2020年高考數(shù)學(xué)40個考點總動員 考點30 圓錐曲線的綜合應(yīng)用（學(xué)生版） 新課標(biāo)

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1、2020年新課標(biāo)數(shù)學(xué)40個考點總動員 考點30 圓錐曲線的綜合應(yīng)用（學(xué)生版） 【高考再現(xiàn)】 熱點一 軌跡問題 1. (2020年高考江西卷理科20) （本題滿分13分） 已知三點O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲線C上任意一點M（x，y）滿足. （1） 求曲線C的方程； （2）動點Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲線C上，曲線C在點Q處的切線為l向：是否存在定點P（0，t）（t＜0），使得l與PA，PB都不相交，交點分別為D,E，且△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值。若不存在，說明理由。 2.(2020年高考四川卷理科21) (本小題滿分12

2、分) 如圖，動點到兩定點、構(gòu)成，且，設(shè)動點的軌跡為。 （Ⅰ）求軌跡的方程； （Ⅱ）設(shè)直線與軸交于點，與軌跡相交于點，且，求的取值范圍. 【方法總結(jié)】求軌跡方程的常用方法 (1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)＝0； (2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程——先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)； (3)定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程； (4)代入轉(zhuǎn)移法：動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表

3、示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程； 熱點二 范圍問題 3．(2020年高考天津卷理科19)（本小題滿分14分）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為，點P在橢圓上且異于 兩點，為坐標(biāo)原點. （Ⅰ）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率； （Ⅱ）若，證明：直線的斜率滿足. 4.(2020年高考山東卷理科21)（本小題滿分13分） 在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點，是拋物線上 位于第一象限內(nèi)的任意一點，過三點的圓的圓心為，點到拋物線的準(zhǔn)線 的距離為． （Ⅰ）求拋物線的方程； （Ⅱ）是否存在點，使得直線與拋物線相切于點若存在，求出點的坐標(biāo)； 若不存在，說明理由；

4、（Ⅲ）若點的橫坐標(biāo)為，直線與拋物線有兩個不同的交點，與 圓有兩個不同的交點，求當(dāng)時，的最小值． 5.(2020年高考浙江卷理科21) (本小題滿分15分)如圖，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分． (Ⅰ)求橢圓C的方程； (Ⅱ) 求ABP的面積取最大時直線l的方程． 6.(2020年高考北京卷理科19)（本小題共14分） 已知曲線. （1）若曲線是焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍； （2）設(shè)，曲線與軸的交點為，（點位于點的上方），直線與 曲線交于不同的兩點，，直線與直線交于點，

5、求證：，， 三點共線. 【方法總結(jié)】解決圓錐曲線的最值與范圍問題常見的解法有兩種：幾何法和代數(shù)法．若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法．若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，這就是代數(shù)法． 熱點三 定值問題 7.(2020年高考湖南卷理科21)（本小題滿分13分）[www.z%zstep.co*~&m^] 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的點均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且對C1上任意一點M，M到直線x=﹣2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值. （Ⅰ）求曲線C1的方程；

6、（Ⅱ）設(shè)P(x0,y0)（y0≠±3）為圓C2外一點，過P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點A，B和C，D.證明：當(dāng)P在直線x=﹣4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值. 8.(2020年高考遼寧卷理科20) (本小題滿分12分) 如圖，橢圓，動圓.點分別為的左、右頂點，與相交于四點 （1）求直線與直線交點的軌跡方程； （2）設(shè)動圓與相交于四點，其中，.若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值 9.(2020年高考福建卷理科19)（本小題滿分13分） 如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率。過的直線交橢圓于兩點，且的周長為8。 （Ⅰ）求橢圓的方程。 （

7、Ⅱ）設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點。試探究： 在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。 10.（2020年高考江蘇卷19） （本小題滿分16分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為，．已知和都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率． （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線 與直線平行，與交于點P． （i）若，求直線的斜率； （ii）求證：是定值． 【方法總結(jié)】1．求定值問題常見的方法有兩種 (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．

8、 (2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值． 2．定點的探索與證明問題 (1)探索直線過定點時，可設(shè)出直線方程為y＝kx＋b，然后利用條件建立b、k等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的思想找出定點． (2)從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關(guān)． 熱點四 存在性問題 11.(2020年高考湖北卷理科21)（本小題滿分13分） 設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，i是過點A與x軸垂直的直線，D是直線i與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）。當(dāng)點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C。 （I）求曲線C的方程，判斷曲線C

9、為何種圓錐曲線，并求焦點坐標(biāo)； （Ⅱ）過原點且斜率為k的直線交曲線C于P、Q兩點，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H，是否存在m，使得對任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由。 12. (2020年高考廣東卷理科20)（本小題滿分14分） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：的離心率e=，且橢圓C上的點到Q（0，2）的距離的最大值為3. （1）求橢圓C的方程； （2）在橢圓C上，是否存在點M（m,n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交

10、于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標(biāo)及相對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由。 【考點剖析】 一．明確要求 能解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系等問題. 二．命題方向 1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、弦長問題、中點弦、最值范圍、定點定值的探索與證明是命題的熱點． 2.題型以解答題為主，注重數(shù)學(xué)思想與方法的考查．難度較大. 三．規(guī)律總結(jié) 一種方法 點差法：在求解圓錐曲線并且題目中交代直線與圓錐曲線相交和被截的線段的中點坐標(biāo)時，設(shè)出直線和圓錐曲線的兩個交點坐標(biāo)，代入圓錐曲線的方程并作差，從而求出直線的斜率，然后利用中點求出直線方程．“點差法”的常見

11、題型有：求中點弦方程、求(過定點、平行弦)弦中點軌跡、垂直平分線問題．必須提醒的是“點差法”具有不等價性，即要考慮判別式Δ是否為正數(shù)． 一條規(guī)律 “聯(lián)立方程求交點，根與系數(shù)的關(guān)系求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 2．已知以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為(　　)． A．3 B．2 C．2 D．4 4．(2020·泉州模擬)y＝kx＋2與y2＝8x有且僅有一個公共點，則k的取值為________． 【名校模擬】 一．基礎(chǔ)扎實 1.(2020年大連沈陽聯(lián)

12、合考試第二次模擬試題理)已知、分別為橢圓：的左、右焦點，點為橢圓上的動點，則 的重心的軌跡方程為( ) A． B． C． D． 二．能力拔高 3.(浙江省2020屆重點中學(xué)協(xié)作體高三第二學(xué)期高考仿真試題理)已知點，，，動圓與直線切于點，過、與圓相切的兩直線相交于點，則點的軌跡方程為 A． B． C． D． 5.(北京市朝陽區(qū)2020屆高三年級第二次綜合練習(xí)理)（本小題滿分13分） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，為動點，且直線與直線的斜率之積為． （Ⅰ）求動點的軌跡的方程； （Ⅱ）設(shè)過點的直線

13、與曲線相交于不同的兩點，．若點在軸上，且<滿足，求點的縱坐標(biāo)的取值范圍． 7. (2020北京海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期末練習(xí)理)（本小題滿分13分） 已知橢圓:的右焦點為，且點在橢圓上. （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）已知動直線過點，且與橢圓交于，兩點.試問軸上是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 9．(北京市西城區(qū)2020屆高三下學(xué)期二模試卷理)（本小題滿分13分） 已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點． （Ⅰ）若，求直線的斜率； （Ⅱ）設(shè)點在線段上運動，原點關(guān)于點的對稱點為，求四邊形面積的最小值． 10. (北京市西城區(qū)202

14、0屆高三下學(xué)期二模試卷文)（本小題滿分14分） 已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過點的直線交橢圓于，兩點，求△（為原點）面積的最 大值． 12. (2020屆高三年級第二次綜合練習(xí)文)（本小題滿分14分） 在平面直角坐標(biāo)系中，點M到兩點，的距離之和為，設(shè)點的軌跡為曲線． （Ⅰ）寫出曲線的方程； （Ⅱ）設(shè)過點的斜率為（）的直線與曲線交于不同的兩點,，點在軸上，且，求點縱坐標(biāo)的取值范圍． 14. (東城區(qū)普通高中示范校高三綜合練習(xí)(二) （文）) （本小題滿分14分） 已知橢圓的左、右焦點分別為 , 離心率為.以原點為圓心，橢圓的短軸長

15、為直徑的圓與直線相切． (Ⅰ) 求橢圓的方程； (Ⅱ) 如圖，若斜率為的直線與軸、橢圓順次相交于點（點在橢圓右頂點的右側(cè)），且. （ⅰ）求證：直線過定點（2，0）; （ⅱ）求斜率的取值范圍. 16. (2020年長春市高中畢業(yè)班第二次調(diào)研測試文)（本小題滿分12分） 已知橢圓過定點，以其四個頂點為頂點的四邊形的面 積等于以其兩個短軸端點和兩個焦點為頂點的四邊形面積的2倍. ⑴求此橢圓的方程； ⑵若直線與橢圓交于，兩點，軸上一點，使得為 銳角，求實數(shù)的取值范圍. 18. (2020年石家莊市高中畢業(yè)班第一次模擬考試?yán)? (本小題滿分12分） 在平面直角坐標(biāo)系xOy

16、中，已知定點A(-2，0)、B(2，0)，M是動點，且直線MA與直線MB的斜率之積為，設(shè)動點M的軌跡為曲線C. (I)求曲線C的方程； (II )過定點T(-1，0)的動直線l與曲線C交于P,Q兩點，是否存在定點S(s，0)，使得為定值，若存在求出s的值;若不存在請說明理由. 18．(河北唐山市2020屆高三第三次模擬文)（本小題滿分12分） 拋物線在點P處的切線分別交x軸、y軸于不同的兩點A、B，。當(dāng)點P在C上移動時，點M的軌跡為D。 （1）求曲線D的方程： （2）圓心E在y軸上的圓與直線相切于點P，當(dāng)|PE|=|PA|，求圓的方程。 22．(2020年石家莊市

17、高中畢業(yè)班第二次模擬考試文) (本小題滿分12分） 已知點P(l，）在橢圓上，且該橢圓的離心率為. (I )求橢圓E的方程； (II)過橢圓E上一點P(x0，3)作圓的兩條切線，分別交x軸于點B、C，求的面積. 23．(唐山市2020學(xué)年度高三年級第一次模擬考試文)中心在原點O,焦點F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過點C(2, 2),且·＝2 (I )求橢圓E的方程； (II)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程. 24. (2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(二) 理) (本小題滿分12分) 點P為圓

18、： (>0)上一動點，PD軸于D點，記線段PD的中點M的運動軌跡為曲線C． (I)求曲線C的方程； (II)若動直線與曲線C交于A、B兩點，當(dāng)△OAB(O是坐標(biāo)原點)面積取得最大值，且最大值為1時，求的值． 三．提升自我 26.(浙江省寧波市鄞州區(qū)2020屆高三高考適應(yīng)性考試（3月）文)在直角坐標(biāo)系中,的兩個頂點坐標(biāo)分別為,平面內(nèi)兩點同時滿足下列條件: 則的另一個頂點的軌跡方程為 28. (中原六校聯(lián)誼2020年高三第一次聯(lián)考文)（本小題滿分12分）已知橢圓右頂點與右焦點的距離為，短軸長為 （I）求橢圓的方程

19、； （Ⅱ）過左焦點F的直線與橢圓分別交于A、B兩點，若三角形OAB的面積為求直線AB的方程。 29. (河南省鄭州市2020屆高三第二次質(zhì)量預(yù)測文) (本小題滿分12分) 已知圓C的圓心為C(m,0)，m<3，半徑為，圓C與離心率的橢圓的其中一個公共點為A(3，l)，F(xiàn)1,F2分別是橢圓的左、右焦點. (I)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (II)若點P的坐標(biāo)為（4，4），試探究直線PF1與圓C能否相切，若能，求出橢圓E和直線PF1的方程；若不能，請說明理由. 31．(2020洛陽示范高中聯(lián)考高三理)（本小題滿分12分） 已知橢圓經(jīng)過點，且兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角

20、形． （1）求橢圓的方程； （2）動直線交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T。若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 33．(浙江省2020屆重點中學(xué)協(xié)作體高三第二學(xué)期4月聯(lián)考試題理 )（本小題滿分15分）如圖，曲線是以原點O為中心、 為焦點的橢圓的一部分，曲線是以O(shè)為頂點、為 焦點的拋物線的一部分，A是曲線和的交點且 為鈍角，若，． （Ⅰ）求曲線和的方程； （Ⅱ）過作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線依 次交于B、C、D、E四點，若G為CD中點、H為BE中點，問是否 為定值？若是求出定值；若不是說

21、明理由． 36. （寧波四中2020學(xué)年第一學(xué)期期末考試?yán)恚ū绢}滿分15分）長為3的線段的兩個端點分別在軸上移動，點在直線上且滿足．（I）求點的軌跡的方程；（II）記點軌跡為曲線，過點任作直線交曲線于兩點，過作斜率為的直線交曲線于另一 【原創(chuàng)預(yù)測】 1. (2020北京海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期末練習(xí)理)曲線是平面內(nèi)到定點的距離與到定直線的距離之和為3的動點的軌跡. 則曲線與軸交點的坐標(biāo)是 ；又已知點（為常數(shù)），那么的最小值= . 2，已知點是圓上任意一點，過點作軸的垂線，垂足為，點滿足，記點的軌跡為曲線． （Ⅰ）求曲線的方程； （Ⅱ）設(shè)，點、在曲線上，且直線與直線的斜率之積為，求的面積的最大值．