2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)篇

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1、高考沖刺之導(dǎo)數(shù)（基礎(chǔ)篇） 1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處切線l的斜率，切線l的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．導(dǎo)數(shù)的物理意義 若物體位移隨時(shí)間變化的關(guān)系為s＝f(t)，則f′(t0)是物體運(yùn)動(dòng)在t＝t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度． 3．函數(shù)的單調(diào)性 在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x)在(a，b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0. f′(x)≥0?函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增；f′(x)≤0?函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減． 4．函數(shù)的極值 (1)判斷f(x0)是極值的方法

2、一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)， ①如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值； ②如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是極小值． (2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③檢查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符號(hào)．如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值，如果左右兩側(cè)符號(hào)一樣，那么這個(gè)根不是極值點(diǎn)． 5．函數(shù)的最值 (1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值． (2

3、)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值． (3)設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下： ①求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； ②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值． 6．利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟 (1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)； (2)求函數(shù)

4、的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和f′(x)＝0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值； (4)回歸實(shí)際問(wèn)題作答． 兩個(gè)注意 (1)注意實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)定義域的確定． (2)在實(shí)際問(wèn)題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較． 三個(gè)防范 (1)求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過(guò)認(rèn)真比較才能下結(jié)論；另外注意函數(shù)最值是個(gè)“整體”概念，而極值是個(gè)“局部”概念． (2)f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0取極值的既不充分也不必要條件． 如①y＝|x|在x＝

5、0處取得極小值，但在x＝0處不可導(dǎo)； ②f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的極值點(diǎn)． (3)若y＝f(x)可導(dǎo)，則f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0處取極值的必要條件． 易誤警示 直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線；反之直線是曲線的切線，但直線不一定與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)． 兩個(gè)條件 (1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增的充分條件． (2)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件． 三個(gè)步驟 　求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： (1)確定函數(shù)f(x)的定義域；

6、(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相應(yīng)的x的范圍． 當(dāng)f′(x)＞0時(shí)，f(x)在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)f′(x)＜0時(shí)，f(x)在相應(yīng)的區(qū)間上是減函數(shù)，還可以列表，寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 小題分類(lèi) 1.（導(dǎo)數(shù)與積分）定積分的值為（ ） A. －1 B. 1 C. D. 【答案】B （2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖像所圍成的封閉區(qū)域的面積是 【答案】 （3）用表示a，b兩個(gè)數(shù)中的最大數(shù)，設(shè)，那么由函數(shù)的圖象、x軸、直線和直線所圍成的封閉圖形的面積是 【答案】 （4）若，則的大小

7、關(guān)系是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 變式 設(shè)a＝(sinx＋cosx)dx，則(a－)6的二項(xiàng)展開(kāi)式中含x2的系數(shù)是(　　) A．192 B．－192 C．96 D．－96 解析：因?yàn)閍＝(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)＝(－cosπ＋sinπ)－(－cos0＋sin0)＝2，所以(a－)6＝6，則可知其通項(xiàng)Tr＋1＝(－1)rC26－rx－＝(－1)rC26－rx3－r，令3－r＝2?r＝1，所以展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是(－1)rC26－r＝(－1)1C26－1＝－192，故答

8、案選B. （2）若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為，且a4＝(1＋2x)dx，則公比等于________． 解析：(1＋2x)dx＝(x＋x2)|＝(4＋16)－(1＋1)＝18，即a4＝18＝·q3?q＝3. 2.(導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性)若，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ） A． B． C． D． 【答案】C （2）函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足，且．當(dāng)l≤x≤2時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A （3

9、）已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) 若函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)遞減，求的取值范圍． 【答案】解： 令①若，則，在內(nèi)，，即，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.………………7分②若，則，其圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)，， 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.③若，則，其圖象是開(kāi)口向下的拋物線， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)，， 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. 綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時(shí)，的取值范圍是．…12分 3.（導(dǎo)數(shù)與切線斜率）設(shè),函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且是奇函數(shù)，若曲線的一條切線的斜率是，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（ ） A. B. C.

10、 D. 【答案】D （2）已知函數(shù)，則在點(diǎn)處的切線的斜率最大時(shí)的切線方程是______________ 【答案】 (3)曲線y＝x3＋x在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 (　　) A. B. C. D. 【答案】A 4.(導(dǎo)數(shù)與圖像)函數(shù)y＝f（x）在定義域（－，3）內(nèi)的圖像如圖所示．記y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)為y＝f￠（x），則不等式f￠

11、（x）≤0的解集為 A．[－，1]∪[2，3） B．[－1，]∪[，] C．[－，]∪[1，2） D．（－，－]∪[，]∪[，3） 【答案】A （2）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),的圖象如右圖所示，則的圖象最有可能的是 【答案】C （3）已知R上可導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）【答案】D A． B． C． D. 5.（導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用）已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，且 ，則的值是（ ） A．2 B．

12、 C．3 D． 【答案】B （2）已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)滿(mǎn)足=1，且的導(dǎo)數(shù)在R上恒有<，則不等式的解集為（ ） A． B． C． D．∪ 【答案】D （3）函數(shù)的定義域?yàn)?,對(duì)任意,則的解集為（ ） A. B. C. D.R 【答案】B （4）,若是奇函數(shù)，則= 【答案】 （5）是定義在上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù) ，且滿(mǎn)足 ，對(duì)任意的正數(shù)，若，則必有 A． B． C． D．【答案】A

13、大題沖關(guān) 1.（研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問(wèn)題） 例1.設(shè)函數(shù)． （I）求的單調(diào)區(qū)間；（II）當(dāng)0

14、 ②當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)． 所以． 綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 例2.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為。 （Ⅰ）求、的值； （Ⅱ）如果當(dāng)，且時(shí)，，求的取值范圍。 解：（Ⅰ），由題意知：即 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以， 設(shè)則， ⑴如果，由知，當(dāng)時(shí)， ，而 故，由當(dāng)?shù)茫? 從而，當(dāng)時(shí)，即 ⑵如果，則當(dāng)，時(shí)， 而；得：與題設(shè)矛盾； ⑶如果，那么，因?yàn)槎?，時(shí)，由得：與題設(shè)矛盾； 綜合以上情況可得： 例3．設(shè)函數(shù). （Ⅰ）若，求的最小值（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取

15、值范圍. 解：（Ⅰ）時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 所以在上單調(diào)減小，在上單調(diào)增加故的最小值為 （Ⅱ）， 當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增， 而，所以，所以在上遞增， 而，于是當(dāng)時(shí)， .當(dāng)時(shí)，由得 當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減， 而，于是當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減， 而，所以當(dāng)時(shí)，. 綜上得的取值范圍為. 變式訓(xùn)練 1.已知函數(shù)（）. （Ⅰ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)P（1，）處的切線的傾斜角為，求在上的最小值； （Ⅱ）若存在，使，求a的取值范圍． 答案【（1）當(dāng)時(shí)，最小值為. （2）.】 變式訓(xùn)練 2.已知函數(shù). (1)求的單調(diào)區(qū)間； (2

16、)若對(duì)，都有，求的取值范圍。 解：(1)，令得 當(dāng)時(shí)，在和上遞增，在上遞減； 當(dāng)時(shí)，在和上遞減，在上遞增 （2）的取值范圍為。 2.（研究函數(shù)的零點(diǎn)存在問(wèn)題） 例1.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增. （Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值； （Ⅱ）若關(guān)于的方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸無(wú)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解：（Ⅰ）∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增， ∴為其極小值點(diǎn)，， （Ⅱ）由（1）得 可得函數(shù)的極大值為，極小值為 ∵關(guān)于的方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解，令，即關(guān)于的方程在上有三個(gè)

17、不同實(shí)數(shù)解，即的圖象與直線在上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，畫(huà)出的圖像，觀察可得 綜合①②得 例2.已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值－4，使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為， 求：（1）的解析式；（2）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍． （1）由題意得： ∴在上；在上；在上 因此在處取得極小值 ∴①，②，③ 由①②③聯(lián)立得：，∴ （2）設(shè)切點(diǎn)Q， 過(guò) 令，求得：，方程有三個(gè)根。 需： 故：；因此所求實(shí)數(shù)的范圍為： 課后練習(xí) 1.【北京市朝陽(yáng)區(qū)2020屆高三上學(xué)期期末理】已知函數(shù)． （Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）設(shè)

18、函數(shù)．若至少存在一個(gè)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋? ． …………………………………………………1分 （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，． 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即． 2.【北京市東城區(qū)2020屆高三上學(xué)期期末理】已知，函數(shù)． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，， 所以，.因此． 即曲線在點(diǎn)處的切線斜率為. 又， 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為， 即． （Ⅱ）因?yàn)?，所以? 令，得． ①若，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無(wú)最小值． ②若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，，

19、函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．………………………………10分 ③若，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減， 所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．…………………………………12分 綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上無(wú)最小值； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為． 3.【北京市房山區(qū)2020屆高三上學(xué)期期末理】知函數(shù) . （Ⅰ）若函數(shù)在處取得極值，求的值； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性. 解：（Ⅰ） 依題意有， 解得， 經(jīng)檢驗(yàn)， 符合題意， 所以， (Ⅱ) 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 解， 得 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)

20、， 所以減區(qū)間為，增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，解， 得， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 所以增區(qū)間為，，減區(qū)間為. 當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 所以增區(qū)間為，減區(qū)間為,. 綜上所述：當(dāng)時(shí), 減區(qū)間為，增區(qū)間為； 當(dāng)時(shí), 增區(qū)間為，，減區(qū)間為； 當(dāng)時(shí), 增區(qū)間為，減區(qū)間為，. 4.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為-3和0. （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若f(x)的極小值為，求f(x)在區(qū)間上的最大值. 【答案】解：（Ⅰ） 令， 因?yàn)?，所以的零點(diǎn)就是的零點(diǎn)，且與符號(hào)相同.又因?yàn)?，所以時(shí)，g(x)>0,即， ………………………4分 當(dāng)時(shí),g(x

21、)<0 ,即， …………………………………………6分 所以的單調(diào)增區(qū)間是（-3，0）,單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-3），（0，+∞）．……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，=-3是的極小值點(diǎn)，所以有 解得， 所以. 的單調(diào)增區(qū)間是（-3，0）,單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-3）,（0，+∞）， 為函數(shù)的極大值, 在區(qū)間上的最大值取和中的最大者. 而>5，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值是．.…14分 5.（本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù) （Ⅰ）若函數(shù)在處有極值為10，求b的值； （Ⅱ）若對(duì)于任意的，在上單調(diào)遞增，求b的最小值． 【答案】（Ⅰ），　于是，根據(jù)題設(shè)有 解得 或 當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)有極值點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)．所以?。? （Ⅱ）對(duì)任意，都成立， ……………7分 即對(duì)任意，都成立，即． 令，當(dāng)時(shí)，，于是；當(dāng)時(shí)，，于是， ．又 ，所以 ． 綜上，的最小值為．