安徽省2020年高考數學第二輪復習 專題二 函數與導數第1講 函數圖象與性質 文

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1、專題二　函數與導數第1講　函數圖象與性質 真題試做 1．(2020·山東高考，文3)函數f(x)＝＋的定義域為(　　)． A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2] 2．(2020·天津高考，文6)下列函數中，既是偶函數，又在區(qū)間(1,2)內是增函數的為(　　)． A．y＝cos 2x，x∈R B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0 C．y＝，x∈R D．y＝x3＋1，x∈R 3．(2020·山東高考，文10)函數y＝的圖象大致為(　　)． 4．(2020·四川高考，文4)函數y＝

2、ax－a(a＞0，且a≠1)的圖象可能是(　　)． 5．(2020·湖北高考，文6)已知定義在區(qū)間[0,2]上的函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝－f(2－x)的圖象為(　　)． 6．(2020·安徽高考，文13)若函數f(x)＝|2x＋a|的單調遞增區(qū)間是[3，＋∞)，則a＝__________. 考向分析 高考對函數圖象與性質的考查主要體現(xiàn)在函數的定義域、值域、解析式、單調性、奇偶性、周期性等方面．題型以選擇題、填空題為主，一般屬中檔題．函數圖象考查比較靈活，涉及知識點較多，且每年均有創(chuàng)新，試題考查角度有兩個方面，一是函數解析式與函數圖象的對應關系；二是利用

3、圖象研究函數性質、方程及不等式的解等，綜合性較強，望同學們加強訓練． 熱點例析 熱點一　函數及其表示 (1)函數f(x)＝＋lg(1＋x)的定義域是(　　)． A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) (2)已知函數f(x)＝若f(f(0))＝4a，則實數a等于(　　)． A. B. C．2 D．0 規(guī)律方法 1.根據具體函數y＝f(x)求定義域時，只要構建使解析式有意義的不等式(組)求解即可． 2．根據抽象函數求定義域時： (1)若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，其復合函

4、數f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函數f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域． 3．求f(g(x))類型的函數值時，應遵循先內后外的原則，而對于分段函數的求值問題，必須依據條件準確地找出利用哪一段求解．特別地，對具有周期性的函數求值要用好其周期性． 變式訓練1 已知實數a≠0，函數f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為__________． 熱點二　函數圖象及其應用 (1)函數y＝的圖象與函數y＝2sin πx(－2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于(　　)． A．2 B

5、．4 C．6 D．8 (2)(2020·安徽江南十校聯(lián)考，文7)已知關于x的方程|x2－6x|＝a(a＞0)的解集為p，則p中所有元素的和可能是(　　)． A．3,6,9 B．6,9,12 C．9,12,15 D．6,12,15 規(guī)律方法 (1)作函數的圖象的基本思想方法大致有三種：①通過函數的圖象變換利用已知函數的圖象作圖；②對函數解析式進行恒等變換，轉化成已知方程對應的曲線；③通過研究函數的性質明確函數圖象的位置和形狀． (2)已知函數的解析式選擇其對應的圖象時，一般是首先通過研究函數的定義域、值域、單調性、奇偶性等性質以及圖象經過的特殊點等來獲

6、得相應的圖象特征，然后對照圖象特征選擇正確的圖象． (3)研究兩個函數交點的橫坐標或縱坐標之和，常利用函數的對稱性，如中心對稱或軸對稱． 變式訓練2 設f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數，如圖表示該函數在區(qū)間(－2,1]上的圖象，則f(2 011)＋f(2 012)＝(　　)． A．3 B．2 C．1 D．0 熱點三　函數性質的綜合應用 【例3-1】(2020·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考，文18)函數f(x)＝2x－的定義域為(0,1](a為實數)． (1)當a＝－1時，求函數y＝f(x)的值域； (2)若函數y＝f(x)在定義域上是減函數，求a

7、的取值范圍． 【例3-2】已知函數f(x)＝是奇函數． (1)求實數m的值； (2)若函數f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調遞增，求實數a的取值范圍． 規(guī)律方法 (1)求解這類涉及函數性質的題目時，既要充分利用題目的已知條件進行直接的推理、判斷，又要合理地運用函數性質之間的聯(lián)系，結合已知的結論進行間接地判斷，若能畫出圖象的簡單草圖，“看圖說話”，往往起到引領思維方向的作用． (2)判斷函數的單調性的一般規(guī)律：對于選擇題、填空題，若能畫出圖象，一般用數形結合法；而對于由基本初等函數通過加、減運算或復合而成的函數常轉化為基本初等函數單調性的判斷問題；對于解析式為分式、指數函數式、對數

8、函數式、三角函數式等較復雜的用導數法；對于抽象函數一般用定義法． 變式訓練3 設函數f(x)是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知當x∈[0,1]時，f(x)＝1－x，則①2是函數f(x)的周期；②函數f(x)在(1,2)上是減函數，在(2,3)上是增函數；③函數f(x)的最大值是1，最小值是0；④當x∈[3,4]時，f(x)＝x－3. 其中所有正確命題的序號是__________． 思想滲透 數形結合思想在函數中的應用 數形結合思想能把數或數量關系與圖形對應起來，借助圖形來研究數量關系或利用數量關系來研究圖形性質，是一種重要的數學方法． 數形

9、結合思想在解決函數問題時常有以下幾種類型： (1)利用函數圖象求參數范圍； (2)利用函數圖象研究方程根的范圍； (3)利用一些代數式的幾何意義轉化為求函數的最值問題； (4)利用函數圖象變化研究其性質，如單調性、奇偶性、最值、對稱性等． 【典型例題】若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)內有唯一解，求實數m的取值范圍． 解：原方程可化為－(x－2)2＋1＝m(0＜x＜3)， 設y1＝－(x－2)2＋1(0＜x＜3)，y2＝m. 在同一坐標系中畫出它們的圖象(如圖)． 由原方程在(0,3)內有唯一解，知y1與y2的圖象只有一個公共點，可見m的取值范

10、圍是－3＜m≤0或m＝1. 又－x2＋3x－m＞0在x∈(0,3)內恒成立，∴m≤0. ∴m的取值范圍為－3＜m≤0. 1．(2020·安徽高考，文3)(log29)·(log34)＝(　　)． A. B. C．2 D．4 2．設函數f(x)＝若f(m)＞f(－m)，則m的取值范圍是(　　)． A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 3．已知函數f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的圖象如圖所示，則g(x)＝ax＋b的圖象是(　　

11、)． 4．(2020·福建高考，文9)設f(x)＝g(x)＝則f(g(π))的值為(　　)． A．1 B．0 C．－1 D．π 5．對于函數f(x)＝acos x＋bx2＋c，其中a，b，c∈R，適當地選取a，b，c的一組值計算f(1)和f(－1)，所得出的正確結果只可能是(　　)． A．4和6 B．3和－3 C．2和4 D．1和1 6．(2020·安徽江南十校聯(lián)考，文14)令f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)．如果對k(k∈N*)，滿足f(1)·f(2)·…·f(k)為整數，則稱k為“好數”，那么區(qū)間[1,2 012]

12、內所有的“好數”的和M＝__________. 7．(2020·山東濰坊一模，16)已知定義在R上的偶函數滿足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且當x∈[0,2]時，y＝f(x)單調遞減，給出以下四個命題： ①f(2)＝0； ②直線x＝－4為函數y＝f(x)圖象的一條對稱軸； ③函數y＝f(x)在[8,10]上單調遞增； ④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的兩根為x1，x2，則x1＋x2＝－8. 以上命題中所有正確命題的序號為__________． 8．已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數，f(x)＝ (1)分別求a，b，c，d的值； (2)畫出f(x)的簡圖并寫出其單

13、調區(qū)間． 參考答案 命題調研·明晰考向 真題試做 1．B　解析：由得 所以定義域為(－1,0)∪(0,2]． 2．B　解析：對于A，y＝cos 2x是偶函數，但在區(qū)間內是減函數，在區(qū)間內是增函數，不滿足題意． 對于B，log2|－x|＝log2|x|，是偶函數，當x∈(1,2)時，y＝log2|x|＝log2x是增函數，滿足題意． 對于C，f(－x)＝＝＝－f(x)， ∴y＝是奇函數，不滿足題意． 對于D，y＝x3＋1是非奇非偶函數，不滿足題意． 3．D　解析：令f(x)＝，則f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，而f(－x)＝＝－f(x)， 所以f(x)為奇函

14、數．又因為當x∈時，cos 6x＞0,2x－2－x＞0，即f(x)＞0，而f(x)＝0有無數個根，所以D正確． 4．C　解析：當a＞1時，y＝ax是增函數，－a＜－1，則函數y＝ax－a的圖象與y軸的交點在x軸下方，故選項A不正確；y＝ax－a的圖象與x軸的交點是(1,0)，故選項B不正確；當0＜a＜1時，y＝ax是減函數，y＝ax－a的圖象與x軸的交點是(1,0)，故選項C正確；若0＜a＜1，則－1＜－a＜0，y＝ax－a的圖象與y軸的交點在x軸上方，故選項D不正確． 5．B　解析：y＝f(x)y＝f(－x)y＝f[－(x－2)]＝f(2－x)y＝－f(2－x)，故選B. 6．－6　解

15、析：f(x)＝|2x＋a|＝ ∵函數f(x)的單調遞增區(qū)間是[3，＋∞)， ∴－＝3，即a＝－6. 精要例析·聚焦熱點 熱點例析 【例1】 (1)C　解析：由得x＞－1且x≠1，故選C. (2)C　解析：f(x)＝ ∵0＜1，∴f(0)＝20＋1＝2. ∵f(0)＝2≥1，∴f(f(0))＝f(2)＝22＋2a＝4a， ∴a＝2，故選C. 【變式訓練1】 －　解析：(1)當a＞0時，1－a＜1,1＋a＞1， 由f(1－a)＝f(1＋a)得，2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a， 解得a＝－(舍去)． (2)當a＜0時，1－a＞1,1＋a＜1， 由f(1－a)＝f(1

16、＋a)得，－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a， 解得a＝－. 【例2】 (1)D　解析：函數y＝的圖象關于點(1,0)對稱，函數y＝2sin πx(－2≤x≤4)的圖象也關于點(1,0)對稱． 在同一個坐標系中，作出兩函數圖象． 如圖： 由圖知兩函數在[－2,4]上共有8個交點，且這8個交點兩兩關于(1,0)對稱，即x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝8. (2)B　解析：y＝|x2－6x|的圖象是把y＝x2－6x的圖象在x軸下方的部分翻到上方，上方的部分保持不變，如圖， 由圖可知，畫任意一條橫線，根總是關于x＝3對稱，從上往下移動可知：P中所有元素的和可能

17、是6,9,12，所以選B. 【變式訓練2】 A　解析：因為f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數，所以f(2 011)＋f(2 012)＝f(670×3＋1)＋f(671×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由圖象可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2 011)＋f(2 012)＝1＋2＝3. 【例3－1】 解：(1)當a＝－1時，f(x)＝2x＋，x∈(0,1]， 設x1＜x2∈(0,1]，則f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)， ∴當x1，x2∈時，f(x2)－f(x1)＜0. 當x1，x2∈時，f(x2)－f(x1)＞0， 即f(x)在上遞減，在上遞增， 又f＝2，

18、 ∴f(x)的值域為[2，＋∞)． (2)當a≥0時，f(x)在(0,1]上遞增，不合題意； 當a＜0時，由函數性質(或同(1)的處理)可知f(x)在上遞減，在上遞增，若f(x)在(0,1]上遞減，則1≤，即a≤－2. 【例3－2】 解：(1)∵f(x)為奇函數，由f(－1)＝－f(1)， 得(－1)2－m＝－(－12＋2)，∴m＝2. (2)∵f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調遞增， ∴得1＜a≤3. 【變式訓練3】 ①②④　解析：在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，則f(t＋2)＝f(t)，因此2是函數f(x)的周期，故①正確； 由于f(x)是偶函數，所以f(

19、x－1)＝f(1－x)，結合f(x＋1)＝f(x－1)得f(1＋x)＝f(1－x)， 故f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，而當x∈[0,1]時，f(x)＝1－x＝2x－1單調遞增，所以f(x)在(1,2)上是減函數，在(2,3)上是增函數，故②正確； 由②知，f(x)在一個周期區(qū)間[0,2]上的最大值為f(1)＝1，最小值為f(0)＝f(2)＝， 所以函數f(x)的最大值為1，最小值為，故③不正確； 設x∈[3,4]，則x－4∈[－1,0]，4－x∈[0,1]， 于是f(4－x)＝1－(4－x)＝x－3， 而由函數f(x)的周期為2和函數f(x)為偶函數知f(4－x)＝f(－x)＝

20、f(x)， 從而當x∈[3,4]時，f(x)＝x－3，故④正確． 創(chuàng)新模擬·預測演練 1．D　解析：原式＝(log232)·(log322)＝4(log23)·(log32)＝4··＝4. 2．D　解析：當m＞0時，＞log2m， ∴＞m，∴0＜m＜1； 當m＜0時，log2(－m)＞， ∴－＜－m，∴m＜－1. ∴m的取值范圍是m＜－1或0＜m＜1. 3．A　解析：由題圖知0＜a＜1，b＜－1，故選A. 4．B　解析：∵g(π)＝0，∴f(g(π))＝f(0)＝0. 5．D　解析：∵f(1)＝acos 1＋b＋c，f(－1)＝acos 1＋b＋c， ∴f(1)＝f(－

21、1)，只可能D正確． 6．2 026　解析：對任意正整數k，有f(1)·f(2)·…·f(k)＝log23·log34·…·logk＋1(k＋2)＝··…·＝＝log2(k＋2)．若k為“好數”，則log2(k＋2)∈Z，從而必有k＋2＝2l(l∈N*)． 令1≤2l－2≤2 012，解得2≤l≤10. 所以[1,2 012]內所有“好數”的和為M＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝(22＋23＋…＋210)－2×9＝2 026. 7．①②④　解析：(1)令x＝－2，則f(2)＝f(－2)＋f(2)， ∵函數f(x)為偶函數，∴f(2)＝0，①正確． (2)∵f(2)

22、＝0， ∴f(x＋4)＝f(x)，函數周期為T＝4. 又∵函數f(x)為偶函數，有一條對稱軸的方程為x＝0， ∴直線x＝－4是函數f(x)的一條對稱軸，②正確． (3)∵函數y＝f(x)在[0,2]上單調遞減，周期為4， ∴函數y＝f(x)在區(qū)間[8,10]上的單調性同區(qū)間[0,2]一樣為單調遞減，故③不正確． (4)函數f(x)有一條對稱軸的方程為x＝－4，又方程f(x)＝m在[－6，－2]上有兩根x1，x2，則x1＋x2＝－8，故④正確． 故為①②④. 8．解：(1)y＝f(x)是定義在R上的奇函數，則f(0)＝0，得a＝0. 設x＜0，則－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)－3＝x2＋2x－3. 而f(x)為R上的奇函數， 所以f(－x)＝－f(x)． 所以當x＜0時，f(x)＝－x2－2x＋3， 故b＝－1，c＝－2，d＝3. (2)簡圖如下： 由圖象可得：f(x)的單調減區(qū)間為(－1,1)，單調增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞)．