2020高中數(shù)學(xué) 2-4-1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程同步檢測(cè) 新人教B版選修2-1

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1、2.4第1課時(shí) 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 一、選擇題 1.拋物線y=x2的焦點(diǎn)關(guān)于直線x-y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(  ) A.(2,-1)       B.(1,-1) C.(,-) D.(,-) [答案] A [解析] y=x2?x2=4y,焦點(diǎn)為(0,1),其關(guān)于x-y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)為(2,-1). 2.拋物線x2=4ay的準(zhǔn)線方程為(  ) A.x=-a B.x=a C.y=-a D.y=a [答案] C 3.拋物線x2=4y上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,則點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為(  ) A.2    B.3    C.4    D

2、.5 [答案] D [解析] 解法一:∵y=4,∴x2=4·y=16,∴x=4, ∴A(4,4),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1), ∴所求距離為==5. 解法二:拋物線的準(zhǔn)線為y=-1,∴A到準(zhǔn)線的距離為5,又∵A到準(zhǔn)線的距離與A到焦點(diǎn)的距離相等. ∴距離為5. 4.拋物線y2=x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是2,則P點(diǎn)坐標(biāo)為(  ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 設(shè)P(x0,y0),則|PF|=x0+=x0+=2, ∴x0=,∴y0=±. 5.拋物線y2=4x上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為3,則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=(  ) A.1    B.2    C.3 

3、   D.4 [答案] B [解析] 拋物線y2=4x,焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線x=-1, ∵M(jìn)到準(zhǔn)線的距離為3,∴xM-(-1)=3,∴xM=2. 6.雙曲線-=1(mn≠0)離心率為2,有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,則mn的值為(  ) A.   B.   C.   D. [答案] A [解析] 由條件知,解得 . ∴mn=,故選A. 7.已知拋物線C1:y=2x2與拋物線C2關(guān)于直線y=-x對(duì)稱,則C2的準(zhǔn)線方程是(  ) A.x=- B.x= C.x= D.x=- [答案] C [解析] 拋物線C1:y=2x2的準(zhǔn)線方程為y=-,其

4、關(guān)于直線y=-x對(duì)稱的拋物線C2:y2=-x的準(zhǔn)線方程為x=.故應(yīng)選C. 8.已知拋物線y2=2px(p>0)上有一點(diǎn)M(4,y),它到焦點(diǎn)F的距離為5,則△OFM的面積(O為原點(diǎn))為(  ) A.1   B.   C.2   D.2 [答案] C [解析] 拋物線準(zhǔn)線方程為x=-,由于M(4,y)到焦點(diǎn)F的距離為5,故有|4+|=5,由于p>0,故p=2,|OF|=1,拋物線方程為y2=4x,則M(4,±4),于是S△OFM=2. 9.動(dòng)點(diǎn)P到直線x+4=0的距離減去它到點(diǎn)M(2,0)的距離之差等于2,則點(diǎn)P的軌跡是(  ) A.直線       B.橢圓 C.雙曲線

5、 D.拋物線 [答案] D [解析] 根據(jù)所給條件,結(jié)合圖形可知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定直線x=-2及定點(diǎn)M(2,0)的距離相等,故選D. 10.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn), 若P到直線BC與直線C1D1的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是(  ) A.直線 B.圓 C.雙曲線 D.拋物線 [答案] D [解析] ∵P到直線BC與直線C1D1的距離相等,又ABCD-A1B1C1D1是正方體, ∴D1C1⊥側(cè)面BCC1B1. ∴D1C1⊥PC1, ∴PC1為P到直線D1C1的距離,即PC1等于P到直線BC的距離,由圓錐

6、曲線的定義知,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是拋物線. 二、填空題 11.(2020·安徽文,12)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是____________. [答案] (2,0)  [解析] 該題考查拋物線的基礎(chǔ)知識(shí). 要認(rèn)清形式:本題形如y2=2px(p>0),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),故為(2,0). 12.沿直線y=-2發(fā)出的光線經(jīng)拋物線y2=ax反射后,與x軸相交于點(diǎn)A(2,0),則拋物線的準(zhǔn)線方程為________. [答案] x=-2 [解析] 由拋物線的幾何性質(zhì):從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后與軸平行,及直線y=-2平行于拋物線的軸知A(2,0)為焦點(diǎn),故準(zhǔn)線方程為x=-2.

7、13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,有一定點(diǎn)A(2,1).若線段OA的垂直平分線過拋物線y2=2px (p>0)的焦點(diǎn),則該拋物線的準(zhǔn)線方程是________. [答案] x=- [解析] OA的垂直平分線y=-2x+交x軸于,此為焦點(diǎn),故準(zhǔn)線方程為x=-. 14.已知F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn),M是這條拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),P(3,1)是一個(gè)定點(diǎn),則|MP|+|MF|的最小值是____________. [答案] 4 [解析] 過P作垂直于準(zhǔn)線的直線,垂足為N,交拋物線于M,則|MP|+|MF|=|MP|+|MN|=|PN|=4為所求最小值. 三、解答題 15.已知橢圓C1:+=

8、1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,離心率為,又拋物線C2:y2=4mx(m>0)與橢圓C1有公共焦點(diǎn)F2(1,0).求橢圓和拋物線的方程. [解析] 橢圓中c=1,e=,所以a=2,b==,橢圓方程為:+=1,拋物線中=1, 所以p=2,拋物線方程為:y2=4x. 16.若拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M到準(zhǔn)線及對(duì)稱軸的距離分別為10和6,求M點(diǎn)的橫坐標(biāo)及拋物線方程. [解析] ∵點(diǎn)M到對(duì)稱軸的距離為6, ∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,6), ∴62=2px(1) ∵點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為10, ∴x+=10(2) 由(1)(2)解得或 故當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為9時(shí),拋物線方程為y2=4x

9、,當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1時(shí),拋物線方程為y2=36x. 17.求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1)過拋物線y2=2mx的焦點(diǎn)F作x軸的垂線交拋物線于A、B兩點(diǎn),且|AB|=6. (2)拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸是x軸,點(diǎn)P(-5,2)到焦點(diǎn)的距離是6. [解析] (1)設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l,交x軸于K點(diǎn),l的方程為x=-,如圖,作AA′⊥l于A′,BB′⊥l于B′,則|AF|=|AA′|=|FK|=|m|,同理 |BF|=|m|.又|AB|=6,則2|m|=6. ∴m=±3,故所求拋物線方程為y2=±6x. (2)設(shè)焦點(diǎn)F(a,0),|PF|==6,即a2+10a+9=0,解得

10、a=-1或a=-9.當(dāng)焦點(diǎn)為 F(-1,0)時(shí),p=2,拋物線開口方向向左,其方程為y2=-4x;當(dāng)焦點(diǎn)為F(-9,0)時(shí),p=18,拋物線開口方向向左,其方程為y2=-36x. 18.一輛卡車高3 米,寬1.6米,欲通過斷面為拋物線型的隧道,已知拱口寬恰好是拱高的4倍,若拱口寬為a米,求使卡車通過的a的最小整數(shù)值. [解析] 以隧道頂點(diǎn)為原點(diǎn),拱高所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系,則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(,-),如圖所示,設(shè)隧道所在拋物線方程為x2=my,則()2=m·(-), ∴m=-a,即拋物線方程為x2=-ay. 將(0.8,y)代入拋物線方程,得0.82=-ay, 即y=-. 欲使卡車通過隧道,應(yīng)有y-(-)>3, 即->3,由于a>0,得上述不等式的解為a>12.21,∴a應(yīng)取13.

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