安徽省2020年高考數(shù)學第二輪復習 專題七概率與統(tǒng)計第2講 概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 理

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1、專題七 概率與統(tǒng)計第2講 概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 真題試做 1．(2020·山東高考，理4)采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調查．為此將他們隨機編號為1,2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入區(qū)間[1,450]的人做問卷A，編號落入區(qū)間[451,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為( )． A．7 B．9 C．10 D．15 2．(2020·陜西高考，理6)從甲乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機，對其銷售額進行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據用莖葉圖表示(如圖所示)．

2、設甲乙兩組數(shù)據的平均數(shù)分別為甲，乙，中位數(shù)分別為m甲，m乙，則( )． A.甲＜乙，m甲＞m乙 B.甲＜乙，m甲＜m乙 C.甲＞乙，m甲＞m乙 D.甲＞乙，m甲＜m乙 3．(2020·廣東高考，理7)從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個，其個位數(shù)為0的概率是( )． A. B. C. D. 4．(2020·湖北高考，理20)根據以往的經驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表： 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延誤天數(shù)Y 0 2 6 10 歷年

3、氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求： (1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差； (2)在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率． 考向分析 概率部分主要考查了概率的概念、條件概率、互斥事件的概率加法公式、對立事件概率的求法，以及古典概型與幾何概型的計算，均屬容易題．統(tǒng)計部分選擇、填空都是獨立考查本節(jié)知識，解答題均與概率的分布列綜合．預測下一步概率部分會更加注重實際問題背景，考查分析、推理能力，統(tǒng)計部分在直方圖、莖葉圖、相關性部分都可單獨命題，且多為一個小題，解答題仍會與分布列結合． 熱點例析 熱點一 隨

4、機事件的概率 【例1】(2020·江西高考，理18)如圖，從A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點，將這3個點及原點O兩兩相連構成一個“立體”，記該“立體”的體積為隨機變量V(如果選取的3個點與原點在同一個平面內，此時“立體”的體積V＝0)． (1)求V＝0的概率； (2)求V的分布列及數(shù)學期望E(V)． 規(guī)律方法高考中，概率解答題一般有兩大方向．一、以頻率分布直方圖為載體，考查統(tǒng)計學中常見的數(shù)據特征：如平均數(shù)、中位數(shù)、頻數(shù)、頻率等或古典概型；二、以應用題為載體，考查條件概率、獨

5、立事件的概率、隨機變量的期望與方差等．需要注意第一種方向的考查． 變式訓練1(2020·北京昌平二模，理16)某游樂場將要舉行狙擊移動靶比賽．比賽規(guī)則是：每位選手可以選擇在A區(qū)射擊3次或選擇在B區(qū)射擊2次，在A區(qū)每射中一次得3分，射不中得0分；在B區(qū)每射中一次得2分，射不中得0分．已知參賽選手甲在A區(qū)和B區(qū)每次射中移動靶的概率分別是和p(0

6、)設不等式組表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是( )． A. B. C. D. 規(guī)律方法較為簡單的問題可以直接使用古典概型公式計算，較為復雜的概率問題的處理方法：一是轉化為幾個互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式進行求解；二是采用間接解法，先求事件A的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求事件A的概率． 變式訓練2(1)在長為18 cm的線段AB上任取一點M，并以線段AM為邊作正方形，則這個正方形的面積介于36 cm2與81 cm2之間的概率為( )． A. B. C.

7、D. (2)(2020·安徽江南十校聯(lián)考，理4)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名義工到三個不同的社區(qū)參加公益活動．若每個社區(qū)至少一名義工，則甲、乙兩人被分到不同社區(qū)的概率為( )． A. B. C. D. 熱點三 線性相關 【例3】設某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系，根據一組樣本數(shù)據(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為＝0.85x－85.71，則下列結論中不正確的是( )． A．y與x具有正的線性相關關系 B．回歸直線過樣本點的中心(，) C．若該大學某女生身高增加1 cm，則其體重約增

8、加0.85 kg D．若該大學某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg 規(guī)律方法線性回歸的基本思想及應用主要按以下步驟完成：①畫散點圖，檢驗是否線性相關；②數(shù)據計算，求回歸方程；③利用回歸方程，進行科學預測． 變式訓練3假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計資料： 使用年限x 2 3 4 5 6 維修費用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由資料知y對x呈線性相關關系． 試求：(1)線性回歸方程＝x＋的回歸系數(shù)，； (2)估計使用年限為10年時，維修費用是多少？ 熱點四 獨立性檢驗 為了普及環(huán)保知

9、識，增強環(huán)保意識，某大學從理工類專業(yè)的A班和文史類專業(yè)的B班各抽取20名同學參加環(huán)保知識測試．兩個班同學的成績(百分制)的莖葉圖如圖所示： 按照大于或等于80分為優(yōu)秀，80分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績． (1)根據以上數(shù)據完成下面的2×2列聯(lián)表： 成績與專業(yè)列聯(lián)表 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 A班 20 B班 20 總計 40 (2)能否有95%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關？ 附：K2＝ P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 規(guī)律方法獨立性檢驗是指利用2×2列聯(lián)表，通

10、過計算隨機變量K2來確定在多大程度上兩個分類變量有關系的方法．K2值越大，說明兩個分類變量X與Y有關系的可能性越大．要會用倍度表判斷X與Y有關系的可信程度． 變式訓練4為調查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500位老年人，結果如下： (1)估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例； (2)能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？ 附： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2的觀測值k＝. 思想滲透 數(shù)形結合思想——解答統(tǒng)計問

11、題 用數(shù)形結合思想解答的統(tǒng)計問題主要有： (1)通過頻率分布直方圖研究數(shù)據分布的總體趨勢． (2)根據樣本數(shù)據散點圖確定兩個變量是否存在相關關系． 求解時注意的問題： (1)頻率分布直方圖中縱軸表示，每個小長方形的面積等于這一組的頻率． (2)在頻率分布直方圖中，組距是一個固定值，故各小長方形高的比就是頻率之比． 【典型例題】下表給出了某校120名12歲男孩的身高資料．(單位：cm) 區(qū)間 界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) 人數(shù) 5 8 10 22 33 區(qū)間 界限 [14

12、2,146) [146,150) [150,154) [154,158) 人數(shù) 20 11 6 5 (1)列出樣本的頻率分布表； (2)畫出頻率分布直方圖； (3)根據樣本的頻率分布圖，估計身高小于134 cm的人數(shù)約占總人數(shù)的百分比． 解：(1)頻率分布表如下： 區(qū)間人數(shù) 頻數(shù) 頻率 [122,126) 5 [126,130) 8 [130,134) 10 [134,138) 22 [138,142) 33 [142,146) 20 [146,150) 11 [150,154) 6 [15

13、4,158) 5 (2)頻率分布直方圖如圖： (3)由圖估計，身高小于134 cm的學生數(shù)約占總數(shù)的19%. 1．某企業(yè)共有職工150人，其中高級職稱15人，中級職稱45人，初級職稱90人，現(xiàn)采用分層抽樣抽取容量為30的樣本，則抽取各職稱的人數(shù)分別為( )． A．5,10,15 B．3,9,18 C．3,10,17 D．5,9,16 2．(2020·江西高考，理9)樣本(x1，x2，…，xn)的平均數(shù)為，樣本(y1，y2，…，ym)的平均數(shù)為(≠)．若樣本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均數(shù)＝α＋(1－α)，其中0<α<，

14、則n，m的大小關系為( )． A．nm C．n＝m D．不能確定 3．(2020·安徽高考，理5)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則( )． A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù) B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù) C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差 D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差 4．(2020·福建高考，理6)如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為( )． A. B. C. D. 5．在抽查

15、某產品的尺寸的過程中，將其尺寸分成若干組，[a，b]是其中一組，抽查出的個體數(shù)在該組上的頻率是m，該組在頻率分布直方圖上的高為h，則|a－b|等于( )． A．h·m B. C. D．與m，h無關 6．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，則a的值為( )． A. B. C．5 D．3 7．(2020·安徽合肥第一次質檢，理17)某籃球隊在一場比賽中，11名隊員得分情況如下： 2 4 5 7 8 9 13 14 15 21 23 (1)請設計適當?shù)那o葉圖表示該組數(shù)據； (2)計算該隊隊

16、員在本場比賽中得分的平均值； (3)從上述得分超過10分的隊員中任取2人，記選取2人中得分超過20分的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望． 8．某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和p. (1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值； (2)設系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量ξ，求ξ的概率分布列及數(shù)學期望E(ξ)． 參考答案 命題調研·明晰考向 真題試做 1．C 解析：由題意可得，抽樣間隔為30，區(qū)間[451,750]恰好為10個完整的組，所以做問卷B的有10人，故選C. 2

17、．B 解析：由題圖可得甲＝＝21.562 5，m甲＝20， 乙＝＝28.562 5，m乙＝29， 所以甲＜乙，m甲＜m乙． 故選B. 3．D 解析：在個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中： (1)當個位數(shù)是偶數(shù)時，由分步計數(shù)乘法原理知，共有5×5＝25個； (2)當個位數(shù)是奇數(shù)時，由分步計數(shù)乘法原理知，共有4×5＝20個． 綜上可知，基本事件總數(shù)共有25＋20＝45(個)， 滿足條件的基本事件有5×1＝5(個)， ∴概率P＝＝. 4．解：(1)由已知條件和概率的加法公式有： P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.

18、3＝0.4， P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2. P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y的分布列為： Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3； D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8. (2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7， 又P(300≤X<90

19、0)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6. 由條件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝. 故在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率是. 精要例析·聚焦熱點 熱點例析 【例1】 解：(1)從6個點中隨機選取3個點總共有C63＝20種取法，選取的3個點與原點在同一個平面內的取法有C31C43＝12種，因此V＝0的概率為P(V＝0)＝＝. (2)V的所有可能取值為0，，，，，因此V的分布列為 V 0 P 由V的分布列可得 E(V)＝0×＋×＋×＋×＋×＝. 【變

20、式訓練1】 解：(1)設“選手甲在A區(qū)射擊得0分”為事件M，“選手甲在A區(qū)射擊至少得3分”為事件N，則事件M與事件N為對立事件，P(M)＝C30·0·3＝， P(N)＝1－P(M)＝1－＝. (2)設選手甲在A區(qū)射擊的得分為ξ，則ξ的可能取值為0,3,6,9. P(ξ＝0)＝3＝；P(ξ＝3)＝C31··2＝； P(ξ＝6)＝C32·2·＝； P(ξ＝9)＝3＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 3 6 9 P ∴E(ξ)＝0×＋3×＋6×＋9×＝. 設選手甲在B區(qū)射擊的得分為η，則η的可能取值為0,2,4. P(η＝0)＝(1－p)2；P(η＝2)＝C

21、21·p·(1－p)＝2p(1－p)；P(η＝4)＝p2. 所以η的分布列為 η 0 2 4 P (1－p)2 2p(1－p) p2 ∴E(η)＝0×(1－p)2＋2·2p(1－p)＋4·p2＝4p. 根據題意，有E(η)>E(ξ)， ∴4p>，∴

22、【例3】 D 解析：D選項中，若該大學某女生身高為170 cm，則可斷定其體重約為：0.85×170－85.71＝58.79(kg)． 故D不正確． 【變式訓練3】 解：(1)制表如下： i 1 2 3 4 5 合計 xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 ＝4，＝5， i2＝90，i2＝140.78，iyi＝112.3 于是有＝＝＝1.23； ＝－＝5－1.23×4＝0.08. (2)回

23、歸直線方程為 ＝1.23x＋0.08， 當x＝10年時， ＝1.23×10＋0.08＝12.3＋0.08＝12.38(萬元)，即估計使用10年時，維修費用是12.38萬元． 【例4】 解：(1)成績與專業(yè)列聯(lián)表 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 A班 14 6 20 B班 7 13 20 總計 21 19 40 (2)根據列聯(lián)表中的數(shù)據，得到 k＝≈4.912>3.841. 所以有95%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關． 【變式訓練4】 解：(1)調查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估計值為14%

24、. (2)K2的觀測值 k＝≈9.967. 由于9.967>6.635，所以有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關． 創(chuàng)新模擬·預測演練 1．B 解析：高級、中級、初級職稱的人數(shù)所占比例分別為＝0.1，＝0.3，＝0.6.故選B. 2．A 解析：由已知，得x1＋x2＋…＋xn＝n，y1＋y2＋…＋ym＝m， ＝＝＝α＋(1－α)， 整理，得(－)[αm＋(α－1)n]＝0， ∵≠， ∴αm＋(α－1)n＝0，即＝. 又0<α<，∴0<<1， ∴0<<1. 又n，m∈N＋，∴n

25、數(shù)為6，乙的成績的中位數(shù)為5，故B錯； s甲2＝ ＝2， s乙2＝＝2.4，故C正確；甲的成績的極差為4，乙的成績的極差也為4，故D錯． 4．C 解析：∵由圖象知陰影部分的面積是(－x)dx＝＝－＝，∴所求概率為＝. 5．C 解析：頻率分布直方圖中，＝高度，所以|a－b|＝，故選C. 6．A 解析：∵ξ～N(3,4)，P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，∴2a－3與a＋2關于μ＝3對稱， ∴＝3，解得a＝. 7．解：(1)該隊隊員在本場比賽中得分的莖葉圖如下． (2)經計算該隊隊員在本場比賽中得分的平均值＝11. (3)ξ的可能取值為0,1,2， P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， ∴E(ξ)＝＋＝0.8. 8．解：(1)設“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么 1－P()＝1－·p＝. 解得p＝. (2)由題意，P(ξ＝0)＝C303＝， P(ξ＝1)＝C312·＝， P(ξ＝2)＝C32·2＝， P(ξ＝3)＝C333＝. 所以，隨機變量ξ的概率分布列為 ξ 0 1 2 3 P 故隨機變量ξ的數(shù)學期望： E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.