小學(xué)六年級奧數(shù)題第40講 不定方程

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1、第40講 不定方程 一、知識要點(diǎn) 當(dāng)方程的個(gè)數(shù)比方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)少時(shí)，我們就稱這樣的方程為不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。這種方程的解是不確定的。如果不加限制的話，它的解有無數(shù)個(gè)；如果附加一些限制條件，那么它的解的個(gè)數(shù)就是有限的了。如5x－3y＝9的解有： x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6 y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3 如果限定x、y的解是小于5的整數(shù)，那么解就只有x＝3，Y＝2這一組了。因此，研究不定方程主要就是分析討論這些限制條件對解的影響。 解不定方程時(shí)一般要將原方程適當(dāng)變形，把其中的一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未

2、知數(shù)來表示，然后再一定范圍內(nèi)試驗(yàn)求解。解題時(shí)要注意觀察未知數(shù)的特點(diǎn)，盡量縮小未知數(shù)的取值范圍，減少試驗(yàn)的次數(shù)。 對于有3個(gè)未知數(shù)的不定方程組，可用削去法把它轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程再求解。 解答應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題中的限制條件（有時(shí)是明顯的，有時(shí)是隱蔽的）取適當(dāng)?shù)闹怠? 二、精講精練 【例題1】求3x+4y＝23的自然數(shù)解。 先將原方程變形，y＝?？闪斜碓囼?yàn)求解： X 1 2 3 4 5 6 7 Y 5 × × × 2 × × 所以方程3x+4y＝23的自然數(shù)解為 X=1 x=

3、5 Y=5 y=2 練習(xí)1 1、求3x+2y＝25的自然數(shù)解。 2、求4x+5y＝37的自然數(shù)解。 3、求5x－3y＝16的最小自然數(shù)解。 【例題2】求下列方程組的正整數(shù)解。 5x+7y+3z＝25 3x－y－6z＝2 這是一個(gè)三元一次不定方程組。解答的實(shí)話，要先設(shè)法消去其中的一個(gè)未知數(shù)，將方程組簡化成例1那樣的不定方程。 5x+7y+3z＝25 ① 3x－y－6z＝2 ② 由①×2+②，得13x+13y＝52 X+

4、y＝4 ③ 把③式變形，得y＝4－x。 因?yàn)閤、y、z都是正整數(shù)，所以x只能取1、2、3. 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3 當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2 當(dāng)x＝3時(shí)，y＝1 把上面的結(jié)果再分別代入①或②，得x＝1，y＝3時(shí)，z無正整數(shù)解。 x＝2，y＝2時(shí)，z也無正整數(shù)解。 x＝3時(shí)，y＝1時(shí)，z＝1. 所以，原方程組的正整數(shù)解為 x＝1 y＝1

5、 z＝1 練習(xí)2 求下面方程組的自然數(shù)解。 1、4x+3y－2z＝7 2、 7x+9y+11z＝68 3x+2y+4z＝21 5x+7y+9z＝52 3、5x+7y+4z＝26 3x－y－6z＝2 【例題3】一個(gè)商人將彈子放進(jìn)兩種盒子里，每個(gè)大盒子裝12個(gè)，每個(gè)小盒子裝5個(gè)，恰好裝完。如果彈子數(shù)為99，盒子數(shù)大于9，問兩種盒子各有多少個(gè)？ 兩種盒子的個(gè)數(shù)都應(yīng)該是自然數(shù)，所以要根據(jù)題意列出不定方程，再求出它的自然數(shù)解。 設(shè)大盒子有

6、x個(gè)，小盒子有y個(gè)，則 12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9） y＝（99－12y）÷5 經(jīng)檢驗(yàn)，符合條件的解有： x＝2 x＝7 y＝15 y＝3 所以，大盒子有2個(gè)，小盒子有15個(gè)，或大盒子有7個(gè)，小盒子有3個(gè)。 練習(xí)3. 1、某校6（1）班學(xué)生48人到公園劃船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各幾只？（大、小船都有） 2、甲級鉛筆7角錢一枝，乙級鉛筆3角錢一枝，小華用六元錢恰好可以買兩種不同的鉛筆共幾枝？ 3、小華和小強(qiáng)各用6角4分買了若干枝

7、鉛筆，他們買來的鉛筆中都是5分一枝和7分一枝的兩種，而且小華買來的鉛筆比小強(qiáng)多，小華比小強(qiáng)多買來多少枝？ 【例題4】買三種水果30千克，共用去80元。其中蘋果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。問三種水果各買了多少千克？ 設(shè)蘋果買了x千克，橘子買了y千克，梨買了（30－x－y）千克。根據(jù)題意得： 4x+3y+2×（30－x－y）＝82 x＝10－ 由式子可知：y<20，則y必須是2的倍數(shù)，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表： 蘋果 9 8 7

8、 6 5 4 3 2 1 橘子 2 4 6 8 10 12 14 16 18 梨 19 18 17 16 15 14 13 12 11 練習(xí)4 1、有紅、黃、藍(lán)三種顏色的皮球共26只，其中藍(lán)皮球的只數(shù)是黃皮球的9倍，藍(lán)皮球有多少只？ 2、用10元錢買25枝筆。已知毛筆每枝2角，彩色筆每枝4角，鋼筆每枝9角。問每種筆各買幾枝？（每種都要買） 3、曉敏在文具店買了三種貼紙；普通貼紙每張8分，熒光紙每張1角，高級紙每張2角。她一共用了一元兩角兩分錢。那么，曉敏的三種貼紙的總數(shù)最少是多少張？

9、 【例題5】某次數(shù)學(xué)競賽準(zhǔn)備例2枝鉛筆作為獎(jiǎng)品發(fā)給獲得一、二、三等獎(jiǎng)的學(xué)生。原計(jì)劃一等獎(jiǎng)每人發(fā)6枝，二等獎(jiǎng)每人發(fā)3枝，三等獎(jiǎng)每人發(fā)2枝。后又改為一等獎(jiǎng)每人發(fā)9枝，二等獎(jiǎng)每人發(fā)4枝，三等獎(jiǎng)每人發(fā)1枝。問：一、二、三等獎(jiǎng)的學(xué)生各有幾人？ 設(shè)一等獎(jiǎng)有x人，二等獎(jiǎng)有y人，三等獎(jiǎng)有z人。則 6x+3y+2z＝22 ① 9x+4y+z＝22 ② 由②×2－①，得12x+5y＝22 y ＝ x＝1 x只能取1。Y＝2，代入①得z＝5，原方程的解為 y＝2 z＝5 所以，一等獎(jiǎng)的學(xué)生有1人，二等獎(jiǎng)的學(xué)生有2人，三等獎(jiǎng)的學(xué)生有5人。 練習(xí)5 1、某人打靶，8發(fā)打了53環(huán)，全部命中在10環(huán)、7環(huán)和5環(huán)。他命中10環(huán)、7環(huán)和5環(huán)各幾發(fā)？ 2、籃子里有煮蛋、茶葉蛋和皮蛋30個(gè)，價(jià)值24元。已知煮蛋每個(gè)0.60元，茶葉蛋每個(gè)1元，皮蛋每個(gè)1.20元。問籃子里最多有幾個(gè)皮蛋？ 3、一頭豬賣3個(gè)銀幣，一頭山羊賣1個(gè)銀幣，一頭綿羊買個(gè)銀幣。有人用100個(gè)銀幣賣了這三種牲畜100頭。問豬、山羊、綿羊各幾頭？