云南省高考數(shù)學二輪專題復習 極限與導數(shù)

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1、極限與導數(shù) l 高考風向標 數(shù)學歸納法、數(shù)學歸納法應用舉例，數(shù)列的極限．函數(shù)的極限，極限的四則運算，函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì)． 導數(shù)的概念，導數(shù)的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導數(shù)．兩個函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)，復合函數(shù)的導數(shù)，基本導數(shù)公式．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值． l 典型題選講 例１求函數(shù)在[0，2]上的最大值和最小值. 講解　我們知道，在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值，于是，應用導數(shù)得 令 化簡為　　 解得． 當單調(diào)增加；當單調(diào)減少． 所以為函數(shù)的極大值． 又因為　所以　為函數(shù)在[0，2]上的最小值

2、，為函數(shù)在[0，2]上的最大值． 點評　本小題主要考查函數(shù)的導數(shù)計算，利用導數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)的最大值、最小值以及綜合運算能力． 例２設函數(shù) （1）求導數(shù); 并證明有兩個不同的極值點; （2）若不等式成立，求的取值范圍． 講解　 （I） 因此是極大值點，是極小值點. （II）因 又由（I）知 代入前面不等式，兩邊除以（1+a），并化簡得 點評　本題是２００４年重慶高考第２０題．我們可以看到由于導數(shù)的引入，使得三次函數(shù)成為高考命題的熱點內(nèi)容之一． 例３　設函數(shù) 其中常數(shù)m為整數(shù)． 　

3、(1) 　當m為何值時,??； (2) 　定理：　若函數(shù)g(x) 在[a, b ]上連續(xù),且g(a) 與g(b)異號,則至少存在一點x0∈(a,b),使g(x0)=0. 試用上述定理證明:當整數(shù)m>1時,方程f(x)= 0,在[e-ｍ-m ,e2ｍ-m ]內(nèi)有兩個實根． 講解?。ǎ保┖瘮?shù)f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)連續(xù)，且 ． 當x∈(-m,1-m)時,　，f(x)為減函數(shù),　f(x)>f(1-m)； 當x∈(1-m, +∞)時,　 ，f(x)為增函數(shù),　f(x)>f(1-m)． 根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1-m)=1-m為極小值，而且 對x∈(-m,

4、+∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m， 故當整數(shù)m≤1時，f(x) ≥1-m≥0． (２)由（I）知，當整數(shù)m>1時，f(1-m)=1-m<0, 函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù)． ， 由所給定理知，存在唯一的，而當整數(shù)m>1時， 類似地，當整數(shù)m>1時，函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號，由所給定理知，存在唯一的， 故當m>1時，方程f(x)=0在內(nèi)有兩個實根． 點評　本題是２００４年廣東高考第２１題，試題當中的定理是高等數(shù)學中的基本知識，這種給出新的情景，由此來考查學習的潛能，需要讀者在復習數(shù)學多多重視．

5、 例４　（1）求證； （2） 求證 ． 講解　　想辦法構(gòu)造函數(shù)，妙用導數(shù)知識來證明不等式． （1）令， 由 知， ． 于是，原不等式等價于． 一方面，令 ， 則有，當 ，有 從而可以知道，函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以有，即得　　 ． 另一面，令 ，則有 ，當時，有，從而可以知道，函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以有 ，即得． 綜上可知 　　?。? （2）聯(lián)系不等式（１）和（２），就會發(fā)現(xiàn)，令 時，不等式也成立，于是代入，將所得各不等式相加，得　　 ， 即 　　　?。? 點評　本題的解答中構(gòu)造的函數(shù)與２００４年高考全國２壓卷題中顯示的函數(shù)f(x)=ln(1+x

6、)－x沒有什么區(qū)別．有著高等數(shù)學背景的、如同２００４年江蘇卷的壓軸題相近的不等式證明題似乎是高考命題的又一新的開挖點，昆明市第一次統(tǒng)測21題就是典型例子． 例５× 過點作曲線（，，）的切線切點為，設點在軸上的投影是點；又過點作曲線的切線切點為，設點在軸上的投影是點；……；依此下去，得到一系列點，設點的橫坐標是． （1）求證：，； （2）求證：； （3）求證：（注：）． 講解：（１）為了求切線的斜率，只要對求導數(shù)，得． 若切點是，則切線方程是． 當時，切線過點，即，得；　　　　　　 當時，切線過點，即，得． 所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，． （２）應用二項式定理，

7、得 　　　　　　　　　　．　　　 （３）記，則， 兩式錯位相減，得 ， 　　　　　　， 故 　　　?。　　　　　　? 點評：本題綜合解析幾何、導數(shù)、數(shù)列、二項式定理、不等式等知識點，在解答時，需要較強的思維能力和排除萬難的吃苦精神．將函數(shù)與數(shù)列相綜合也是高考命題的一個關(guān)注的方向，而數(shù)列的不等式證明又是?？疾凰サ脑掝}． l 針對性演練 1. 的值為（ ）． A． B.0 C． D.1 2. 的值等于（　?。? 　?。粒　　　　　。拢　　。茫　　　　。?/p>

8、． 3. 已知等于（　　）． 　?。粒薄　　　　　。拢瓻　　　　?。茫　　　　　。模? 4. f / (3)= —2,　f(3)=2，則（　　）. 　　　A.－4 　B. 0 C.8 D.不存在 5. 下列函數(shù)在x ＝０處連續(xù)的是（　?。? 　　?。粒　　　　　。拢? 　　?。茫　　　　　　　　　　　。模? 6. 如圖，正方形上連接等腰直角三角形，直角三角形邊上再連接正方形，……，無限重復.設正方形原面積為……，三角形的面積為，……，當?shù)倪呴L為2時，這些正方形和三角形的面積總和為（ ）　 A．10　　　　　B．11

9、　　　　　 C．12　　　　　 D．13 7. 函數(shù)是定義在R上的可導函數(shù)，則為R上的嚴格單調(diào)增函數(shù)是的（ ）． 　　Ａ．充分不必要條件 Ｂ．必要不充分條件 　?。茫湟獥l件 Ｄ．既不充分又不必要條件 8. 已知函數(shù)，則等于（ ）． 　?。粒? B． C． D． 9. 已知函數(shù)既存在極大值又存在最小值，則實數(shù)m的取值范圍是（　?。? 　　Ａ　　　　　　　　　　　　　?。拢? 　　Ｃ． 　　　　 D. 10. 點P

10、是曲線上任意一點，則點P到直線的最小距離為（ ）． 　　　A.1 B. C. D. x y O A x y O B x y O C x y O D x y O 11. 設函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導，y=f(x)的圖象如圖所示，則導函數(shù)y=f ￠(x)可能為（　?。? f(x) 12. 若點Ｐ在曲線上移動，經(jīng)過點Ｐ的切線的傾斜角為，則的取值范圍是（　?。? 　　?。粒　　　　　　　　　　　。拢? 　　?。茫　　　　　　　　　　。茫? 13.

11、 如圖P1是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P1的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形P2，然后依次剪去一個更小半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圓形P3，P4，…..，Pn，…,記紙板Pn的面積為，則= _. P1 P2 P3 P4 14. 已知數(shù)列的前項和，其中是與無關(guān)的常數(shù)，且若存在，則__________. 15. 曲線的切線中，斜率最小的切線方程是　　　　 　　　?。硏－y－11＝０. １６．某汽車啟動階段的路程函數(shù)為，則秒時，汽車的瞬時速度是 . 　　　　　　　　4. 17．已知.設P：，Q：當時，函數(shù)恒成立. 如果P

12、和Q有且僅有一個正確，求的取值范圍. 18. 已知函數(shù)，] （1）判斷的單調(diào)性；（2）求；（3）求出該函數(shù)的值域. 19．已知函數(shù) （1）若，函數(shù)的圖象能否總在直線的下方？說明理由； （2）若函數(shù)在[0，2]上是增函數(shù)，是方程=0的一個根，求證：； （3）若函數(shù)圖象上任意不同的兩點連線斜率小于1，求實數(shù)a的取值范圍. 20．甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠. 由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x（元）與年產(chǎn)量t（噸）滿足函數(shù)關(guān)系.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價格）， （1）

13、將乙方的年利潤w（元）表示為年產(chǎn)量t（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量； （2）甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額（元），在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠付價格s是多少？ 21．已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)． （１）求實數(shù)a的值組成的集合A； （２）設關(guān)于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x1、x2.試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由． ２２．如圖，A、B為函數(shù)圖像上兩

14、點，且AB∥x軸，點M（1，m）（m>3）是△ABC邊AC的中點． （1）設點B的橫坐標為t，△ABC的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式； （2）求函數(shù)的最大值，并求出相應的點C的坐標． 參考答案 １．A.　２．D.３．C.４．C.５．A. ６．A. ７．B.８．D. ９．B. １０．B. １１．D. １２．B. 13．．14．1．　15．３x－y－11＝０．16． 4． 17. ．當時，因為，故函數(shù)在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∴在的最小值為．當時，函數(shù)恒成立.．如果P正確，且Q不正確，則．如果P不正確，且Q正確，則．所以的取值范圍為． 18. (1

15、).在是減函數(shù).(2) .(3)由(1) (2)知值域為. 19. （1）不能． （2）略． （3） 20．（1）因為賠付價格為s元/噸,所以乙方的實際年利潤為：. 由，令得. 當時，；當時，所以時， 取得最大值.（可略） 因此乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量（噸）. （2）設甲方凈收入為元，則. 將代入上式，得到甲方凈收入與賠付價格之間的函數(shù)關(guān)系式 .又，令，得.當時，；當時， ，所以時，取得最大值. 因此甲方向乙方要求賠付價格（元/噸）時，獲最大凈收入。 21．（１）f＇(x)== ，∵f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)， ∴f＇(x)≥0對x∈[－

16、1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立. ① 設(x)=x2－ax－2，(1)=1－a－2≤0， ① (－1)=1+a－2≤0. －1≤a≤1， ∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當a=1時，f＇(-1)=0以及當a=－1時， f＇(1)=0．∴A={a|－1≤a≤1}. （２）由=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+8>0 ∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的兩非零實根，有x1+x2=a， x1x2=－2， 從而|x1－x2|==. ∵－1≤a≤1，∴|x1－x2|=≤3.要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈

17、A及t∈[－1，1]恒成立，當且僅當m2+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，即m2+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立m≥2或m≤－2.所以，存在實數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}. ２２．（1）設B，A，，M是△ABC邊AC的中點，則 ， 所以?。? （2）∵，M（1，m）是△ABC邊AC的中點， ∴　　　　　　∴． 當時， ． 當且僅當，即時，S的最大值是，此時點C的坐標是． 當m>9時，用導數(shù)知識可證：在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)， 故時，，此時．