2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題09三角恒等變換（學(xué)生版） 新人教A版必修4

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1、三角恒等變換專題 【整體感知】：三角恒等變換是我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)之后的兩角和差公式以及二倍角公式的運(yùn)用。 所以在考試中經(jīng)常和三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)一起考查。尤其是二倍角公式的運(yùn)用。 【熱點(diǎn)點(diǎn)擊】：高考中對(duì)于三角恒等變換中的二倍角公式考查的是比較多的，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)。注意公式的正用和逆用以及變用。 【本章考點(diǎn)】:兩角和差的三角函數(shù)公式、二倍角公式、三角恒等變換的化簡(jiǎn)與證明。 【高考命題趨勢(shì)】：1.考查兩角和差的三角函數(shù)公式，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn)，難度不大；2考查二倍角公式的運(yùn)用，題型可以是小題，也可以是大題，為中檔題；3.考查三角恒等變換的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題，一般都放在大題中進(jìn)行考查；4.

2、解答題數(shù)中高檔題目.對(duì)三角恒等變換的考查形式有穩(wěn)重求變、求活，以“能力立意”的命題趨勢(shì). 【高考復(fù)習(xí)建議】：1.首先熟練記憶三角函數(shù)的兩角和差的正弦公式和余弦公式、正切公式；2.聯(lián)系三角函數(shù)的有關(guān)的圖像以及性質(zhì)，往往先化簡(jiǎn)后，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解，因此化簡(jiǎn)的過(guò)程就是三角恒等變換的重要體現(xiàn)。特別是二倍角的余弦公式。注重通法通解的訓(xùn)練，不要只注重技巧. 第1講 兩角和差的正弦、余弦、正切公式 【知識(shí)精講】 兩角和、差的正弦，余弦、正切公式及其變形；二倍角、半角的正弦、余弦、正切公式；升降冪公式；萬(wàn)能公式；. 【基礎(chǔ)梳理】 1.兩角和與差的三角函數(shù)

3、 2.二倍角公式： 3. 半角公式 4. 萬(wàn)能公式： 5. 積化和差： 6. 和差化積： 7.三角形內(nèi)角定理的變形 由A＋B＋C＝π，知A＝π－（B＋C）可得出： sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）． 而．有：，． 8.方法： 1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)：（1）常用方法：①直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化簡(jiǎn)要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項(xiàng)數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三

4、角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù) 2.三角函數(shù)的求值類型有三類：（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問(wèn)題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問(wèn)題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。 10.重要結(jié)論： 1．sinα±cosα＝． 3．a(chǎn)sinα＋bcosα＝sin（α＋φ）＝cos（α－φ1），．

5、 4．(sinα±cosα)2＝1±sin2. 5．. 6． . 7. 【要點(diǎn)解讀】 要點(diǎn)一 三角函數(shù)兩角和差公式 【例1】 不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值. 【命題立意】本題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法，對(duì)計(jì)算能力的要求較高 【標(biāo)準(zhǔn)解析】熟知三角公式并能靈活應(yīng)用 【誤區(qū)警示】公式不熟，計(jì)算易出錯(cuò). 【變式訓(xùn)練】已知=2，求 （I）的值； （II）的值． 【標(biāo)準(zhǔn)解析】考查兩角公式和同角公式的綜合運(yùn)用 【技巧點(diǎn)撥

6、】注意名稱間的轉(zhuǎn)換，以及兩角和公式的運(yùn)用。 【例2】已知，且，，求的值. 【命題立意】考查三角函數(shù)的兩角和差公式的運(yùn)用. 【標(biāo)準(zhǔn)解析】先構(gòu)造角，然后結(jié)合函數(shù)名稱進(jìn)行求值。 【誤區(qū)警示】?jī)山呛筒罟降臏?zhǔn)確應(yīng)用. 【變式訓(xùn)練】已知，那么的值為　　（　?。? 　A、　　　　B、　　　　C、　　　　　D、 【標(biāo)準(zhǔn)解析】考查兩角公式的變用 【技巧點(diǎn)撥】注意角的整體性，以及兩角和公式的運(yùn)用。 要點(diǎn)二 三角函數(shù)二倍角公式 【例3】已知α為第二象限角，且 sinα=求的值 【命題

7、立意】考查三角函數(shù)的二倍角公式的運(yùn)用. 【標(biāo)準(zhǔn)解析】先分析角，然后結(jié)合函數(shù)名稱進(jìn)行化簡(jiǎn)求值。 【誤區(qū)警示】二倍角余弦公式的準(zhǔn)確應(yīng)用. 【變式訓(xùn)練】已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小. 【標(biāo)準(zhǔn)解析】考查在三角形中的二倍角共識(shí)的運(yùn)用。 【技巧點(diǎn)撥】 先統(tǒng)一角，然后結(jié)合兩角和差公式求解運(yùn)算。 【例4】（ ） A． B． C． D． 【命題立意】考查三角函數(shù)的二倍角公式的逆用. 【標(biāo)準(zhǔn)解析】先分析角，然后結(jié)合二倍角的余弦公式進(jìn)

8、行化簡(jiǎn)求值。 【誤區(qū)警示】二倍角余弦公式的準(zhǔn)確應(yīng)用. 【變式訓(xùn)練】已知，則＿＿＿＿。 【標(biāo)準(zhǔn)解析】考查在三角形中的二倍角公式的運(yùn)用。 【技巧點(diǎn)撥】先統(tǒng)一角，然后結(jié)合兩角和差公式求解運(yùn)算。 【原創(chuàng)題探討】 【原創(chuàng)精典1】(2020年廣東卷文)函數(shù)是 A．最小正周期為的奇函數(shù) B. 最小正周期為的偶函數(shù) C. 最小正周期為的奇函數(shù) D. 最小正周期為的偶函數(shù) 【原創(chuàng)精典2】（2020江西卷理）若函數(shù)，，則的最大值為 A．1 B． C． D． 新動(dòng)向前瞻 【樣題1】已知關(guān)于的方程的兩根為， 求：（

9、1）的值；（2）的值；（3）方程的兩根及此時(shí)的值． 【樣題2】 （ ） 2 4 8 16 第2講 簡(jiǎn)單的三角恒等變換 【知識(shí)精講】 1.利用三角公式進(jìn)行恒等變形的方法(變角、變次數(shù)、變函數(shù)名稱、變運(yùn)算關(guān)系等)； 2.證明角相等的方法和證明三角恒等式的方法；. 【知識(shí)梳理】 三角等式的證明： （1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過(guò)三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右同一等方法，使等式兩端的化“異”為“同”； （2）三角條件等式的證題思路是通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的

10、關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明。 【要點(diǎn)解讀】 要點(diǎn)三 三角函數(shù)兩角和差公式求值 【例5】已知，是第三象限角，求的值． 【命題立意】本題主要考查兩角和公式及誘導(dǎo)公式的求值的方法，對(duì)計(jì)算能力的要求較高 【標(biāo)準(zhǔn)解析】熟知三角公式并能靈活應(yīng)用 【誤區(qū)警示】公式不熟，計(jì)算易出錯(cuò). 【答案】 【變式訓(xùn)練】已知，求的值． 【標(biāo)準(zhǔn)解析】考查在三角形中的兩角和差的運(yùn)用。 【技巧點(diǎn)撥】先統(tǒng)一角，然后結(jié)合兩角和差公式求解運(yùn)算。 【答案】 要點(diǎn)四 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與證明 【例6】化簡(jiǎn)： （1）； （2）； （3）． 【命題立意】本題主要考查兩角和公式及二倍角公式的化簡(jiǎn)

11、的方法 【標(biāo)準(zhǔn)解析】熟知三角公式并能靈活應(yīng)用，多個(gè)名稱要切化弦進(jìn)行。 【誤區(qū)警示】公式的準(zhǔn)確運(yùn)用使我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵。 【變式訓(xùn)練】 （） 【標(biāo)準(zhǔn)解析】考查在三角函數(shù)的二倍角公式的化簡(jiǎn)的運(yùn)用。 【技巧點(diǎn)撥】先合理組合表達(dá)式，運(yùn)用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解。 【例7】證明：（1）； （2）． 【命題立意】本題主要考查兩角和公式證明恒等式。 【標(biāo)準(zhǔn)解析】由等式兩邊的差異知：若選擇“從左證到右”，必定要“切化弦”；若“從右證到左”，必定要用倍角公式． 【誤區(qū)警示】公式不熟，計(jì)算易出錯(cuò). 【變式訓(xùn)練】 1 ． 【標(biāo)準(zhǔn)解析】考查在三角函數(shù)的兩角和差的運(yùn)用。 【技巧點(diǎn)撥】分析分子和分母的名稱，弦切化弦，然后利用二倍角公式化簡(jiǎn)變形證明 【原創(chuàng)題探討】 【原創(chuàng)精典3】（2020遼寧卷文）已知，則 （A） （B） （C） （D） 新動(dòng)向前瞻 【樣題3】求值：．