 . 11．（2020年高考（湖北理））根據(jù)以往的經(jīng)驗,某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對工期的影響如下表: 降水量X 工期延誤天數(shù) 0 2 6 10 歷年

14、氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9. 求: (Ⅰ)工期延誤天數(shù)的均值與方差; (Ⅱ)在降水量X至少是的條件下,工期延誤不超過6天的概率. 所以的分布列為: 0 2 6 10 0.3 0.4 0.2 0.1 12．（2020年高考（大綱理））(注意:在試題卷上作答無效) 乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定:一局比賽,雙方比分在10平前,一方連續(xù)發(fā)球

15、2次后,對方再連續(xù)發(fā)球2次,依次輪換,每次發(fā)球,勝方得1分,負方得0分.設(shè)在甲、乙的比賽中,每次發(fā)球,發(fā)球方得1分的概率為,各次發(fā)球的勝負結(jié)果相互獨立,.甲、乙的一局比賽中,甲先發(fā)球. (1)求開始第4次發(fā)球時,甲、乙的比分為1比2的概率; (2)表示開始第4次發(fā)球時乙的得分,求的期望. (Ⅱ)由題意. ; 13．（2020年高考（安徽理））某單位招聘面試,每次從試題庫隨機調(diào)用一道試題,若調(diào)用的是類型試題,則使用后該試題回庫,并增補一道類試題和一道類型試題入庫,此次調(diào)題工作結(jié)束;若調(diào)用的是類型試題,則使用后該試題回庫,此次調(diào)題工作結(jié)束.試題庫中現(xiàn)共有道 試題,其中有道類型

16、試題和道類型試題,以表示兩次調(diào)題工作完成后,試題庫中類試題的數(shù)量. (Ⅰ)求的概率; (Ⅱ)設(shè),求的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望). 【方法總結(jié)】 正確求出分布列是求均值和方差的前提，有時善于使用公式，可簡化計算。 【考點剖析】 一．明確要求 1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性． 2.了解兩點分布和超幾何分布的意義，并能進行簡單的應(yīng)用. 三．規(guī)律總結(jié) 基礎(chǔ)梳理 1．頻率分布直方圖 (1)通常我們對總體作出的估計一般分成兩種：一種是用樣本的頻率分布估計總體的分布；另一種是用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征． (2)作頻率分布

17、直方圖的步驟 ①求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)． ②決定組距與組數(shù)． ③將數(shù)據(jù)分組． ④列頻率分布表． ⑤畫頻率分布直方圖． (3)在頻率分布直方圖中，縱軸表示，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示．各小長方形的面積總和等于1. 4．樣本方差與標準差 設(shè)樣本的元素為x1，x2，…，xn，樣本的平均數(shù)為， (1)樣本方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． (2)樣本標準差： s＝ . 兩個異同 (1)眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的異同 ①眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量． ②由于平均數(shù)與每一個樣本

18、數(shù)據(jù)有關(guān)，所以，任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(zhì). ③眾數(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分數(shù)據(jù)有關(guān)．當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往更能反映問題． ④某些數(shù)據(jù)的變動對中位數(shù)可能沒有影響．中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中．當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1. (教材習(xí)題改編)設(shè)隨機變量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P p 則p為 (　　)

19、 A.　　 B. C. D. 【解析】：由＋＋＋p＝1，∴p＝. 【答案】B 2．（經(jīng)典習(xí)題）拋擲2顆骰子，所得點數(shù)之和記為X，那么X＝4表示 的隨機試驗結(jié)果是 (　　) A．2顆都是4點 B．1顆是1點，另一顆是3點 C．2顆都是2點 D．1顆是1點，另1顆是3點，或者2顆都是2點 【解析】：X＝4表示的隨機試驗結(jié)果是1顆1點，另1顆3點或者兩顆都是2點． 【答案】： D 4．（經(jīng)典習(xí)題）設(shè)隨機變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝________. 【解析】：×3＝0.3，∴n＝10. 【答案】：10 6. (人

20、教A版教材習(xí)題改編)某工廠生產(chǎn)滾珠，從某批產(chǎn)品中隨機抽取8粒，量得直徑分別為(單位：mm)：14.7,14.6,15.1,15.0,14.8,15.1,15.0,14.9，則估計該廠生產(chǎn)的滾珠直徑的平均數(shù)為(　　)． A．14.8 mm B．14.9 mm C．15.0 mm D．15.1 mm 7．(人教A版教材習(xí)題改編)10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，則這一天10名工人生產(chǎn)的零件的中位數(shù)是(　　)． A．14 B．16 C．15 D．17

21、 【解析】　將這組數(shù)據(jù)從小到大排列得10,12,14,14,15,15,16,17,17,19.故中位數(shù)為＝15. 【答案】　C 8． （經(jīng)典習(xí)題）某雷達測速區(qū)規(guī)定：凡車速大于或等于70 km/h的汽車視為“超速”，并將受到處罰，如圖是某路段的一個檢測點對200輛汽車的車速進行檢測所得結(jié)果的頻率分布直方圖，則從圖中可以看出被處罰的汽車大約有(　　)． A．30輛 B．40輛 C．60輛 D．80輛 【名校模擬】 一．基礎(chǔ)扎實 1. (北京市西城區(qū)2020屆高三下學(xué)期二模試卷理)右圖是，兩組各名同學(xué)體重（單位：）數(shù)據(jù)的莖葉圖．設(shè)，

22、兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)依次為和，標準差依次為和，那么（ ） （注：標準差，其中為的平均數(shù)） （A），（B）， （C），（D）， 2. (山西省2020年高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練理)某班舉行了一次“心有靈犀”的活動。教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學(xué)，這個同學(xué)再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學(xué)。若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對成語的概率是0.4，同學(xué)乙猜對成語的概率是0.5，且規(guī)定猜對得1分，猜不對得0分，則這兩個同學(xué)各猜1次，得分之和X（單位：分）的數(shù)學(xué)期望為（ ） A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1 3. (浙江

23、省2020屆重點中學(xué)協(xié)作體高三第二學(xué)期高考仿真試題理)甲、乙、丙三人分別獨立地解一道題，甲做對的概率是，三人都做對的概率是，三人全做錯的概率是，已知乙做對這道題的概率大于丙做對這道題的概率。設(shè)三人中做對這道題的人數(shù)為，則隨機變量的數(shù)學(xué)期望 ． 【解析】由題：，所以． 的可能取值有0、1、2、3． ，，，． ． 【答案】 4. （寧波四中2020學(xué)年第一學(xué)期期末考試理）已知某隨機變量的概率分布列如右表，其中，隨機變量的方差， 5．(北京市西城區(qū)2020屆高三下學(xué)期二模試卷理)（本小題滿分13分） 甲、乙兩人參加某種選拔測試．在備選的道題中，甲答對其中每道題的概率都

24、是，乙能答對其中的道題．規(guī)定每次考試都從備選的道題中隨機抽出道題進行測試，答對一題加分，答錯一題（不答視為答錯）減分，至少得分才能入選． （Ⅰ）求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望； （Ⅱ）求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率． （Ⅱ）由已知甲、乙至少答對題才能入選，記甲入選為事件，乙入選為事件. 則 ， ． 故甲乙兩人至少有一人入選的概率． 6．(河北唐山市2020屆高三第三次模擬理)（本小題滿分12分） 金融機構(gòu)對本市內(nèi)隨機抽取的20家微小企業(yè)的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整及生產(chǎn)經(jīng)營

25、情況進行評估，根據(jù)得分將企業(yè)評定為優(yōu)秀、良好、合格、不合格四個等級，金融機構(gòu)將根據(jù)等級對企業(yè)提供相應(yīng)額度的資金支持。 （1）在答題卡上作出頻率分布直方圖，并由此估計該市微小企業(yè)所獲資金支持的均值； （2）從上述20家企業(yè)中隨機抽抽取2家，設(shè)這2家企業(yè)獲得資金支持的總額為X千萬元， 求X 的分布列和均值E（X）。 【解析】： （Ⅰ）頻率分布直方圖如下： 0.04 0.03

26、 0.02 0.01 0 50 60 70 80 90 得分 估計企業(yè)所獲資金支持的均值為 ＝0×＋1×＋3×＋6×＝2.2（千萬元）． …4分 （Ⅱ）X的可能值為0，1，2，3，4，6，7，9，12． P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝

27、4)＝＝，P(X＝6)＝＝， P(X＝7)＝＝，P(X＝9)＝＝， P(X＝12)＝＝． …8分 X的分布列為 X 0 1 2[ 3 4 6 7 9 12 P 10分 E(X)＝(0＋12)×＋(1＋6＋7)×＋2×＋(3＋9)×＋4× ＝4.4（千萬元）． 7．(2020年河南豫東、豫北十所名校階段性測試(三）理) (本小題滿分12分） 某幼兒園為訓(xùn)練孩子的數(shù)字運算能力，在一個盒子里裝有標號為1,2,3,4,5的卡片各2張，讓孩子從盒子里任取3張卡片，按卡片上最大數(shù)字的9倍計分，每張卡片被取出

28、的可能性都相等，用X表示取出的3張卡片上的最大數(shù)字. (I)求取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率； (II)求隨機變量x的分布列及數(shù)學(xué)期望； (III)若孩子取出的卡片的計分超過30分，就得到獎勵，求孩子得到獎勵的概率. ∴隨機變量的分布列為： X 2 3 4 5 P 從而.……………………………（8分） （Ⅲ）從盒子里任取3張卡片，按卡片上最大數(shù)字的9倍計分，所以要計分超過30分，隨機變量的取值應(yīng)為4或5，…………………………………（10分） 故所求概率為.……………………（12分） 8．（湖北鐘祥一中2020高三五月適應(yīng)性考試理）（本小題滿分

29、12分） 盒內(nèi)有大小相同的9個球，其中2個紅色球，3個白色球，4個黑色球. 規(guī)定取出1個紅色球得1分，取出1個白色球得0分，取出1個黑色球得－1分 . 現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個球 （Ⅰ）求取出的3個球中至少有一個紅球的概率； （Ⅱ）求取出的3個球得分之和恰為1分的概率； （Ⅲ）設(shè)為取出的3個球中白色球的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 9． (襄陽五中高三年級第一次適應(yīng)性考試理)（本題滿分12分) 某科技公司遇到一個技術(shù)難題，成立甲、乙兩個攻關(guān)小組，按要求各自單獨進行為期一個月的技術(shù)攻關(guān)，同時決定對攻關(guān)期滿就攻克技術(shù)難題的小組給予獎勵，已知此技術(shù)難題在攻關(guān)期滿時被甲小組攻克的概率為，被乙小組攻

30、克的概率為， （Ⅰ）設(shè)ξ為“攻關(guān)期滿時獲獎的攻關(guān)小組數(shù)”，求ξ的分布列及Eξ； （Ⅱ）設(shè)η為“攻關(guān)期滿時的獲獎小組數(shù)與沒有獲獎的攻關(guān)小組數(shù)差的平方”，記“函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減”為事件C，求事件C的概率。 10．(湖北省武漢市2020屆高中畢業(yè)生五月供題訓(xùn)練（二）理)（本小題滿分12分） 甲，乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得O分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為p（p>），且各局勝負相互獨立，已知第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為 （I） 求p的值. （Ⅱ）設(shè)表示比賽停止時比賽的局數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望E.

31、二．能力拔高 1. 【2020學(xué)年浙江省第二次五校聯(lián)考理】甲、乙兩個籃球隊進行比賽，比賽采用5局3勝制（即先勝3局者獲勝）．若甲、乙兩隊在每場比賽中獲勝的概率分別為和，記需要比賽的場次為，則＝ ． 【解析】可以取的值有3、4、5． ； ； ． ． 【答案】 2. （2020理科數(shù)學(xué)試卷） 盒中裝有個零件，其中個是使用過的，另外個未經(jīng)使用. 從盒中隨機抽取個零件，使用后放回盒中，記此時盒中使用過的零件個數(shù)為X，則X的數(shù)學(xué)期望 E(X)= ________． 3. (北京市朝陽區(qū)2020屆高三年級第二次綜合練習(xí)理)（本小題滿分13分） 一個袋子中裝有大小

32、形狀完全相同的編號分別為1,2,3,4,5的5個紅球與編號為1,2,3,4的4個白球，從中任意取出3個球． （Ⅰ）求取出的3個球顏色相同且編號是三個連續(xù)整數(shù)的概率； （Ⅱ）求取出的3個球中恰有2個球編號相同的概率； （Ⅲ）記X為取出的3個球中編號的最大值，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望． （Ⅲ）X的取值為2,3,4,5. ， ， ， . ……11分 所以X的分布列為 X 2 3 4 5 P X的數(shù)學(xué)期望. ……13分. 4. (2020東城區(qū)普通高中示范校高三綜合練習(xí)（二）理) （本小題滿分13分）

33、 某中學(xué)選派40名同學(xué)參加北京市高中生技術(shù)設(shè)計創(chuàng)意大賽的培訓(xùn)，他們參加培訓(xùn)的次數(shù)統(tǒng)計如表所示： 培訓(xùn)次數(shù) 1 2 3 參加人數(shù) 5 15 20 （1）從這40人中任意選3名學(xué)生，求這3名同學(xué)中至少有2名同學(xué)參加培訓(xùn)次數(shù)恰好相等的概率； （2）從40人中任選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加培訓(xùn)次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望. 5．(2020年石家莊市高中畢業(yè)班第二次模擬考試理) (本小題滿分12分） 我國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出.某市為了節(jié)約生活用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理（即確定一個居民月均用水量標準?用水量不超過a的部分按

34、照平價收費，超過a的部分按照議價收費）.為了較為合理地確定出這個標準，通過抽樣獲得了 100位居民某年的月均用水量(單位:t)，制作了頻率分布直方圖 (I)由于某種原因頻率分布直方圖部分數(shù)據(jù)丟失，請在圖中將其補充完整； (II)用樣本估計總體，如果希望80%的居民每月的用水量不超出標準&則月均用水量的最低標準定為多少噸，并說明理由； (III)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市某大型生活社區(qū)隨機調(diào)查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽樣），其中月均用水量不超過（II)中最低標準的人數(shù)為x，求x的分布列和均值. 分布列為 0 1 2 3 …………

35、………………………………………………………………………………10分 ………………………………………………………………12分 6．(河北省唐山市2020學(xué)年度高三年級第二次模擬考試理)（本小題滿分12分） 某籃球隊甲、乙兩名隊員在本賽零已結(jié)束的8場比賽中得分統(tǒng)計的莖葉圖如下： （I）比較這兩名隊員在比賽中得分的均值和方差的大?。? （II）以上述數(shù)據(jù)統(tǒng)計甲、乙兩名隊員得分超過15分的頻率作為概率，假設(shè)甲、乙兩名隊員在同一場比賽中得分多少互不影響，預(yù)測在本賽季剩余的2場比賽中甲、乙兩名隊員得分均超過15分次數(shù)X的分布列和均值． 7．(中原六校聯(lián)誼2020

36、年高三第一次聯(lián)考理)（本小題滿分12分） 某高校在2020年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績共分五組，得到頻率分布表如下表所示。 （1）請求出①②位置相應(yīng)的數(shù)字，填在答題卡相應(yīng)位置上，并補全頻率分布直方圖； （2）為了能選出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取12人進入第二輪面試，求第3、4、5組中每組各抽取多少人進入第二輪的面試；假定考生“XXX”筆試成績?yōu)?78分，但不幸沒入選這100人中，那這樣的篩選方法對該生而言公平嗎？為什么？ （3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在12人中隨機抽取3人接受“王教授”的面試，設(shè)

37、第4組中被抽取參加“王教授”面試的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望 【解析】 （2）第組共名學(xué)生，現(xiàn)抽取人，因此第組抽取的人數(shù)為：人，第組抽取的人數(shù)為：人，第組抽取的人數(shù)為：人. ……7分 公平：因為從所有的參加自主考試的考生中隨機抽取人，每個人被抽到的概率是相同的. ………………8分（只寫“公平”二字，不寫理由，不給分） （3）的可能取值為 的分布列為： ……11分 ……12分 8．(湖北省武漢市2020屆高三下學(xué)期4月調(diào)研測試理)

38、（本小題滿分12分） 為增強市民節(jié)能環(huán)保意識，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者．現(xiàn)從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者，他們的年齡情況如下表所示． （Ⅰ）頻率分布表中的①、②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)？并在答題卡中補全頻率分布直方圖（如圖），再根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在[30，35)歲的人數(shù)； （Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加中心廣場的宣傳活動，從這20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負責(zé)人，記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望 三．提升自我 1. （2020年高三教學(xué)測試（二）理)甲、乙兩人進行“石頭

39、、剪子、布”游戲．開始時每人擁有3張卡片，每一次“出手”（雙方同時）：若分出勝負，則負者給對方一張卡片；若不分勝負，則不動卡片．規(guī)定：當(dāng)一人擁有6張卡片或“出手”次數(shù)達到6次時游戲結(jié)束．設(shè)游戲結(jié)束時“出手”次數(shù)為，則 ▲ ． 2. （臺州2020高三調(diào)研試卷理） 【解析】設(shè)2對孿生兄弟分別為A1、A2、B1、B2， 的可能取值有0，1，2． ，， ， 【答案】 3. (北京市東城區(qū)2020學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（二）理)（本小題共13分） 某公園設(shè)有自行車租車點， 租車的收費標準是每小時2元（不足1小時的部分按1小時計算）.甲、乙兩人各租一輛自行車，

40、若甲、乙不超過一小時還車的概率分別為；一小時以上且不超過兩小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過三小時. （Ⅰ）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率； （Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望. 4．(2020年長春市高中畢業(yè)班第二次調(diào)研測試理)（本小題滿分12分） 對某校高一年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取名學(xué)生作為樣本，得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下： 分組 頻數(shù) 頻率 5 0.25 12 1

41、0.05 合計 M 1 ⑴求出表中、及圖中的值； ⑵若該校高一學(xué)生有360人，試估計他們參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)； ⑶學(xué)校決定對參加社區(qū)服務(wù)的學(xué)生進行表彰，對參加活動次數(shù)在區(qū)間的學(xué)生發(fā)放價值80元的學(xué)習(xí)用品，對參加活動次數(shù)在區(qū)間的學(xué)生發(fā)放價值60元的學(xué)習(xí)用品，對參加活動次數(shù)在區(qū)間的學(xué)生發(fā)放價值40元的學(xué)習(xí)用品，對參加活動次數(shù)在區(qū)間的學(xué)生發(fā)放價值20元的學(xué)習(xí)用品，在所取樣本中，任意取出2人，并設(shè)為此二人所獲得用品價值之差的絕對值，求的分布列與數(shù)學(xué)期望. 所以的分布列為： 0 20 40 60

42、 (10分) (12分) 5．(2020洛陽示范高中聯(lián)考高三理)（本小題滿分12分） 某高中為了推進新課程改革，滿足不同層次學(xué)生的需求，決定從高一年級開始，在每周的周一、周三、周五的課外活動期間同時開設(shè)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物和信息技術(shù)輔導(dǎo)講座，每位有興趣的同學(xué)可以在期間的任何一天參加任何一門科目的輔導(dǎo)講座，也可以放棄任何一門科目的輔導(dǎo)講座。（規(guī)定：各科達到預(yù)先設(shè)定的人數(shù)時稱為滿座，否則稱為不滿座）統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，各學(xué)科講座各天的滿座的概率如下表： 根據(jù)上表： （1）求數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座的概率； （2）設(shè)周三各輔導(dǎo)講

43、座滿座的科目數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望。 所以隨機變量的分布列如下： 0 1 2 3 4 5 ………………………10分 故………………………12分. 6．（山東省濟南市2020屆高三3月（二模）月考理）（本小題滿分12分） 一次考試共有12道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且只有一個是正確的.評分標準規(guī)定：“每題只選一個選項，答對得5分，不答或答錯得零分”.某考生已確定有8道題的答案是正確的，其余題中：有兩道題都可判斷兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只好亂猜.請求出該考生： （1

44、） 得60分的概率； （2） 所得分數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望. 7．（長安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學(xué)2020屆第三次模擬理）(本小題12分) “剪刀、石頭、布”游戲的規(guī)則是：出拳之前雙方齊喊口令，然后在話音剛落時同時出拳，握緊的拳頭代表“石頭”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸開代表“布”．“石頭”勝“剪刀”， “剪刀”勝“布”，而“布”又勝“石頭”，如果所出的拳相同，則為和局．現(xiàn)甲乙二人通過“剪刀、石頭、布”游戲進行比賽． (Ⅰ) 設(shè)甲乙二人每局都隨機出“剪刀”、“石頭”、“布”中的某一個，求甲勝乙的概率； （Ⅱ）據(jù)專家分析，乙有以下的出拳習(xí)慣：① 第一局不出

45、“剪刀”；② 連續(xù)兩局的出拳方法一定不一樣，即如果本局出“剪刀”，則下局將不再出“剪刀”，而是選“石頭”、“布”中的某一個．假設(shè)專家的分析是正確的，甲根據(jù)專家的分析出拳，保證每一局都不輸給乙．在最多５局的比賽中，誰勝的局數(shù)多，誰獲勝．游戲結(jié)束的條件是：一方勝３局或賽滿５局，用Ｘ表示游戲結(jié)束時的游戲局數(shù)，求Ｘ的分布列和期望． 8．（成都市2020屆高中畢業(yè)班第二次診斷性檢測理）(本小題滿分12分） “天宮一號”的順利升空標志著我國火箭運載的技術(shù)日趨完善.據(jù)悉，擔(dān)任“天宮一號”發(fā)射任務(wù)的是長征二號FT1火箭.為了確保發(fā)射萬無一失,科學(xué)家對長征二號FT1運載火箭進行了170余項技術(shù)狀態(tài)更改，增加

46、了某項新技術(shù).該項新技術(shù)要進入試用階段前必須對其中三項不同指標甲、乙、丙進行通過量化檢測.假設(shè)該項新技術(shù)的指標甲、乙、丙獨立通過檢測合格的概率分別為，指標甲、乙、丙檢測合格分別記4分、2分、4分,若某項指標不合格,則該項指標記0分，各項指標檢測結(jié)果互不影響. (I)求該項技術(shù)量化得分不低于8分的概率； (II )記該項技術(shù)的三個指標中被檢測合格的指標個數(shù)為隨機變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望. 【原創(chuàng)預(yù)測】 1.如圖是湖北省教育廳實施“課內(nèi)比教學(xué)，課外訪萬家”活動中，七位評委為某位參加教學(xué)比武的數(shù)學(xué)教師打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為__________;方差為__________ 2.盒子內(nèi)裝有張卡片，上面分別寫著數(shù)字，，，，，每張卡片被取到的概率相等. 先從盒子中任取張卡片，記下它上面的數(shù)字，然后放回盒子內(nèi)攪勻，再從盒子中任取張卡片，記下它上面的數(shù)字. 設(shè)，. （I）求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望； （II）設(shè)“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點”為事件，求的概率.