河南省衛(wèi)輝一中2020屆高三數(shù)學(xué)二輪 備考抓分點(diǎn)透析專(zhuān)題2 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 理

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1、2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 【重點(diǎn)知識(shí)回顧】 1．函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，函數(shù)的觀點(diǎn)和思想方法是高中數(shù)學(xué)的一條重要的主線，選擇、填空、解答三種題型每年都有，函數(shù)題的身影頻現(xiàn)，而且常考常新．以基本函數(shù)為背景的綜合題和應(yīng)用題是近幾年的高考命題的新趨勢(shì)．函數(shù)的圖象也是高考命題的熱點(diǎn)之一．近幾年來(lái)考查導(dǎo)數(shù)的綜合題基本已經(jīng)定位到壓軸題的位置了． 2．對(duì)于函數(shù)部分考查的重點(diǎn)為：函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性對(duì)稱(chēng)性和函數(shù)的圖象；指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題；導(dǎo)數(shù)的基本公式，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

2、，求一些實(shí)際問(wèn)題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值． 【典型例題】 1．函數(shù)的性質(zhì)與圖象 函數(shù)的性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容．根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，能判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，從數(shù)形結(jié)合的角度認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，掌握求函數(shù)最大值和最小值的常用方法．函數(shù)的圖象是函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，能夠利用函數(shù)的圖象歸納函數(shù)的性質(zhì)．對(duì)于抽象函數(shù)一類(lèi)，也要盡量畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合討論函數(shù)的性質(zhì)． 例1．“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來(lái)，睡了一覺(jué)，當(dāng)它醒來(lái)時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)……用

3、S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時(shí)間，則下圖與故事情節(jié)相吻合的是（ ） A B C D 答案：B 解析：在選項(xiàng)B中，烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí)，兔子在同一時(shí)間的路程比烏龜短． 點(diǎn)評(píng)：函數(shù)圖象是近年高考的熱點(diǎn)的試題，考查函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生解決問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起重視． 例2．已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根，則 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6

4、 8 y x f(x)=m (m>0) 答案：-8 解析：因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足，所以，所以, 由為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)且，由知，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，又因?yàn)樵趨^(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以在區(qū)間[-2,0]上也是增函數(shù)．如圖所示，那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根，不妨設(shè)，由對(duì)稱(chēng)性知，．所以． 點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性，對(duì)稱(chēng)性，周期性，以及由函數(shù)圖象解答方程問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問(wèn)題． 2．函數(shù)與解方程

5、、不等式的綜合問(wèn)題 函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列是密切相關(guān)的幾個(gè)部分，通過(guò)建立函數(shù)模型來(lái)解決有關(guān)他們的綜合問(wèn)題是高考的考查方向之一，解決該類(lèi)問(wèn)題要善于運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想方法，將問(wèn)題進(jìn)行不斷轉(zhuǎn)化，構(gòu)建模型來(lái)解決問(wèn)題． 例2．x為何值時(shí)，不等式成立． 解析：當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，． 故時(shí)，． 時(shí)，為所求． 點(diǎn)評(píng)：該題考查了對(duì)數(shù)不等式的解法，其基本的解題思路為將對(duì)數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為普通不等式，需要注意轉(zhuǎn)化之后的范圍發(fā)生了變化，因此最后要檢驗(yàn)，或者轉(zhuǎn)化時(shí)將限制條件聯(lián)立． 3．函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用主要是指運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)、思想和方法綜合解決問(wèn)題．函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，是對(duì)問(wèn)題本身的數(shù)量

6、本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種刻畫(huà)，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系．掌握有關(guān)函數(shù)知識(shí)是運(yùn)用函數(shù)思想的前提，考生應(yīng)具備用初等數(shù)學(xué)思想方法研究函數(shù)的能力，運(yùn)用函數(shù)思想解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)是運(yùn)用函數(shù)思想的關(guān)鍵． 例3．某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房．經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x（x10）層，則每平方米的 平均建筑費(fèi)用為560+48x（單位：元）．為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？ （注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用=） 解析：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為元，依題

7、意得： ． 則，令，即，解得． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， 因此，當(dāng)時(shí)，取得最小值，元． 答：為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層． 點(diǎn)評(píng)：這是一題應(yīng)用題，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題．利用導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)值域或最值是一種常用的方法． 4．導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極（最）值問(wèn)題． 導(dǎo)數(shù)作為工具來(lái)研究三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，極值、最值時(shí)，具有其獨(dú)特的優(yōu)越性，要理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，熟練導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，善于借助導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)的問(wèn)題． 例4．已知函數(shù)，其中． （1）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，取得極值? （2）已知，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，試用表示出的取值范圍． 解析

8、： （1）由已知得，令，得， 要取得極值，方程必須有解， 所以△，即， 此時(shí)方程的根為： ，， 所以 當(dāng)時(shí)， x (-∞，x1) x 1 (x1，x2) x2 (x2，+∞) f’(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 所以在x 1， x2處分別取得極大值和極小值． 當(dāng)時(shí)， x (-∞，x2) x 2 (x2，x1) x1 (x1，+∞) F’(x) － 0 ＋ 0 － f (x) 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 所以在x 1， x2處分別取得極大值和極

9、小值． 綜上，當(dāng)滿足時(shí)，取得極值． （2）要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，需使在上恒成立． 即恒成立，所以， 設(shè)，， 令得或(舍去)， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，單調(diào)減函數(shù)， 所以當(dāng)時(shí)，取得最大，最大值為． 所以． 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間恒成立， 所以在區(qū)間上單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)最大，最大值為，所以． 綜上，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ． 點(diǎn)評(píng)：本題為三次函數(shù)，利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符號(hào)確定，從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立，再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值．運(yùn)用函數(shù)與方程的思想，化歸思想和分類(lèi)討論的思想解答問(wèn)題． 【模擬演練】 1

10、．函數(shù)的圖象（ ） A． 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于主線對(duì)稱(chēng) C． 關(guān)于軸對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) 2． 定義在R上的偶函數(shù)的部分圖象如右圖所示，則在上，下列函數(shù)中與的單調(diào)性不同的是（ ） A． B． C． D． 3．已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),則( ) A． B． C． D． 4． 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= ，則f（2020）的值為 ． 5．

11、 已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是 ． 6．已知函數(shù)且 （I）試用含的代數(shù)式表示； （Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點(diǎn)，證明：線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn)． 7．已知函數(shù)的圖象在與軸交點(diǎn)處的切線方程是． （I）求函數(shù)的解析式； （II）設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值． 【參考答案】 1．答案：A 解析：由于定義域?yàn)椋?2，2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又f(-x)=-f(x)，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，選A． 2．答案：C 解析：根據(jù)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)

12、對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性相反，故可知求在上單調(diào)遞減，注意到要與的單調(diào)性不同，故所求的函數(shù)在上應(yīng)單調(diào)遞增．而函數(shù)在上遞減；函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減；函數(shù)在（上單調(diào)遞減，理由如下y＇=3x2>0(x<0)，故函數(shù)單調(diào)遞增，顯然符合題意；而函數(shù)，有y＇=-<0(x<0)，故其在（上單調(diào)遞減，不符合題意，綜上選C． 3． 答案：D 解析：因?yàn)闈M足，所以，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，則，，，又因?yàn)樵赗上是奇函數(shù)， ，得，，而由得，又因?yàn)樵趨^(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以，所以，即，故選D． 4．答案：1 解析：由已知得，，， ，， ，，， 所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn)．，所以

13、f（2020）= f（5）=1． 5．答案： 解析：由得： ， 即，∴∴， ∴切線方程為，即． 6．解析：（I）依題意，得， 由得． （Ⅱ）由（I）得， 故， 令，則或， ①當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表： + - + 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增 由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為． ②由時(shí)，，此時(shí)，恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為R； ③當(dāng)時(shí)，，同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為． 綜上： 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；

14、當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為 （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，得，由，得． 由（Ⅱ）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值，故， 所以直線的方程為， 由得 解得， ， 所以線段與曲線有異于的公共點(diǎn) ． 7．解析：（I）由已知,切點(diǎn)為(2,0),故有,即……① 又，由已知得……② 聯(lián)立①②，解得． 所以函數(shù)的解析式為． （II）因?yàn)椋? 令． 當(dāng)函數(shù)有極值時(shí)，則，方程有實(shí)數(shù)解， 由，得． ①當(dāng)時(shí)，有實(shí)數(shù)，在左右兩側(cè)均有，故函數(shù)無(wú)極值； ②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根情況如下表： + 0 - 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以在時(shí)，函數(shù)有極值； 當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值．