2020年高考數(shù)學(xué)40個(gè)考點(diǎn)總動(dòng)員 考點(diǎn)18 等差數(shù)列的運(yùn)算和性質(zhì)（教師版） 新課標(biāo)

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1、2020年新課標(biāo)數(shù)學(xué)40個(gè)考點(diǎn)總動(dòng)員 考點(diǎn)18 等差數(shù)列的運(yùn)算和性質(zhì)（教師版） 【高考再現(xiàn)】 熱點(diǎn)一、等差數(shù)列基本量的計(jì)算 1．（2020年高考遼寧文）在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則a2+a10=（　?。? A．12 B．16 C．20 D．24 2．（2020年高考北京文）已知為等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和.若,,則________;=________. 【答案】1, 【解析】,所以，∴∴ ∴. 3．（2020年高考重慶理）在等差數(shù)列中,,則的前5項(xiàng)和=（　　） A．7 B．15 C．20 D．25 4． （2020年高考福建理）等差數(shù)

2、列中,,則數(shù)列的公差為 （　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】,而,解得. 5．（2020年高考廣東理）已知遞增的等差數(shù)列滿足,,則______________. 【答案】 【解析】設(shè)公差為(),則有,解得,所以. 6．（2020年高考（山東文））已知等差數(shù)列的前5項(xiàng)和為105,且. (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)對(duì)任意,將數(shù)列中不大于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為.求數(shù)列的前m項(xiàng)和. 【方法總結(jié)】 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量，知三可求二，如果已知兩個(gè)條件，就可以列出方程組解之．如果利用等差數(shù)列的性質(zhì)、幾何意義去考慮也可以．體現(xiàn)了

3、用方程思想解決問題的方法． 熱點(diǎn)二、等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用 1．（2020年高考遼寧理）在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11=（　?。? A．58 B．88 C．143 D．176 2．（2020年高考江西理）設(shè)數(shù)列都是等差數(shù)列,若,則__________。 【答案】35 【解析】本題考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)及整體代換的數(shù)學(xué)思想 (解法一)因?yàn)閿?shù)列都是等差數(shù)列,所以數(shù)列也是等差數(shù)列. 故由等差中項(xiàng)的性質(zhì),得,即,解得. (解法二)設(shè)數(shù)列的公差分別為, 因?yàn)? 所以.所以. 3．（2020年高考四川文）設(shè)函數(shù),是公差不為0的等差數(shù)

4、列,,則（　?。? A．0 B．7 C．14 D．21 4．（2020年高考浙江理）設(shè)S n是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{a n}的前n項(xiàng)和,則下列命題錯(cuò)誤的是（　?。? A．若d<0,則數(shù)列{S n}有最大項(xiàng) B．若數(shù)列{S n}有最大項(xiàng),則d<0 C．若數(shù)列{S n}是遞增數(shù)列,則對(duì)任意的nN*,均有S n>0 D．若對(duì)任意的nN*,均有S n>0,則數(shù)列{S n}是遞增數(shù)列 5．（2020年高考四川理）設(shè)函數(shù),是公差為的等差數(shù)列,,則（　?。? A． B． C． D． 【答案】D 6．（2020年高考大綱理）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則數(shù)列的前

5、100項(xiàng)和為（　?。? A． B． C． D． 7．（2020年高考山東理）在等差數(shù)列中,. (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)對(duì)任意,將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為,求數(shù)列 的前項(xiàng)和. 【解析】:(Ⅰ)由a3+a4+a5=84,a5=73可得而a9=73, 則,,、 于是,即. (Ⅱ)對(duì)任意m∈N﹡,,則, 即,而,由題意可知, 于是 , 即. 【考點(diǎn)剖析】 一．明確要求 1．考查運(yùn)用基本量法求解等差數(shù)列的基本量問題． 2．考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式及綜合應(yīng)用． 3．考查等差數(shù)列的判斷方法，等差數(shù)列求和的方法．. 二．命題方向 三．規(guī)律

6、總結(jié) 基礎(chǔ)梳理 1．等差數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示． 2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d. 3．等差中項(xiàng) 如果A＝，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)． 4．等差數(shù)列的常用性質(zhì) 5．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 6．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn＝n2＋n，數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))． 7．最值問題 在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則S

7、n存在最大值，若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值． 兩個(gè)技巧 已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題，要善于設(shè)元． (1)若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…. (2)若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元． 四種方法 注　后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來證明等差數(shù)列． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．(人教A版教材習(xí)題改編)已知{an}為等差數(shù)列，a2＋a8＝12，則a5等于(　　)． A．4 B．5 C

8、．6 D．7 【答案】C 【解析】　a2＋a8＝2a5，∴a5＝6. 2．（經(jīng)典習(xí)題）設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a6＝2且S5＝30，則S8等于(　　)． A．31 B．32 C．33 D．34 3．（經(jīng)典習(xí)題）在等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝________. 【答案】　13　　 【解析】　設(shè)公差為d. 則a5－a2＝3d＝6， ∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13. 4．(教材習(xí)題改編)在等差數(shù)列{an}中，a2＋a6＝，則sin ＝(　　) A. B. C．－ D．－

9、 5．(教材習(xí)題改編)已知數(shù)列{an}，其通項(xiàng)公式為an＝3n－17，則其前n項(xiàng)和Sn取得最小值時(shí)n的值為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】由通項(xiàng)公式an＝3n－17可知{an}是以3為公差，－14為首項(xiàng)的等差數(shù)列．則Sn＝－14n＋×3＝n2－n，所以當(dāng)n＝5時(shí)，Sn取得最小值． 【名校模擬】 一．基礎(chǔ)扎實(shí) 1．(2020年大連沈陽聯(lián)合考試第二次模擬試題理)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是( ) A． B．5 C． D． 2．(20

10、20屆鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測(cè)理)在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為（ ） A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 3．(2020洛陽示范高中聯(lián)考高三理)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若,則的值是 （ ） A．24 B．19 C．36 D．40 【答案】A 【解析】∵ ∴ ∴ ∴ 4．(浙江省溫州中學(xué)2020屆高三10月月考理）已知等差數(shù)列中，，則的值是（ ） A．15 B． 30 C．31 D．64 【答案】：A 【解析】：∵，∴ 5．（山東省濟(jì)南市2020屆高三3月（二模）

11、月考理）在等差數(shù)列中，=-2 012 ，其前n項(xiàng)和為，若=2，則的值等于 A. -2 011 B. -2 012 C. -2 010 D. -2 013 6．(湖北省八校2020屆高三第一次聯(lián)考文)設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且是數(shù)列前項(xiàng)的和，則有（ ） A． B． C． D． 【答案】：B 【解析】：由題意得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則， 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則， 所以，故選B。 7．(河南省鄭州市2020屆高三第二次質(zhì)量預(yù)測(cè)文)在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為_______. 8．（海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí)

12、文）（本小題滿分13分） 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，，且成等比數(shù)列. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和公式. 9．(2020年長春市高中畢業(yè)班第二次調(diào)研測(cè)試文) 在等差數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為. ⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式； ⑵設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和. .【解析】：⑴， 即 得， ， . ⑵， ， 二．能力拔高 1．(2020年高三教學(xué)測(cè)試（二）理)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則 ． 2．(2020年石家莊市高中畢業(yè)班第一次模擬考試?yán)?

13、已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則使取得最小值時(shí)n的值為（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】∵a4+a7+a10=9，S14-S3=77，解得a1=-9，d=2． ∴當(dāng)n=5時(shí)，Sn取得最小值．故選B． 3．(浙江省2020屆理科數(shù)學(xué)高考領(lǐng)先卷—名校精粹重組試卷理)設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an }的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6+15=0，則d的取值范圍是 ． 4． (浙江省2020屆重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第二學(xué)期4月聯(lián)考試題理 )設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和若，，則，，，中最大的是（ ）

14、 A． B． C． D． 5．(浙江省溫州中學(xué)2020屆高三10月月考理）在數(shù)列中，，若為等差數(shù)列，則等于（ ） A． B． C． D． 6．(長春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三模擬考試（文）)若等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，則…等于（ ） A.49 B.98 C. 196 D.199 【答案】B 【解析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式以及分類討論的思想。由通項(xiàng)公式知該數(shù)列正數(shù)項(xiàng)到第7項(xiàng)為止，第八項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖像的對(duì)稱性，只需計(jì)

15、算前7項(xiàng)和，為49，故所求和為98，選B。 7．(武漢2020高中畢業(yè)生五月模擬考試?yán)? 在等差數(shù)列{an}中，若， 則的值為（ ） A．20 B．30 C．40 D．50 8．(2020黃岡市模擬及答題適應(yīng)性試?yán)?已知等差數(shù)列{ an }的前n項(xiàng)的和為，如果 （1） 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2） 求的最小值及其相應(yīng)的n的值； 從數(shù)列{an}中依次取出構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{bn}，求{bn}的前n項(xiàng)和。 三．提升自我 1．(中原六校聯(lián)誼2020年高三第一次聯(lián)考理)數(shù)列{）滿足并且,則數(shù)列的第2020項(xiàng)為（ ） A． B． C． D．

16、 2．(浙江省2020屆重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第二學(xué)期高考仿真試題理)在等差數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，則正整數(shù)的最小值為（ ） A． B． C． D． 3．(七校聯(lián)考 數(shù)學(xué)試卷文)設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，則 . 【答案】： -3 【解析】: 4．(仙桃市2020年五月高考仿真模擬試題文)已知，若等差數(shù)列的第5項(xiàng)的值為，則 。 5．(湖北省武漢市2020屆高三下學(xué)期4月調(diào)研測(cè)試?yán)? 在等差數(shù)列{an}中，滿

17、足3a5＝5a8，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和． （Ⅰ）若a1＞0，當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，求n的值； （Ⅱ）若a1＝－46，記bn＝，求bn的最小值． 【解析】：（Ⅰ）設(shè){an}的公差為d，則 由3a5＝5a8，得3(a1＋4d)＝5(a1＋7d)，∴d＝－a1． ∴Sn＝na1＋×(－a1)＝－a1n2＋a1n＝－a1(n－12)2＋a1． ∵a1＞0，∴當(dāng)n＝12時(shí)，Sn取得最大值． （Ⅱ）由（Ⅰ）及a1＝－46，得d＝－×(－46)＝4， ∴an＝－46＋(n－1)×4＝4n－50， Sn＝－46n＋×4＝2n2－48n． ∴bn＝＝＝2n＋－52≥2－52＝－32， 當(dāng)且僅當(dāng)2n＝，即n＝5時(shí)，等號(hào)成立． 故bn的最小值為－32． 【原創(chuàng)預(yù)測(cè)】 1．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過原點(diǎn)O），則 2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，又知=lnx+1，且則 為（ ） A 33 B 46 C 48 D 50 3．已知等差數(shù)列（公差不為零）和等差數(shù)列，如果關(guān)于的方程有解，那么以下九個(gè)方程，，，……，中，無解的方程最多有 個(gè)．