安徽省2020年高考數學第二輪復習 專題七概率與統計第2講 概率、統計與統計案例 理

專題七 概率與統計第2講 概率、統計與統計案例真題試做1(2020·山東高考，理4)采用系統抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調查為此將他們隨機編號為1,2，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入區(qū)間1,450的人做問卷A，編號落入區(qū)間451,750的人做問卷B，其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數為( )A7 B9 C10 D152(2020·陜西高考，理6)從甲乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機，對其銷售額進行統計，統計數據用莖葉圖表示(如圖所示)設甲乙兩組數據的平均數分別為甲，乙，中位數分別為m甲，m乙，則( )A.甲乙，m甲m乙B.甲乙，m甲m乙C.甲乙，m甲m乙D.甲乙，m甲m乙3(2020·廣東高考，理7)從個位數與十位數之和為奇數的兩位數中任取一個，其個位數為0的概率是( )A. B.C. D.4(2020·湖北高考，理20)根據以往的經驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表：降水量XX<300300X<700700X<900X900工期延誤天數Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延誤天數Y的均值與方差；(2)在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率考向分析概率部分主要考查了概率的概念、條件概率、互斥事件的概率加法公式、對立事件概率的求法，以及古典概型與幾何概型的計算，均屬容易題統計部分選擇、填空都是獨立考查本節(jié)知識，解答題均與概率的分布列綜合預測下一步概率部分會更加注重實際問題背景，考查分析、推理能力，統計部分在直方圖、莖葉圖、相關性部分都可單獨命題，且多為一個小題，解答題仍會與分布列結合熱點例析熱點一 隨機事件的概率【例1】(2020·江西高考，理18)如圖，從A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點，將這3個點及原點O兩兩相連構成一個“立體”，記該“立體”的體積為隨機變量V(如果選取的3個點與原點在同一個平面內，此時“立體”的體積V0)(1)求V0的概率；(2)求V的分布列及數學期望E(V)規(guī)律方法高考中，概率解答題一般有兩大方向一、以頻率分布直方圖為載體，考查統計學中常見的數據特征：如平均數、中位數、頻數、頻率等或古典概型；二、以應用題為載體，考查條件概率、獨立事件的概率、隨機變量的期望與方差等需要注意第一種方向的考查變式訓練1(2020·北京昌平二模，理16)某游樂場將要舉行狙擊移動靶比賽比賽規(guī)則是：每位選手可以選擇在A區(qū)射擊3次或選擇在B區(qū)射擊2次，在A區(qū)每射中一次得3分，射不中得0分；在B區(qū)每射中一次得2分，射不中得0分已知參賽選手甲在A區(qū)和B區(qū)每次射中移動靶的概率分別是和p(0<p<1)(1)若選手甲在A區(qū)射擊，求選手甲至少得3分的概率；(2)我們把在A、B兩區(qū)射擊得分的數學期望高者作為選擇射擊區(qū)的標準，如果選手甲最終選擇了在B區(qū)射擊，求p的取值范圍熱點二 古典概型與幾何概型【例2】(2020·北京高考，理2)設不等式組表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是( )A. B. C. D.規(guī)律方法較為簡單的問題可以直接使用古典概型公式計算，較為復雜的概率問題的處理方法：一是轉化為幾個互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式進行求解；二是采用間接解法，先求事件A的對立事件的概率，再由P(A)1P()求事件A的概率變式訓練2(1)在長為18 cm的線段AB上任取一點M，并以線段AM為邊作正方形，則這個正方形的面積介于36 cm2與81 cm2之間的概率為( )A. B. C. D.(2)(2020·安徽江南十校聯考，理4)現有甲、乙、丙、丁四名義工到三個不同的社區(qū)參加公益活動若每個社區(qū)至少一名義工，則甲、乙兩人被分到不同社區(qū)的概率為( )A. B. C. D.熱點三 線性相關【例3】設某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系，根據一組樣本數據(xi，yi)(i1，2，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為0.85x85.71，則下列結論中不正確的是( )Ay與x具有正的線性相關關系B回歸直線過樣本點的中心(，)C若該大學某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kgD若該大學某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg規(guī)律方法線性回歸的基本思想及應用主要按以下步驟完成：畫散點圖，檢驗是否線性相關；數據計算，求回歸方程；利用回歸方程，進行科學預測變式訓練3假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y(萬元)有如下的統計資料：使用年限x23456維修費用y2.23.85.56.57.0若由資料知y對x呈線性相關關系試求：(1)線性回歸方程x的回歸系數，；(2)估計使用年限為10年時，維修費用是多少？熱點四 獨立性檢驗為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學從理工類專業(yè)的A班和文史類專業(yè)的B班各抽取20名同學參加環(huán)保知識測試兩個班同學的成績(百分制)的莖葉圖如圖所示：按照大于或等于80分為優(yōu)秀，80分以下為非優(yōu)秀統計成績(1)根據以上數據完成下面的2×2列聯表：成績與專業(yè)列聯表優(yōu)秀非優(yōu)秀總計A班20B班20總計40(2)能否有95%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關？附：K2P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828規(guī)律方法獨立性檢驗是指利用2×2列聯表，通過計算隨機變量K2來確定在多大程度上兩個分類變量有關系的方法K2值越大，說明兩個分類變量X與Y有關系的可能性越大要會用倍度表判斷X與Y有關系的可信程度變式訓練4為調查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500位老年人，結果如下：(1)估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2的觀測值k.思想滲透數形結合思想解答統計問題用數形結合思想解答的統計問題主要有：(1)通過頻率分布直方圖研究數據分布的總體趨勢(2)根據樣本數據散點圖確定兩個變量是否存在相關關系求解時注意的問題：(1)頻率分布直方圖中縱軸表示，每個小長方形的面積等于這一組的頻率(2)在頻率分布直方圖中，組距是一個固定值，故各小長方形高的比就是頻率之比【典型例題】下表給出了某校120名12歲男孩的身高資料(單位：cm)區(qū)間界限122,126)126,130)130,134)134,138)138,142)人數58102233區(qū)間界限142,146)146,150)150,154)154,158)人數201165(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)根據樣本的頻率分布圖，估計身高小于134 cm的人數約占總人數的百分比解：(1)頻率分布表如下：區(qū)間人數頻數頻率122,126)5126,130)8130,134)10134,138)22138,142)33142,146)20146,150)11150,154)6154,158)5(2)頻率分布直方圖如圖：(3)由圖估計，身高小于134 cm的學生數約占總數的19%.1某企業(yè)共有職工150人，其中高級職稱15人，中級職稱45人，初級職稱90人，現采用分層抽樣抽取容量為30的樣本，則抽取各職稱的人數分別為( )A5,10,15 B3,9,18 C3,10,17 D5,9,162(2020·江西高考，理9)樣本(x1，x2，xn)的平均數為，樣本(y1，y2，ym)的平均數為()若樣本(x1，x2，xn，y1，y2，ym)的平均數(1)，其中0<<，則n，m的大小關系為( )An<m Bn>m Cnm D不能確定3(2020·安徽高考，理5)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統計圖如圖所示，則( )A甲的成績的平均數小于乙的成績的平均數B甲的成績的中位數等于乙的成績的中位數C甲的成績的方差小于乙的成績的方差D甲的成績的極差小于乙的成績的極差4(2020·福建高考，理6)如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為( )A. B. C. D.5在抽查某產品的尺寸的過程中，將其尺寸分成若干組，a，b是其中一組，抽查出的個體數在該組上的頻率是m，該組在頻率分布直方圖上的高為h，則|ab|等于( )Ah·m B.C. D與m，h無關6設隨機變量服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(<2a3)P(>a2)，則a的值為( )A. B. C5 D37(2020·安徽合肥第一次質檢，理17)某籃球隊在一場比賽中，11名隊員得分情況如下：2 4 5 7 8 9 13 14 15 21 23(1)請設計適當的莖葉圖表示該組數據；(2)計算該隊隊員在本場比賽中得分的平均值；(3)從上述得分超過10分的隊員中任取2人，記選取2人中得分超過20分的人數為，求的分布列和數學期望8某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(簡稱系統)A和B，系統A和系統B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和p.(1)若在任意時刻至少有一個系統不發(fā)生故障的概率為，求p的值；(2)設系統A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數為隨機變量，求的概率分布列及數學期望E()參考答案命題調研·明晰考向真題試做1C 解析：由題意可得，抽樣間隔為30，區(qū)間451,750恰好為10個完整的組，所以做問卷B的有10人，故選C.2B 解析：由題圖可得甲21.562 5，m甲20，乙28.562 5，m乙29，所以甲乙，m甲m乙故選B.3D 解析：在個位數與十位數之和為奇數的兩位數中：(1)當個位數是偶數時，由分步計數乘法原理知，共有5×525個；(2)當個位數是奇數時，由分步計數乘法原理知，共有4×520個綜上可知，基本事件總數共有252045(個)，滿足條件的基本事件有5×15(個)，概率P.4解：(1)由已知條件和概率的加法公式有：P(X<300)0.3，P(300X<700)P(X<700)P(X<300)0.70.30.4，P(700X<900)P(X<900)P(X<700)0.90.70.2.P(X900)1P(X<900)10.90.1.所以Y的分布列為：Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)0×0.32×0.46×0.210×0.13；D(Y)(03)2×0.3(23)2×0.4(63)2×0.2(103)2×0.19.8.故工期延誤天數Y的均值為3，方差為9.8.(2)由概率的加法公式，P(X300)1P(X<300)0.7，又P(300X<900)P(X<900)P(X<300)0.90.30.6.由條件概率，得P(Y6|X300)P(X<900|X300).故在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率是.精要例析·聚焦熱點熱點例析【例1】 解：(1)從6個點中隨機選取3個點總共有C6320種取法，選取的3個點與原點在同一個平面內的取法有C31C4312種，因此V0的概率為P(V0).(2)V的所有可能取值為0，因此V的分布列為V0P由V的分布列可得E(V)0×××××.【變式訓練1】 解：(1)設“選手甲在A區(qū)射擊得0分”為事件M，“選手甲在A區(qū)射擊至少得3分”為事件N，則事件M與事件N為對立事件，P(M)C30·0·3，P(N)1P(M)1.(2)設選手甲在A區(qū)射擊的得分為，則的可能取值為0,3,6,9.P(0)3；P(3)C31··2；P(6)C32·2·；P(9)3.所以的分布列為0369PE()0×3×6×9×.設選手甲在B區(qū)射擊的得分為，則的可能取值為0,2,4.P(0)(1p)2；P(2)C21·p·(1p)2p(1p)；P(4)p2.所以的分布列為024P(1p)22p(1p)p2E()0×(1p)22·2p(1p)4·p24p.根據題意，有E()>E()，4p>，<p<1.【例2】 D解析：由題意知此概型為幾何概型，設所求事件為A，如圖所示，邊長為2的正方形區(qū)域為總度量，滿足事件A的是陰影部分區(qū)域A，故由幾何概型的概率公式得：P(A)=.【變式訓練2】 (1)D 解析：AM的長介于69 cm之間，這是一個幾何概型，p.(2)B 解析：1，故選B.【例3】 D 解析：D選項中，若該大學某女生身高為170 cm，則可斷定其體重約為：0.85×17085.7158.79(kg)故D不正確【變式訓練3】 解：(1)制表如下：i12345合計xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.34，5，i290，i2140.78，iyi112.3于是有1.23；51.23×40.08.(2)回歸直線方程為1.23x0.08，當x10年時，1.23×100.0812.30.0812.38(萬元)，即估計使用10年時，維修費用是12.38萬元【例4】 解：(1)成績與專業(yè)列聯表優(yōu)秀非優(yōu)秀總計A班14620B班71320總計211940(2)根據列聯表中的數據，得到k4.912>3.841.所以有95%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關【變式訓練4】 解：(1)調查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估計值為14%.(2)K2的觀測值k9.967.由于9.967>6.635，所以有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關創(chuàng)新模擬·預測演練1B 解析：高級、中級、初級職稱的人數所占比例分別為0.1，0.3，0.6.故選B.2A 解析：由已知，得x1x2xnn，y1y2ymm，(1)，整理，得()m(1)n0，m(1)n0，即.又0<<，0<<1，0<<1.又n，mN，n<m.3C 解析：由圖可得，甲6，乙6，故A錯；而甲的成績的中位數為6，乙的成績的中位數為5，故B錯；s甲22，s乙22.4，故C正確；甲的成績的極差為4，乙的成績的極差也為4，故D錯4C 解析：由圖象知陰影部分的面積是(x)dx，所求概率為.5C 解析：頻率分布直方圖中，高度，所以|ab|，故選C.6A 解析：N(3,4)，P(<2a3)P(>a2)，2a3與a2關于3對稱，3，解得a.7解：(1)該隊隊員在本場比賽中得分的莖葉圖如下(2)經計算該隊隊員在本場比賽中得分的平均值11.(3)的可能取值為0,1,2，P(0)，P(1)，P(2)，E()0.8.8解：(1)設“至少有一個系統不發(fā)生故障”為事件C，那么1P()1·p.解得p.(2)由題意，P(0)C303，P(1)C312·，P(2)C32·2，P(3)C333.所以，隨機變量的概率分布列為0123P故隨機變量的數學期望：E()0×1×2×3×.