《廣東省汕頭市金山中學(xué)高中數(shù)學(xué) 初高中銜接材料二 一元二次方程根的判別式》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《廣東省汕頭市金山中學(xué)高中數(shù)學(xué) 初高中銜接材料二 一元二次方程根的判別式(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、一元二次方程根的判別式1.一元二次方程bc0(a0)的根的情況可以由b24ac來判定,我們把b24ac叫做一元二次方程bc0(a0)的根的判別式,通常用符號“”來表示。對于一元二次方程bc0(a0),有(1)當(dāng)0時,方程有兩個不相bc0等的實數(shù)根;(2)當(dāng)0時,方程有兩個相等的實數(shù)根,;(3)當(dāng)0時,方程沒有實數(shù)根。例1 判定下列關(guān)于的方程的根的情況(其中a為常數(shù)),如果方程有實數(shù)根,寫出方程的實數(shù)根。(1)330; (2)10;(3)(1)0; (4)2a0。解:(1)3241330,方程沒有實數(shù)根。(2)該方程的根的判別式a241(1)a240,所以方程一定有兩個不等的實數(shù)根,。(3)由于
2、該方程的根的判別式為a241(a1)a24a4(a2)2,所以,當(dāng)a2時,0,所以方程有兩個相等的實數(shù)根x1x21;當(dāng)a2時,0, 所以方程有兩個不相等的實數(shù)根x11,x2a1。(4)由于該方程的根的判別式為2241a44a4(1a),所以當(dāng)0,即4(1a) 0,即a1時,方程有兩個不相等的實數(shù)根,;當(dāng)0,即a1時,方程有兩個相等的實數(shù)根x1x21;當(dāng)0,即a1時,方程沒有實數(shù)根。說明:在第3,4小題中,方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化,于是,在解題過程中,需要對a的取值情況進行討論,這一方法叫做分類討論。分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個非常重要的方法,在今后的解題中會經(jīng)常地
3、運用這一方法來解決問題。2. 根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)若一元二次方程bc0(a0)有兩個實數(shù)根則有;所以,一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系:如果bc0(a0)的兩根分別是,,那么+, 。這一關(guān)系也被稱為韋達定理。例1、已知方程的一個根是2,求它的另一個根及k的值。解法一:2是方程的一個根,522k260,k7。所以,方程就為5x27x60,解得2,。所以,方程的另一個根為,k的值為7。解法二:設(shè)方程的另一個根為,則 2,。由()2,得 k7。所以,方程的另一個根為,k的值為7。例2、 已知關(guān)于的方程2(m2)xm240有兩個實數(shù)根,并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21,求m的值。
4、解:設(shè),是方程的兩根,由韋達定理,得+2(m2),m24。21,(+)23 21,即2(m2)23(m24)21,化簡,得 m216m170,解得m1,或m17。當(dāng)m1時,方程為650,0,滿足題意;當(dāng)m17時,方程為302930,302412930,不合題意,舍去。綜上,m17。說明:(1)在本題的解題過程中,也可以先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對應(yīng)的m的范圍,然后再由“兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值,取滿足條件的m的值即可。(2)在今后的解題過程中,如果僅僅由韋達定理解題時,還要考慮到根的判別式是否大于或大于零。因為,韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數(shù)根。例3、已知兩個
5、數(shù)的和為4,積為12,求這兩個數(shù)。解法一:設(shè)這兩個數(shù)分別是,則 解得: ,因此,這兩個數(shù)是2和6。解法二:由韋達定理可知,這兩個數(shù)是方程x24x120的兩個根。解這個方程,得2,6。所以,這兩個數(shù)是2和6。說明:從上面兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn),解法二(直接利用韋達定理來解題)要比解法一簡捷。例4、 若和分別是一元二次方程25x30的兩根。(1)求|的值; (2)求的值; (3)。解:和分別是一元二次方程2530的兩根,。(1)| |2x12+ x222 (+)246,|-|。(2)。(3)(+2)( )(+) (+) 23()()23()。說明:一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量,今后我
6、們經(jīng)常會遇到求這一個量的問題,為了解題簡便,我們可以探討出其一般規(guī)律:設(shè)x1和x2分別是一元二次方程bc0(a0),則,|-|。于是有下面的結(jié)論:若和分別是一元二次方程bc0(a0),則|-|(其中b24ac)。今后,在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時,可以直接利用上面的結(jié)論。例5 若關(guān)于x的一元二次方程a40的一根大于零、另一根小于零,求實數(shù)a的取值范圍。解:設(shè),是方程的兩根,則a40,且(1)24(a4)0。由得a4,由得a。a的取值范圍是a4。習(xí)題2.1 A組1選擇題:(1)已知關(guān)于的方程k20的一個根是1,則它的另一個根是( )(A)3 (B)3 (C)2 (D)2(2)下列四個說法
7、:其中正確說法的個數(shù)是( )個 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4方程2x70的兩根之和為2,兩根之積為7;方程2x70的兩根之和為2,兩根之積為7;方程370的兩根之和為0,兩根之積為;方程32x0的兩根之和為2,兩根之積為0。(3)關(guān)于x的一元二次方程a5xa2a0的一個根是0,則a的值是( )(A)0 (B)1 (C)1 (D)0,或12填空:(1)方程k4x10的兩根之和為2,則k 。(2)方程2x2x40的兩根為,則22 。(3)已知關(guān)于x的方程ax3a0的一個根是2,則它的另一個根是 。(4)方程22x10的兩根為x1和x2,則| x1x2| 。3試判定當(dāng)m取何值時,關(guān)于x的一
8、元二次方程(2m1) x10有兩個不相等的實數(shù)根?有兩個相等的實數(shù)根?沒有實數(shù)根?4求一個一元二次方程,使它的兩根分別是方程x27x10各根的相反數(shù)。B 組1選擇題:若關(guān)于x的方程(k21) xk10的兩根互為相反數(shù),則k的值為( )(A)1,或1 (B)1 (C)1 (D)02填空:(1)若m,n是方程2020x10的兩實數(shù)根,則m2nmn2mn的值等于 。(2)若a,b是方程x10的兩個實數(shù)根,則代數(shù)式a3a2bab2b3的值是 。3已知關(guān)于x的方程kx20。(1)求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)設(shè)方程的兩根為x1和x2,如果2(x1x2)x1x2,求實數(shù)k的取值范圍。4一元二次方程
9、abxc0(a0)的兩根為x1和x2。求:(1)| x1x2|和;(2)x13x23。5關(guān)于x的方程4xm0的兩根為x1,x2滿足| x1x2|2,求實數(shù)m的值。C 組1.選擇題:(1)已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程28x70的兩根,則這個直角三角形的斜邊長等于( ) (A) (B)3 (C)6 (D)9(2)若x1, x2是方程24x10的兩個根,則的值為( )(A)6 (B)4 (C)3 (D)(3)如果關(guān)于x的方程2(1+m)xm20有兩實數(shù)根,則的取值范圍為( )(A) (B) (C)1 (D)1 (4)已知a,b,c是ABC的三邊長,那么方程c(ab)x0的根的情況是(
10、)(A)沒有實數(shù)根 (B)有兩個不相等的實數(shù)根(C)有兩個相等的實數(shù)根 (D)有兩個異號實數(shù)根2.填空:若方程8xm0的兩根為x1,x2,且3x12x218,則m 。3.已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程4k4kxk10的兩個實數(shù)根。(1)是否存在實數(shù)k,使(2x1x2)( x12x2)成立?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由;(2)求使2的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值;(3)若k2,試求的值。4已知關(guān)于x的方程。(1)求證:無論m取什么實數(shù)時,這個方程總有兩個相異實數(shù)根;(2)若這個方程的兩個實數(shù)根x1,x2滿足|x2|x1|2,求m的值及相應(yīng)的x1,x2。6二次函數(shù)f(x)ax2bxc,a為正整數(shù),c1,abc1,方程ax2bxc0有兩個小于1的不等正根,則a的最小值是 ()A3 B4 C5 D6解析由題意得f(0)c1,f(1)abc1.當(dāng)a越大,yf(x)的開口越小,當(dāng)a越小,yf(x)的開口越大,而yf(x)的開口最大時,yf(x)過(0,1),(1,1),則c1,abc1.ab0,ab,又b24ac0,a(a4)0,a4,由于a為正整數(shù),即a的最小值為5.答案C9方程x2mx10的兩根為、,且0,12,則實數(shù)m的取值范圍是_解析m.(1,2)且函數(shù)m在(1,2)上是增函數(shù),11m2,即m.答案