2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章《數(shù)列》自測(cè)題

第三章數(shù)列 時(shí)間：120分鐘分值：150分第卷(選擇題共60分)一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1數(shù)列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2，其相鄰的兩個(gè)1被2隔開(kāi)，第n對(duì)1之間有n個(gè)2，則該數(shù)列的前1234項(xiàng)的和為()A2450B2419C4919 D1234解析：將數(shù)列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1，進(jìn)行分組：第1組：1,2，第2組：1,2,2，第3組：1,2,2,2，第n組：前n組一共有項(xiàng)當(dāng)n48時(shí)，有1224項(xiàng)；當(dāng)n49時(shí)，有1274項(xiàng)，即前1234項(xiàng)可以排滿前48組，在第49組只能排前10項(xiàng)故前1234項(xiàng)中含49個(gè)1，其余的均為2，故該數(shù)列前1234項(xiàng)的和為49×1(123449)×22419，故選B.答案：B2數(shù)列an滿足a13a232a33n1an，則an()A. B.C. D.解析：令n1，得a1，排除A、D；再令n2，得a2，排除C，故選B.答案：B3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，an13Sn(n1，nN*)，第k項(xiàng)滿足750<ak<900，則k等于()A8 B7C6 D5解析：依題意，由an13Sn及an3Sn1，兩式相減得an1an3(SnSn1)3an，即an14an(n2)，a23，所以an，將ak代入不等式750<3×4k2<900驗(yàn)證，知k6.答案：C4數(shù)列an滿足anan1(nN*)，且a11，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S21()A. B6C10 D11解析：依題意得anan1an1an2，則an2an，即數(shù)列an中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別相等，則a21a11.S21(a1a2)(a3a4)(a19a20)a2110(a1a2)a2110×16，選B.答案：B5數(shù)列an中，a11，a22，當(dāng)nN*時(shí)，an2等于anan1的個(gè)位數(shù)，若數(shù)列an的前k項(xiàng)和為243，則k()A61 B62C63 D64解析：依題意得a11，a22，a32，a44，a58，a62，a76，a82，a92，a104，a118，a122，a136，數(shù)列an除第一項(xiàng)外，其余的項(xiàng)形成以6為周期的數(shù)列，且從a2到a7這六項(xiàng)的和等于24，注意到243124×102，因此k16×10162，選B.答案：B6把正整數(shù)排列成三角形數(shù)陣(如圖甲)，然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到新的三角形數(shù)陣(如圖乙)，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個(gè)數(shù)列an，則a2020()A3955 B3957C3959 D3961解析：注意到圖乙中，第n行有n個(gè)數(shù)，且第n行的最后一個(gè)數(shù)是n2，又<2020<，因此a2020位于圖乙中第63行中的第57個(gè)數(shù)，第63行的最后一個(gè)數(shù)是6323969，且第63行的數(shù)自左向右依次形成公差為2的等差數(shù)列，于是a2020(6357)×23969，a20203957.答案：B7若an是公差為1的等差數(shù)列，則a2n12a2n是()A公差為3的等差數(shù)列B公差為4的等差數(shù)列C公差為6的等差數(shù)列D公差為9的等差數(shù)列解析：設(shè)an的公差為d，則d1，設(shè)cna2n12a2n，則cn1a2n12a2n2，cn1cna2n12a2n2a2n12a2n6d6，選擇C.答案：C8在等比數(shù)列an中，若a1a2a3a4，a2a3，則()A. B.C D解析：依題意，設(shè)公比為q，則q1，因此，又，構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，÷得，即，選擇C.答案：C9設(shè)an是等比數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)n，有an2an1an20，又a12，則S101()A200 B2C2 D0解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)，有an2an1an20，an2anqanq20，因?yàn)閍n0，所以12qq20，q1，S1012，選擇B.答案：B10已知ansin(nN*)，則數(shù)列an的最小值為()A6 B7C8 D.解析：令t2sin(1t3)，則anf(t)t2，f(t)1<0，f(t)在其定義域上單調(diào)遞減，當(dāng)t3，即sin1時(shí)，an取得最小值，故選D.答案：D11數(shù)列an中，a1，an2(n2)，則a2020()A. B.C. D.解析：由an2(n2)得，an11，即1，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列故n1n，an，a2020.故選D.答案：D12數(shù)列an滿足a1，an1an2an1(nN*)，則m的整數(shù)部分是()A3 B2C1 D0解析：依題意得a1，a2，a3>2，an1an(an1)2>0，數(shù)列an是遞增數(shù)列，a2020>a3>2，a20201>1，1<2<2.由an1an2an1得，故2(1,2)，因此選C.答案：C第卷(非選擇題共90分)二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13已知數(shù)列an的第一項(xiàng)都是非負(fù)實(shí)數(shù)，且對(duì)任意m，nN*有amnaman0或amnaman1.又知a20，a3>0，a9933.則a3_，a10_.解析：a2a1a1或a2a1a11，由a20，得a10，或a1(不符合題意，舍去)，a3a1a2或a3a1a21，由a1a20，a3>0，得a31(a30舍去)；由條件amnaman或amnaman1，可知anN，a100a99a1或a100a99a11，a9933，a10033或34.又amnaman，a10010a10，a103.3或a103.4；而a93a33，a10a93，所以a103.答案：1314考慮以下數(shù)列an，nN*：ann2n1；an2n1；anln.其中滿足性質(zhì)“對(duì)任意的正整數(shù)n，an1都成立”的數(shù)列有_(寫(xiě)出所有滿足條件的序號(hào))；若數(shù)列an滿足上述性質(zhì)，且a11，a2058，則a10的最小值為_(kāi)解析：對(duì)于，a13，a27，a313，>a2，因此an不滿足“對(duì)任意的正整數(shù)n，an1都成立”對(duì)于，易知數(shù)列an是等差數(shù)列，故有an1，因此an滿足“對(duì)任意的正整數(shù)n，an1都成立”對(duì)于，an2anln，2an1ln2，2<0，即有<an1，因此an滿足“對(duì)任意的正整數(shù)n，an1都成立”綜上所述，滿足性質(zhì)“對(duì)任意的正整數(shù)n，an1都成立”的數(shù)列為.對(duì)于滿足上述性質(zhì)的數(shù)列an，令dnan1an.由an1得an1anan2an1，即dndn1.又a10a1d1d2d9a19d9，a10a20(d19d18d10)a2010d10，即d9，d10，所以d9d100，即0，由此解得a1028，即a10的最小值為28.答案：2815設(shè)an是等比數(shù)列，公比q，Sn為an的前n項(xiàng)和記Tn，nN*.設(shè)Tn0為數(shù)列Tn的最大項(xiàng)，則n0_.解析：根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式Sn，故Tn(qn17)，令qn()nt，則函數(shù)g(t)t，當(dāng)t4時(shí)函數(shù)g(t)取得最小值，此時(shí)n4，而<0，故此時(shí)Tn最大，所以n04.答案：416若數(shù)列an滿足d(nN*，d為常數(shù))，則稱數(shù)列an為“調(diào)和數(shù)列”已知數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且x1x2x20200，則x3x18的最大值是_解析：因?yàn)閿?shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，所以xn1xnd(nN*，d為常數(shù))，即數(shù)列xn為等差數(shù)列，由x1x2x20200得200，即x3x1820，易知x3、x18都為正數(shù)時(shí)，x3x18取得最大值，所以x3x182100，即x3x18的最大值為100.答案：100三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17(本小題滿分10分)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snnananc(c是常數(shù)，nN*)，a26.(1)求c的值及an的通項(xiàng)公式；(2)證明：<.解析：(1)因?yàn)镾nnananc，所以當(dāng)n1時(shí)，S1a1a1c，解得a12c，當(dāng)n2時(shí)，S2a2a2c，即a1a22a2c，解得a23c，所以3c6，解得c2；則a14，數(shù)列an的公差da2a12，所以ana1(n1)d2n2.(2)證明：因?yàn)?因?yàn)閚N*，所以<.18(本小題滿分12分)在數(shù)列an中，a11，an12an2n.(1)設(shè)bn，證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)證明：由已知an12an2n得bn11bn1.又b1a11，因此bn是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列(2)由(1)知 n，即ann·2n1.Sn12×213×22n×2n1，兩邊乘以2得，2Sn22×22n×2n.兩式相減得Sn121222n1n·2n(2n1)n·2n(n1)2n1.19(本小題滿分12分)已知遞增的等比數(shù)列an滿足a2a3a428，且a32是a2、a4的等差中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)(理)若bnlog2an1，Sn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求使Sn>424n成立的n的最小值(文)若bnlog2an1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解析：(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，依題意有2(a32)a2a4，又a2a3a428，將代入得a38.所以a2a420.于是有解得或又an是遞增的，故a12，q2.所以an2n.(2)(理)bnlog22n1n1，Sn.故由題意可得>424n，解得n>12或n<7.又nN*所以滿足條件的n的最小值為13.(文)bnlog22n1n1.故Sn.20(本小題滿分12分)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，nN*，公比q>1，且a23，S313.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足n(n2)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解析：(1)由已知，有q3.a11，ana1qn13n1.(2)n(n2)(nN*)，當(dāng)n1時(shí)，3，b13.當(dāng)n2時(shí)，(n1)(n1)，n(n2)(n1)(n1)2n1，即bn(2n1)·3n1.經(jīng)檢驗(yàn)，得bn(2n1)·3n1(nN*)Tn3×305×317×32(2n1)×3n1，3Tn3×315×32(2n1)×3n1(2n1)×3n.兩式相減，得2Tn32(31323n1)(2n1)·3n3n(2n1)×3n，Tnn·3n.21(本小題滿分12分)在數(shù)列an中，a11，an1an.(1)設(shè)bn，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解析：(1)由已知得b1a11，且，即bn1bn，從而b2b1，b3b2，bnbn1(n2)，于是bnb12(n2)又b11，故所求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn2.(2)由(1)知ann2n.令Tn，則2Tn，于是Tn2TnTn4.又(2k)n(n1)，所以Snn(n1)4.22(本小題滿分12分)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知2a2a1a3，數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(用n，d表示)；(2)設(shè)c為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足mn3k且mn的任意正整數(shù)m，n，k，不等式SmSn>cSk都成立求證：c的最大值為.解析：(1)由題設(shè)知，(n1)d(n1)d，則當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1()()2d3d22d2n.由2a2a1a3，得2(2dd2)a12d3d2，解得d.故當(dāng)n2時(shí)，an2nd2d2.又a1d2，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(2n1)d2.(2)證明：由d及(n1)d，得d>0，Snd2n2.于是，對(duì)滿足題設(shè)的m，n，k，mn，有SmSn(m2n2)d2>d2d2k2Sk.所以c的最大值cmax.另一方面，任取實(shí)數(shù)a>.設(shè)k為偶數(shù)，令mk1，nk1，則m，n，k符合條件，且SmSnd2(m2n2)d2d2(9k24)于是，只要9k24<2ak2，即當(dāng)k>時(shí)，就有SmSn<d2·2ak2aSk.所以滿足條件的c，從而cmax.因此c的最大值為.