【備戰(zhàn)】2020高考數(shù)學 應(yīng)考能力大提升3.3

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1、備戰(zhàn)2020數(shù)學應(yīng)考能力大提升 典型例題 例1 已知函數(shù)f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)，x∈R的最大值是1，其圖象經(jīng)過點M. (1)求f(x)的解析式； (2)已知α，β∈，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值． 解：(1)∵f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)的最大值是1，∴A＝1. ∵f(x)的圖象經(jīng)過點M， ∴sin＝. ∵0＜φ＜π?φ＝， ∴f(x)＝sin＝cosx. (2)∵f(x)＝cosx，∴f(α)＝cosα＝，f(β)＝cosβ＝，已知α，β∈，所以 sinα＝＝，sinβ＝＝. 故f(α－β)＝cos(

2、α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ＝×＋×＝. 例2 已知函數(shù)f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(0<φ<π)，其圖象過點. (1)求φ的值； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在上的最大值和最小值． 解：(1)因為f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(0<φ<π)， 所以f(x)＝sin2xsinφ＋cosφ－cosφ ＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ ＝(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)＝cos(2x－φ)， 又函數(shù)圖象

3、過點， 所以＝cos， 即cos＝1， 又0<φ<π， 所以φ＝. (2)由(1)知f(x)＝cos，將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，可知 g(x)＝f(2x)＝cos， 因為x∈， 所以4x∈， 因此4x－∈， 故－≤cos≤1. 所以y＝g(x)在上的最大值和最小值分別為和－. 例3 已知函數(shù)f(x)＝sin2ωx＋sinωx·sin(ωx＋)＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標為. (1)求ω； (2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點橫坐標

4、伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間． 解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋ ＝sin(2ωx＋)＋. 令2ωx＋＝，將x＝代入可得：ω＝1. (2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋)＋. 經(jīng)過題設(shè)的變化得到的函數(shù) g(x)＝sin(x－)＋. 當x＝4kπ＋π，k∈Z時，函數(shù)取得最大值. 令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π， 即x∈[4kπ＋，4kπ＋π]，k∈Z為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間． 創(chuàng)新題型 1．設(shè)函數(shù)f(x)＝(2cosx＋asinx)sinx＋cos2x(x∈R)，且f()＝f()． (Ⅰ)

5、求函數(shù)f(x)的值域； (Ⅱ)設(shè)f(x)圖象上過任意一點P的切線斜率為k，證明：|k|≤2.(文科選做) 2.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為M(，－2)． (1)求f(x)的解析式； (2)當x∈[，]時，求f(x)的值域． 3.設(shè)函數(shù)f(x)＝(2cosx＋asinx)sinx＋cos2x(x∈R)，且f()＝f()． (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的值域； (Ⅱ)設(shè)f(x)圖象上過任意一點P的切線

6、斜率為k，證明：|k|≤2.(文科選做) 4.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為M(，－2)． (1)求f(x)的解析式； (2)當x∈[，]時，求f(x)的值域． 參考答案 1．【解析】(Ⅰ)f(x)＝2sinxcosx＋asin2x＋1－sin2x ＝sin2x＋(1－cos2x)＋1. ∴f()＝a，f()＝. 由f()＝f()，有a＝，∴a＝3. ∴f(x)＝sin2x－cos2x＋2＝sin(2x－)＋2. ∴函

7、數(shù)f(x)的值域為[2－，2＋]． (Ⅱ)設(shè)P(x，y)是f(x)圖象上任意一點，則 k＝f′(x)＝2cos(2x－)． ∴|k|＝|f′(x)|＝≤|2|＝2. 2.【解析】(1)由最低點為M(，－2)得A＝2. 在x軸上相鄰兩個交點之間的距離為得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2. 由點M(，－2)在函數(shù)圖象上得2sin(2×＋φ)＝－2，即sin(＋φ)＝－1，故＋φ＝2kπ－，k∈Z， ∴φ＝2kπ－. 又φ∈(0，)，∴φ＝，故f(x)＝2sin(2x＋)． (2)∵x∈ [，]，∴2x＋∈[，]， 當2x＋＝，即x＝時，f(x) 2；當2x＋＝，即x＝時，f(x)取得最小值－1，故f(x)的值域為[－1,2]． 3.【解析】(Ⅰ)f(x)＝2sinxcosx＋asin2x＋1－sin2x＝sin2x＋(1－cos2x)＋1. ∴f()＝a，f()＝. 由f()＝f()，有a＝，∴a＝3. ∴f(x)＝sin2x－cos2x＋2＝sin(2x－)＋2. ∴函數(shù)f(x)的值域為[2－，2＋]． (Ⅱ)設(shè)P(x，y)是f(x)圖象上任意一點，則 k＝f′(x)＝2cos(2x－)． ∴|k|＝|f′(x)|＝≤|2|＝2.