2020高考數學 專題五 綜合測試題 文

專題五綜合測試題(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1已知無窮數列an是各項均為正數的等差數列，則有()A.<B.C.> D.解析：a4a8(a13d)(a17d)a10a1d21d2，a(a15d)2a10a1d25d2，故.答案：B2依次寫出數列a11，a2，a3，an(nN*)的法則如下：如果an2為自然數且未寫過，則寫an1an2，否則就寫an1an3，則a6()A4 B5C6 D7解析：根據題中法則，依次逐個代入，得a24，a32，a40，a53，a66.答案：C3對于非零實數a、b，“b(ba)0”是“1”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：a0，b0，故有b(ba)00101.故選C.答案：C4已知函數f(x)，若f(2a2)>f(a)，則實數a的取值范圍是()A(，1)(2，) B(1,2)C(2,1) D(，2)(1，)解析：由題知f(x)在R上是增函數，可得2a2>a，解得2<a<1，故選C.答案：C5已知數列an的前n項和Snan1(a是不為0的實數)，那么an()A一定是等差數列B一定是等比數列C可能是等差數列，也可能是等比數列D既不可能是等差數列，也不可能是等比數列答案：C6(2020·保定)等差數列an中，Sn是其前n項和，a12020，2，則S2020的值為()A2020 B2020C2020 D2020解析：由已知2的結構，可聯(lián)想到等差數列an的前n項和Sn的變式，a1(n1)，故由2，得1，2020(20201)·11，S20202020.答案：C7已知a0，b0，且ab2，則()Aab BabCa2b23 Da2b22解析：a0，b0，且ab2，4(ab)2a2b22ab2(a2b2)，a2b22.答案：D8已知等比數列an中，a21，則其前3項的和S3的取值范圍是()A(，1 B(，1)(1，)C3，) D(，13，)解析：等比數列an中，a21，S3a1a2a3a21q.當公比q>0時，S31q12 3，當公比q<0時，S3112 1，S3(，13，)答案：D9(2020·廣東廣州模擬)p，q· (m、n、a、b、c、d均為正數)，則p、q的大小關系為()Apq BpqCp>q D不確定解析：q p，故選B.答案：B10設Sn123n，nN*，則函數f(n)的最大值為()A. B.C. D.解析：由Sn得f(n)，當且僅當n，即n8時取等號，即f(n)maxf(8).答案：D11設變量x，y滿足約束條件，則目標函數z5xy的最大值為()A4 B5C6 D7解析：如圖，由圖可知目標函數z5xy過點A(1,0)時z取得最大值，zmax5.答案：B12an為等差數列，若<1，且它的前n項和Sn有最大值，那么當Sn取得最小正值時，n()A11 B17C19 D21解析：等差數列an的前n項和Sn有最大值，則公差小于零又<1，則有a11<0，a10>0，a10a11<0，即S19>0，S20<0，則當Sn取得最小正值時，n19.答案：C二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填在題中的橫線上13在公差為d(d0)的等差數列an中，若Sn是an的前n項和，則數列S20S10，S30S20，S40S30也成等差數列，且公差為100d.類比上述結論，在公比為q(q1)的等比數列bn中，若Tn是數列bn的前n項之積，則有_答案：，也成等比數列，且公比為q10014(2020·陜西省高三診斷)觀察下列等式：1222，122232，12223242，根據上述規(guī)律可得122232n2_.解析：通過觀察前三個等式可得122232n2.答案：15已知數列an為等差數列，則有等式a12a2a30，a13a23a3a40，a14a26a34a4a50，(1)若數列an為等比數列，通過類比，則有等式_(2)通過歸納，試寫出等差數列an的前n1項a1，a2，an，an1之間的關系為_解析：因等差數列與等比數列之間的區(qū)別是前者是加法運算，后者是乘法運算，所以類比規(guī)律是由第一級運算轉化到高一級運算，從而解出第(1)問；通過觀察發(fā)現，已知等式的系數與二項式系數相同，解出第(2)問答案：(1)a1aa31，a1aaa1，a1aaaa51(2)Ca1Ca2Ca3(1)nCan1016若不等式4x2x1a0在1,2上恒成立，則a的取值范圍為_解析：由題得a4x2x1在1,2上恒成立，即a(4x2x1)min(2x1)21min0.答案：(，0三、解答題：本大題共6小題，共74分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17(本小題滿分12分)已知命題：“若數列an是等比數列，且an>0，令bn，則數列bn(nN*)也是等比數列”類比這一性質，你能得到關于等差數列的一個什么性質？并證明你的結論解：由題意，得等差數列的一個性質是：若數列an是等差數列，令bn，則數列bn(nN*)也是等差數列證明這個結論：設等差數列an的公差為d，則bna1(n1)，所以數列bn是以a1為首項，為公差的等差數列，故所得命題成立18(本小題滿分12分)(2020·廣東潮州模擬)設數列an的前n項和為Sn，且對任意的nN*，都有an>0，Sn.(1)求a1，a2的值；(2)求數列an的通項公式an.(3)證明：aaa.解：(1)當n1時，有a1S1，由于an>0，所以a11.當n2時，有S2，即a1a2，將a11代入上式，由于an>0，所以a22.(2)由Sn，得aaa(a1a2an)2， 則有aaaa(a1a2anan1)2. 得a(a1a2anan1)2(a1a2an)2.由于an>0，所以a2(a1a2an)an1. 同樣有a2(a1a2an1)an(n2)， ，得aaan1an.所以an1an1.由于a2a11，即當n1時都有an1an1，所以數列an是首項為1，公差為1的等差數列故ann.19(本小題滿分12分)已知函數f(x)滿足ax·f(x)bf(x)(a·b0)，f(1)2且f(x2)f(2x)對定義域中任意x都成立(1)求函數f(x)的解析式；(2)正項數列an的前n項和為Sn，滿足Sn2，求證：數列an是等差數列解：(1)由ax·f(x)bf(x)(a·b0)，得f(x)(ax1)b，若ax10，則b0，不合題意，故ax10，f(x).由f(1)2，得2a2b， 由f(x2)f(2x)對定義域中任意x都成立，得，由此解得a， 把代入，可得b1，f(x)(x2)(2)證明：f(an)，Sn2，Sn(an1)2，a1(a11)2，a11；當n2時，Sn1(an11)2，anSnSn1(aa2an2an1)，(anan1)(anan12)0，an>0，anan120，即anan12，數列an是等差數列20(本小題滿分12分)(2020·山東青島十九中模擬)等差數列an的各項均為正數，a13，前n項和為Sn，等比數列bn中，b11，b2S264，ban是公比為64的等比數列(1)求an與bn；(2)證明：<.解：(1)設an的公差為d，d為正數，bn的公比為q，則an3(n1)d，bnqn1.依題意有，由(6d)q64知q為正有理數，又由q2知，d為6的因數1,2,3,6之一，解之得d2，q8.故an2n1，bn8n1.(2)證明：由(1)知Snn(n2)，<.21(本小題滿分12分)(2020·山東青島模擬)已知等比數列an的前n項和為Sn2·3nk(kR，nN*)(1)求數列an的通項公式和k的值；(2)設數列bn滿足an4(5k)anbn，Tn為數列bn的前n項和，試比較316Tn與4(n1)bn1的大小，并證明你的結論解：(1)由Sn2·3nk(kR，nN*)，得當n2時，anSnSn14·3n1.an是等比數列，a1S16k4，k2，故an4·3n1(nN*)(2)由an4(5k)anbn，an4·3n1和k2，得bn，Tnb1b2b3bn1bn 3Tn 由得，2Tn，Tn.4(n1)bn1(316Tn)，n(n1)3(2n1)n25n3，當n>或n<<0時，有n(n1)>3(2n1)，當n>5(nN*)時，有316Tn<4(n1)bn1.同理可得，當<n<時，有n(n1)<3(2n1)，當1n5(nN*)時，有316Tn>4(n1)bn1.綜上，當n>5(nN*)時，有316Tn<4(n1)bn1；當1n5(nN*)時，有316Tn>4(n1)bn1.22(本小題滿分14分)某商店投入81萬元經銷某種北京奧運會特許紀念品，經銷時間共60天，為了獲得更多的利潤，商店將每天獲得的利潤投入到次日的經營中市場調研表明，該商店在經銷這一產品期間第n天的利潤an(單位：萬元，nN*)記第n天的利潤率bn，例如b3.(1)求b1，b2的值；(2)求第n天的利潤率bn；(3)該商店在經銷此紀念品期間，哪一天的利潤率最大？并求該天的利潤率解：(1)當n1時，b1；當n2時，b2.(2)當1n20時，a1a2a3an1an1.bn.當21n60時，bn，第n天的利潤率bn(3)當1n20時，bn是遞減數列，此時bn的最大值為b1；當21n60時，bn(當且僅當n，即n40時，等號成立)又>，當n40時，(bn)max.該商店經銷此紀念品期間，第40天的利潤率最大，且該天的利潤率為.