2020年高考數(shù)學40個考點總動員 考點34 離散型隨機變量的均值與方差（理）（學生版） 新課標

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1、2020年新課標數(shù)學40個考點總動員 考點34 離散型隨機變量的均值與方差（理）（學生版） 【高考再現(xiàn)】 熱點一、頻率分布直方圖的繪制與應用 1．（2020年高考（遼寧理））電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖; 將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”. (Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別 有關? (Ⅱ)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機抽 樣方法每次抽取

2、1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結果是相互獨立的,求X的分布列,期望和方差. 附: 【解析】 (I)由頻率頒布直方圖可知,在抽取的100人中,“體育迷”有25人,從而2×2列聯(lián)表如下: 由2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計算,得: 因為3.030<3.841,所以,沒有理由認為“體育迷”與性別有關. (II)由頻率頒布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25,將頻率視為概率,即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為,由題意, ,從而X的分布列為: 2．（2020年高考（廣東理））(概率

3、統(tǒng)計)某班50位學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖4所示,其中成績分組區(qū)間是:、、、、、. (Ⅰ)求圖中的值; (Ⅱ)從成績不低于80分的學生中隨機選取2人,該2人中成績在90分以上(含90分)的人數(shù)記為,求的數(shù)學期望. 3．（2020年高考（安徽理））甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示,則 （　?。? A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù) B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù) C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差 D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差 【解析】選 甲的成績的方差為,乙的成績的方差為

4、 【方法總結】 頻率分布直方圖直觀形象地表示了樣本的頻率分布，從這個直方圖上可以求出樣本數(shù)據(jù)在各個組的頻率分布．根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本(或者總體)的平均值時，一般是采取組中值乘以各組的頻率的方法． 熱點二、莖葉圖的應用 1．（2020年高考（陜西理））從甲乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機,對其銷售額進行統(tǒng)計,統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示),設甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為,,中位數(shù)分別為,,則 熱點三、離散型隨機變量的均值與方差 1．（2020年高考（上海理））設,. 隨機變量取值、、、、的概率均為0.2,隨機變量取值、、、、的概率也為0.2. 若記、分別為、的方差,則

5、（　?。? A．>. B．=. C．<. D．與的大小關系與、、、的取值有關. [解析] =t,++++)=t, 2．（2012年高考（天津理））現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動,該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性,約定:每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加個游戲,擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲,擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲. (Ⅰ)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率: (Ⅱ)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率: (Ⅲ)用分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù),記,求隨機變量的分布列與數(shù)學期望. (3)的所有可能的

6、取值為,由于與互斥,與互斥,故 所以的分布列為 0 2 4 隨機變量的數(shù)學期望. 3．（2020年高考（浙江理））已知箱中裝有4個白球和5個黑球,且規(guī)定:取出一個白球的2分,取出一個黑球的1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回,且每球取到的機會均等)3個球,記隨機變量X為取出3球所得分數(shù)之和. (Ⅰ)求X的分布列; (Ⅱ)求X的數(shù)學期望E(X). 4．（2020年高考（重慶理））(本小題滿分13分,(Ⅰ)小問5分,(Ⅱ)小問8分.) 甲、乙兩人輪流投籃,每人每次投一球,.約定甲先投且先投中者獲勝,一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束.設甲每次投籃投中

7、的概率為,乙每次投籃投中的概率為,且各次投籃互不影響. (Ⅰ) 求甲獲勝的概率; (Ⅱ) 求投籃結束時甲的投籃次數(shù)的分布列與期望 綜上知,有分布列 1 2 3 從而,(次) 5．（2020年高考（四川理））某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))和,系統(tǒng)和在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和. (Ⅰ)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為,求的值; (Ⅱ)設系統(tǒng)在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量,求的概率分布列及數(shù)學期望. [解析](1)設:“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C,那么 1-P(C)=1-P= ,解得

8、P=4 分 所以,隨機變量的概率分布列為: 0 1 2 3 P 故隨機變量X的數(shù)學期望為: E=0 . 6．（2020年高考（陜西理））某銀行柜臺設有一個服務窗口,假設顧客辦理業(yè)務所需的時間互相獨立,且都是整數(shù)分鐘,對以往顧客辦理業(yè)務所需的時間統(tǒng)計結果如下: 從第一個顧客開始辦理業(yè)務時計時. (1)估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務的概率; (2)表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務的顧客人數(shù),求的分布列及數(shù)學期望. 7．（2020年高考（山東理））先在甲、乙兩個靶.某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為,命中得

9、1分,沒有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為,每命中一次得2分,沒有命中得0分.該射手每次射擊的結果相互獨立.假設該射手完成以上三次射擊. (Ⅰ)求該射手恰好命中一次得的概率; (Ⅱ)求該射手的總得分的分布列及數(shù)學期望. 【解析】:(Ⅰ); (Ⅱ) , X 0 1 2 3 4 5 P EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=. 8．（2020年高考（江西理））如圖,從A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,2,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1), C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點,將

10、這3個點及原點O兩兩相連構成一個“立體”,記該“立體”的體積為隨機變量V(如果選取的3個點與原點在同一個平面內(nèi),此時“立體”的體積V=0). (1)求V=0的概率; (2)求V的分布列及數(shù)學期望. 【解析】 9．（2020年高考（江蘇））設為隨機變量,從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條,當兩條棱相交時,;當兩條棱平行時,的值為兩條棱之間的距離;當兩條棱異面時,. (1)求概率; (2)求的分布列,并求其數(shù)學期望. (2)若兩條棱平行,則它們的距離為1或,其中距離為的共有6對, ∴ ,. ∴隨機變量的分布列是: 0 1

11、 ∴其數(shù)學期望. 10．（2020年高考（湖南理））某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數(shù)據(jù),如下表所示. 一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客數(shù)(人) 30 25 10 結算時間(分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%. (Ⅰ)確定x,y的值,并求顧客一次購物的結算時間X的分布列與數(shù)學期望; (Ⅱ)若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結算,且各顧客的結算相

12、互獨立,求該顧客結算前的等候時間不超過2 鐘的概率. (注:將頻率視為概率) 【解析】(1)由已知,得所以 該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體,所以收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量隨機樣本,將頻率視為概率得 的分布為 X 1 1.5 2 2.5 3 P X的數(shù)學期望為 . 11．（2020年高考（湖北理））根據(jù)以往的經(jīng)驗,某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對工期的影響如下表: 降水量X 工期延誤天數(shù) 0 2 6 10 歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量

13、X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9. 求: (Ⅰ)工期延誤天數(shù)的均值與方差; (Ⅱ)在降水量X至少是的條件下,工期延誤不超過6天的概率. 所以的分布列為: 0 2 6 10 0.3 0.4 0.2 0.1 12．（2020年高考（大綱理））(注意:在試題卷上作答無效) 乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定:一局比賽,雙方比分在10平前,一方連續(xù)發(fā)球2次后,對方再連續(xù)發(fā)球2次,依次輪換,

14、每次發(fā)球,勝方得1分,負方得0分.設在甲、乙的比賽中,每次發(fā)球,發(fā)球方得1分的概率為,各次發(fā)球的勝負結果相互獨立,.甲、乙的一局比賽中,甲先發(fā)球. (1)求開始第4次發(fā)球時,甲、乙的比分為1比2的概率; (2)表示開始第4次發(fā)球時乙的得分,求的期望. (Ⅱ)由題意. ; =0.408; ; 所以 13．（2020年高考（安徽理））某單位招聘面試,每次從試題庫隨機調(diào)用一道試題,若調(diào)用的是類型試題,則使用后該試題回庫,并增補一道類試題和一道類型試題入庫,此次調(diào)題工作結束;若調(diào)用的是類型試題,則使用后該試題回庫,此次調(diào)題工作結束.試題庫中現(xiàn)共有道 試題,其中有道類型

15、試題和道類型試題,以表示兩次調(diào)題工作完成后,試題庫中類試題的數(shù)量. (Ⅰ)求的概率; (Ⅱ)設,求的分布列和均值(數(shù)學期望). 【方法總結】 正確求出分布列是求均值和方差的前提，有時善于使用公式，可簡化計算。 【考點剖析】 一．明確要求 1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性． 2.了解兩點分布和超幾何分布的意義，并能進行簡單的應用. 三．規(guī)律總結 基礎梳理 1．頻率分布直方圖 (1)通常我們對總體作出的估計一般分成兩種：一種是用樣本的頻率分布估計總體的分布；另一種是用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征． (2)作頻率分布

16、直方圖的步驟 ①求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)． ②決定組距與組數(shù)． ③將數(shù)據(jù)分組． ④列頻率分布表． ⑤畫頻率分布直方圖． (3)在頻率分布直方圖中，縱軸表示，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示．各小長方形的面積總和等于1. 4．樣本方差與標準差 設樣本的元素為x1，x2，…，xn，樣本的平均數(shù)為， (1)樣本方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． (2)樣本標準差： s＝ . 兩個異同 (1)眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的異同 ①眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量． ②由于平均數(shù)與每一個樣本

17、數(shù)據(jù)有關，所以，任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(zhì). ③眾數(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分數(shù)據(jù)有關．當一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往更能反映問題． ④某些數(shù)據(jù)的變動對中位數(shù)可能沒有影響．中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中．當一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢． 【基礎練習】 1. (教材習題改編)設隨機變量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P p 則p為 (　　)

18、 A.　　 B. C. D. 2．（經(jīng)典習題）拋擲2顆骰子，所得點數(shù)之和記為X，那么X＝4表示 的隨機試驗結果是 (　　) A．2顆都是4點 B．1顆是1點，另一顆是3點 C．2顆都是2點 D．1顆是1點，另1顆是3點，或者2顆都是2點 3．（經(jīng)典習題）若隨機變量X的分布列P(x＝i)＝(i＝1、2、3)，則P(x＝2)＝(　　) A. B. C. D. 4．（經(jīng)典習題）設隨機變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝________. 5．（經(jīng)典習題）從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有

19、X個紅球，則隨機變量X的概率分布為 X 0 1 2 6. (人教A版教材習題改編)某工廠生產(chǎn)滾珠，從某批產(chǎn)品中隨機抽取8粒，量得直徑分別為(單位：mm)：14.7,14.6,15.1,15.0,14.8,15.1,15.0,14.9，則估計該廠生產(chǎn)的滾珠直徑的平均數(shù)為(　　)． A．14.8 mm B．14.9 mm C．15.0 mm D．15.1 mm （經(jīng)典習題）某雷達測速區(qū)規(guī)定：凡車速大于或等于70 km/h的汽車視為“超速”，并將受到處罰，如圖是某路段的一個檢測點對200輛汽車的車速進行檢測所得結果的頻率分布直方圖，則從圖中可以看出被處罰的汽車大約有(　　)．

20、 A．30輛 B．40輛 C．60輛 D．80輛 依次為和，那么（ ） （注：標準差，其中為的平均數(shù)） （A），（B）， （C），（D）， 3. (浙江省2020屆重點中學協(xié)作體高三第二學期高考仿真試題理)甲、乙、丙三人分別獨立地解一道題，甲做對的概率是，三人都做對的概率是，三人全做錯的概率是，已知乙做對這道題的概率大于丙做對這道題的概率。設三人中做對這道題的人數(shù)為，則隨機變量的數(shù)學期望 ． 4. （寧波四中2020學年第一學期期末考試理）已知某隨機變量的概率分布列如右表，其中，隨機變量的方差， 5．(北京市西

21、城區(qū)2020屆高三下學期二模試卷理)（本小題滿分13分） 甲、乙兩人參加某種選拔測試．在備選的道題中，甲答對其中每道題的概率都是，乙能答對其中的道題．規(guī)定每次考試都從備選的道題中隨機抽出道題進行測試，答對一題加分，答錯一題（不答視為答錯）減分，至少得分才能入選． （Ⅰ）求乙得分的分布列和數(shù)學期望； （Ⅱ）求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率． 6．(河北唐山市2020屆高三第三次模擬理)（本小題滿分12分） 金融機構對本市內(nèi)隨機抽取的20家微小企業(yè)的產(chǎn)業(yè)結構調(diào)整及生產(chǎn)經(jīng)營情況進行評估，根據(jù)得分將企業(yè)評定為優(yōu)秀、良好、合格、不合格四個等級，金融機構將根據(jù)等級對企業(yè)提供相應額度的資金支持

22、。 （1）在答題卡上作出頻率分布直方圖，并由此估計該市微小企業(yè)所獲資金支持的均值； （2）從上述20家企業(yè)中隨機抽抽取2家，設這2家企業(yè)獲得資金支持的總額為X千萬元， 求X 的分布列和均值E（X）。 9． (襄陽五中高三年級第一次適應性考試理)（本題滿分12分) 某科技公司遇到一個技術難題，成立甲、乙兩個攻關小組，按要求各自單獨進行為期一個月的技術攻關，同時決定對攻關期滿就攻克技術難題的小組給予獎勵，已知此技術難題在攻關期滿時被甲小組攻克的概率為，被乙小組攻克的概率為， （Ⅰ）設ξ為“攻關期滿時獲獎的攻關小組數(shù)”，求ξ的分布列及Eξ； （Ⅱ）設η

23、為“攻關期滿時的獲獎小組數(shù)與沒有獲獎的攻關小組數(shù)差的平方”，記“函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減”為事件C，求事件C的概率。 二．能力拔高 1. 【2020學年浙江省第二次五校聯(lián)考理】甲、乙兩個籃球隊進行比賽，比賽采用5局3勝制（即先勝3局者獲勝）．若甲、乙兩隊在每場比賽中獲勝的概率分別為和，記需要比賽的場次為，則＝ ． 4. (2020東城區(qū)普通高中示范校高三綜合練習（二）理) （本小題滿分13分） 某中學選派40名同學參加北京市高中生技術設計創(chuàng)意大賽的培訓，他們參加培訓的次數(shù)統(tǒng)計如表所示： 培訓次數(shù) 1 2 3 參加人數(shù) 5 15 20 （1）從

24、這40人中任意選3名學生，求這3名同學中至少有2名同學參加培訓次數(shù)恰好相等的概率； （2）從40人中任選兩名學生，用表示這兩人參加培訓次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望. 6．(河北省唐山市2020學年度高三年級第二次模擬考試理)（本小題滿分12分） 某籃球隊甲、乙兩名隊員在本賽零已結束的8場比賽中得分統(tǒng)計的莖葉圖如下： （I）比較這兩名隊員在比賽中得分的均值和方差的大小； （II）以上述數(shù)據(jù)統(tǒng)計甲、乙兩名隊員得分超過15分的頻率作為概率，假設甲、乙兩名隊員在同一場比賽中得分多少互不影響，預測在本賽季剩余的2場比賽中甲、乙兩名隊

25、員得分均超過15分次數(shù)X的分布列和均值． 7．(中原六校聯(lián)誼2020年高三第一次聯(lián)考理)（本小題滿分12分） 某高校在2020年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績共分五組，得到頻率分布表如下表所示。 8．(湖北省武漢市2020屆高三下學期4月調(diào)研測試理)（本小題滿分12分） 為增強市民節(jié)能環(huán)保意識，某市面向全市征召義務宣傳志愿者．現(xiàn)從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者，他們的年齡情況如下表所示． （Ⅰ）頻率分布表中的①、②位置應填什么數(shù)據(jù)？并在答題卡中補全頻率分布直方圖（如圖），再根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在[30，3

26、5)歲的人數(shù)； （Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加中心廣場的宣傳活動，從這20人中選取2名志愿者擔任主要負責人，記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望． 三．提升自我 1. （2020年高三教學測試（二）理)甲、乙兩人進行“石頭、剪子、布”游戲．開始時每人擁有3張卡片，每一次“出手”（雙方同時）：若分出勝負，則負者給對方一張卡片；若不分勝負，則不動卡片．規(guī)定：當一人擁有6張卡片或“出手”次數(shù)達到6次時游戲結束．設游戲結束時“出手”次數(shù)為，則 ▲ ． 2. （臺州2020高三調(diào)研試卷理） 3. (

27、北京市東城區(qū)2020學年度第二學期高三綜合練習（二）理)（本小題共13分） 某公園設有自行車租車點， 租車的收費標準是每小時2元（不足1小時的部分按1小時計算）.甲、乙兩人各租一輛自行車，若甲、乙不超過一小時還車的概率分別為；一小時以上且不超過兩小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過三小時. （Ⅰ）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率； （Ⅱ）設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數(shù)學期望. 5．(2012洛陽示范高中聯(lián)考高三理)（本小題滿分12分） 某高中為了推進新課程改革，滿足不同層次學生的需求，決定從高一年級開始，在每周的周一、周三、周五的課外活動期間同時開

28、設數(shù)學、物理、化學、生物和信息技術輔導講座，每位有興趣的同學可以在期間的任何一天參加任何一門科目的輔導講座，也可以放棄任何一門科目的輔導講座。（規(guī)定：各科達到預先設定的人數(shù)時稱為滿座，否則稱為不滿座）統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，各學科講座各天的滿座的概率如下表： 根據(jù)上表： （1）求數(shù)學輔導講座在周一、周三、周五都不滿座的概率； （2）設周三各輔導講座滿座的科目數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望。 7．（長安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學2020屆第三次模擬理）(本小題12分) “剪刀、石頭、布”游戲的規(guī)則是：出拳之前雙方齊喊口令，然后在話音剛落時同時出拳，握緊的拳頭代表“石

29、頭”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸開代表“布”．“石頭”勝“剪刀”， “剪刀”勝“布”，而“布”又勝“石頭”，如果所出的拳相同，則為和局．現(xiàn)甲乙二人通過“剪刀、石頭、布”游戲進行比賽． (Ⅰ) 設甲乙二人每局都隨機出“剪刀”、“石頭”、“布”中的某一個，求甲勝乙的概率； （Ⅱ）據(jù)專家分析，乙有以下的出拳習慣：① 第一局不出“剪刀”；② 連續(xù)兩局的出拳方法一定不一樣，即如果本局出“剪刀”，則下局將不再出“剪刀”，而是選“石頭”、“布”中的某一個．假設專家的分析是正確的，甲根據(jù)專家的分析出拳，保證每一局都不輸給乙．在最多５局的比賽中，誰勝的局數(shù)多，誰獲勝．游戲結束的條件是：一方勝３局或賽滿５局，用Ｘ表示游戲結束時的游戲局數(shù)，求Ｘ的分布列和期望． 【原創(chuàng)預測】 1.如圖是湖北省教育廳實施“課內(nèi)比教學，課外訪萬家”活動中，七位評委為某位參加教學比武的數(shù)學教師打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為__________;方差為__________