廣東省汕頭市金山中學(xué)高中數(shù)學(xué) 初高中銜接材料二 一元二次方程根的判別式

一元二次方程根的判別式1.一元二次方程bc0（a0）的根的情況可以由b24ac來(lái)判定，我們把b24ac叫做一元二次方程bc0（a0）的根的判別式，通常用符號(hào)“”來(lái)表示。對(duì)于一元二次方程bc0（a0），有（1）當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相bc0等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，；（3）當(dāng)0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。例1 判定下列關(guān)于的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實(shí)數(shù)根，寫(xiě)出方程的實(shí)數(shù)根。（1）330； （2）10；（3）(1)0； （4）2a0。解：（1）324×1×330，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。（2）該方程的根的判別式a24×1×(1)a240，所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，。（3）由于該方程的根的判別式為a24×1×(a1)a24a4(a2)2，所以，當(dāng)a2時(shí)，0，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x21；當(dāng)a2時(shí)，0， 所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x11，x2a1。（4）由于該方程的根的判別式為224×1×a44a4(1a)，所以當(dāng)0，即4(1a) 0，即a1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，；當(dāng)0，即a1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x21；當(dāng)0，即a1時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。說(shuō)明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過(guò)程中，需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類(lèi)討論。分類(lèi)討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來(lái)解決問(wèn)題。2. 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）若一元二次方程bc0（a0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根則有；所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：如果bc0（a0）的兩根分別是,，那么+， 。這一關(guān)系也被稱(chēng)為韋達(dá)定理。例1、已知方程的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值。解法一：2是方程的一個(gè)根，5×22k×260，k7。所以，方程就為5x27x60，解得2，。所以，方程的另一個(gè)根為，k的值為7。解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為，則 2，。由（）2，得 k7。所以，方程的另一個(gè)根為，k的值為7。例2、 已知關(guān)于的方程2(m2)xm240有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21，求m的值。解：設(shè),是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得+2(m2)，m24。21，(+)23 21，即2(m2)23(m24)21，化簡(jiǎn)，得 m216m170，解得m1，或m17。當(dāng)m1時(shí)，方程為650，0，滿足題意；當(dāng)m17時(shí)，方程為302930，3024×1×2930，不合題意，舍去。綜上，m17。說(shuō)明：（1）在本題的解題過(guò)程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可。（2）在今后的解題過(guò)程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式是否大于或大于零。因?yàn)?，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根。例3、已知兩個(gè)數(shù)的和為4，積為12，求這兩個(gè)數(shù)。解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是，則 解得： ，因此，這兩個(gè)數(shù)是2和6。解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程x24x120的兩個(gè)根。解這個(gè)方程，得2，6。所以，這兩個(gè)數(shù)是2和6。說(shuō)明：從上面兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達(dá)定理來(lái)解題）要比解法一簡(jiǎn)捷。例4、 若和分別是一元二次方程25x30的兩根。（1）求|的值； （2）求的值； （3）。解：和分別是一元二次方程2530的兩根，。（1）| |2x12+ x222 (+)246，|-|。（2）。（3）(+2)( )(+) (+) 23()×()23×()。說(shuō)明：一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問(wèn)題，為了解題簡(jiǎn)便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程bc0（a0），則，|-|。于是有下面的結(jié)論：若和分別是一元二次方程bc0（a0），則|-|（其中b24ac）。今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論。例5 若關(guān)于x的一元二次方程a40的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：設(shè),是方程的兩根，則a40，且(1)24(a4)0。由得a4，由得a。a的取值范圍是a4。習(xí)題2.1 A組1選擇題:（1）已知關(guān)于的方程k20的一個(gè)根是1，則它的另一個(gè)根是（ ）（A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四個(gè)說(shuō)法：其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（ ）個(gè) （A）1 （B）2 （C）3 （D）4方程2x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程2x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程370的兩根之和為0，兩根之積為；方程32x0的兩根之和為2，兩根之積為0。（3）關(guān)于x的一元二次方程a5xa2a0的一個(gè)根是0，則a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程k4x10的兩根之和為2，則k 。（2）方程2x2x40的兩根為，則22 。（3）已知關(guān)于x的方程ax3a0的一個(gè)根是2，則它的另一個(gè)根是 。（4）方程22x10的兩根為x1和x2，則| x1x2| 。3試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程(2m1) x10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒(méi)有實(shí)數(shù)根？4求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程x27x10各根的相反數(shù)。B 組1選擇題:若關(guān)于x的方程(k21) xk10的兩根互為相反數(shù)，則k的值為（ ）（A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若m，n是方程2020x10的兩實(shí)數(shù)根，則m2nmn2mn的值等于 。（2）若a，b是方程x10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式a3a2bab2b3的值是 。3已知關(guān)于x的方程kx20。（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩根為x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。4一元二次方程abxc0（a0）的兩根為x1和x2。求：（1）| x1x2|和；（2）x13x23。5關(guān)于x的方程4xm0的兩根為x1，x2滿足| x1x2|2，求實(shí)數(shù)m的值。C 組1.選擇題：（1）已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)恰好是方程28x70的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于（ ） （A） （B）3 （C）6 （D）9（2）若x1， x2是方程24x10的兩個(gè)根，則的值為（ ）（A）6 （B）4 （C）3 （D）（3）如果關(guān)于x的方程2(1+m)xm20有兩實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（ ）（A） （B） （C）1 （D）1 （4）已知a，b，c是ABC的三邊長(zhǎng)，那么方程c(ab)x0的根的情況是（ ）（A）沒(méi)有實(shí)數(shù)根 （B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（C）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （D）有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根2.填空：若方程8xm0的兩根為x1，x2，且3x12x218，則m 。3.已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4k4kxk10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。（1）是否存在實(shí)數(shù)k，使(2x1x2)( x12x2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由；（2）求使2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值；（3）若k2，試求的值。4已知關(guān)于x的方程。（1）求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根；（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足|x2|x1|2，求m的值及相應(yīng)的x1，x2。6二次函數(shù)f(x)ax2bxc，a為正整數(shù)，c1，abc1，方程ax2bxc0有兩個(gè)小于1的不等正根，則a的最小值是 ()A3 B4 C5 D6解析由題意得f(0)c1，f(1)abc1.當(dāng)a越大，yf(x)的開(kāi)口越小，當(dāng)a越小，yf(x)的開(kāi)口越大，而yf(x)的開(kāi)口最大時(shí)，yf(x)過(guò)(0,1)，(1,1)，則c1，abc1.ab0，ab，又b24ac>0，a(a4)>0，a>4，由于a為正整數(shù)，即a的最小值為5.答案C9方程x2mx10的兩根為、，且0,12，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析m.(1,2)且函數(shù)m在(1,2)上是增函數(shù)，11m2，即m.答案