2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五單元第八節(jié)正、余弦定理的應(yīng)用舉例

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1、第五單元 第八節(jié)正、余弦定理的應(yīng)用舉例 一、選擇題 1. 如圖，為了測(cè)量障礙物兩側(cè)A、B間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)．為了簡(jiǎn)便，測(cè)量時(shí)應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù)(　　) A．α，a，b 　　B．α，β，γ C．a(chǎn)，b，γ 　　D．a(chǎn)，b，β 【解析】　測(cè)得a，b，γ后，由余弦定理即可計(jì)算A、B間的距離． 【答案】　C 2．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α、β的關(guān)系為(　　) A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 【解析】　由仰角和俯角的定義知，α與β的余角為夾在兩水平線之間的內(nèi)錯(cuò)角關(guān)系，故α＝90°－β. 【答案】　C

2、 3．已知兩燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°的方向上，燈塔B在觀察站C的南偏東60°的方向上，則燈塔A在燈塔B的(　　) A．北偏東10° B．北偏西10° C．南偏東10° D．南偏西10° 【解析】　如圖，由題意知∠ACB＝80°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC＝50°.∵M(jìn)B∥CN，∴∠MBC＝∠NCB＝60°，∴∠MBA＝∠MBC－∠ABC＝10°，即燈塔A在燈塔B的北偏西10°方向上． 【答案】　B 4．(精選考題·池州模擬)一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在

3、船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時(shí)(　　) A．5海里 B．5 海里 C．10海里 D．10 海里 【解析】　 如圖所示，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，得AB＝5，所以這艘船的速度是＝10(海里/小時(shí))． 【答案】　C 5. 如圖所示，B、C、D在地平面同一直線上，DC＝10 m，從D、C兩地測(cè)得A的仰角分別為30°、45°，則點(diǎn)A距地面的距離等于(　　) A．10 m B．5 m C．5(－1) m D．5(＋1) m 【解析】　設(shè)點(diǎn)

4、A距地面的距離等于x，則BC＝x，AC＝x，在△ADC中，由正弦定理得＝，解得x＝5(＋1)． 【答案】　D 6. 如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為(　　) A．a(chǎn) km B.a km C.a km D．2a km 【解析】　易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a. 【答案】　B 7．一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68海

5、里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為(　　) A. 海里/小時(shí) B．34 海里/小時(shí) C. 海里/小時(shí) D．34 海里/小時(shí) 【解析】　如圖所示，在△PMN中，＝， ∴MN＝＝34，∴v＝＝ (海里/小時(shí))． 【答案】　A 二、填空題 8．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，則∠A＝________. 【解析】　由正弦定理＝，∴sinA＝. ∵BC＝2＜AC＝，∴A為銳角，∴∠A＝45°. 【答案】　45° 9．在△ABC中，BC＝1，∠B＝，當(dāng)△ABC的面積等于時(shí)，tanC＝________. 【解析】　S△ABC＝ac

6、sinB＝，∴c＝4， ∴b2＝a2＋c2－2accosB＝13， ∴cosC＝＝－，sinC＝， ∴tanC＝－＝－2. 【答案】?。? 10．(精選考題·舟山調(diào)研)甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的 倍，則甲船應(yīng)取________方向才能追上乙船． 【解析】　 如圖所示，設(shè)到C點(diǎn)甲船追上乙船，乙到C地用的時(shí)間為t，乙船速度為v，則BC＝tv，AC＝tv，B＝120°.由正弦定理知＝，∴＝，∴sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30°，故甲船應(yīng)取北偏東30°方向． 【答案】　北偏東30° 三、解答題 11．如

7、圖，A，B，C，D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°，30°，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°，AC＝0.1 km.試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離． 【解析】　在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1. 又因?yàn)椤螧CD＝180°－60°－60°＝60°， 故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD＝BA. 在△ABC中，＝， 即AB＝＝， 因此，BD＝(km)． 故B，D的距離為 km. 12. (精

8、選考題·陜西高考)如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)．現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20 海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？ 【解析】　由題意知AB＝5(3＋)(海里)， ∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB中，由正弦定理得＝， ∴DB＝＝ ＝＝＝10(海里)， 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋30°＝60°， BC＝20 海里， 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝ 300＋1 200－2×10×20×＝900， ∴CD＝30(海里)，則需要的時(shí)間t＝＝1(小時(shí))． ∴該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)．