2019屆高中數(shù)學(xué) 專題2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)視角透析學(xué)案 新人教A版必修1

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1、 2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 【雙向目標(biāo)】 課程目標(biāo) 學(xué)科素養(yǎng) A掌握指數(shù)函數(shù)的概念,并能根據(jù)定義判斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù) B)能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)圖象,并根據(jù)圖象給出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) C. 能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決和指數(shù)函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題 a數(shù)學(xué)抽象:指數(shù)函數(shù)概念的理解,會(huì)根據(jù)定義判斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù) b邏輯推理:通過(guò)觀察圖象,總結(jié)出指數(shù)函數(shù)當(dāng)?shù)追謩e是,?的性質(zhì) c數(shù)學(xué)運(yùn)算:根據(jù)單調(diào)性等性質(zhì)計(jì)算參數(shù)的值 d 直觀想象:做出指數(shù)函數(shù)圖像并能識(shí)別圖像 e 數(shù)學(xué)建模:能用指數(shù)函數(shù)的思想解決生活中的實(shí)際問(wèn)題 【課標(biāo)知識(shí)】 知識(shí)提煉 基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 知識(shí)點(diǎn)1:.

2、指數(shù)函數(shù)定義 形如?y=ax?(且1)叫指數(shù)函數(shù),定義域?yàn)?(0,+∞) ,值域 R . 知識(shí)點(diǎn)2:指數(shù)函數(shù)圖像及其性質(zhì) 函數(shù) 圖 象 定義域 值域 定點(diǎn) 單調(diào)性 在上是減函數(shù) 在上是增函數(shù) 取值 情況 若,則 若,則 若,則 若,則 對(duì)稱性 函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱 1已知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),求的值。 2.下列以x為自變量的函數(shù)中,是指數(shù)函數(shù)的是( ) A.y=(-4)x B. C.y=-4x D.?(a>0且a≠1) 3.若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù),且f(2

3、)=2,則f(x)=( ) A.()x B.????C.???D. 4.函數(shù)的定義域是 ( ) A. B. C. D. 5.函數(shù)的大致圖象為( ??) 6.若,則 ( ) A. B. C. D. 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)參考答案: 1.【解析】因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn) ,所以 即,解得,于是。 所以。 【答案】見(jiàn)解析 【答案】A 5.【解析】,把的圖象向右平移的單位. 【答案】A 6.【解析】 ,所以 【答案】A 【能力素養(yǎng)】 探究一

4、 指數(shù)函數(shù)的圖象 例1. 如圖是指數(shù)函數(shù)①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象,則a,b,c,d與1的大小關(guān)系為( ) A.a(chǎn)

5、 ) A. B. C. D. 【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)可知a,b同號(hào)且不相等,則二次函數(shù)y=ax2+bx的對(duì)稱軸<0可排除B,D,C選項(xiàng)中,a﹣b>0,a<0,∴>1,則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增,故C不正確. 【答案】A 2. 【四川省眉山第一中學(xué)2017-2018學(xué)年高一12月月考數(shù)學(xué)試題】已知函數(shù) ()的圖象如圖所示,則函數(shù)的圖象是 ( ) A. B. C. D. 【解析】由已知中函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)的圖象可得: 0<a<1,b<-1,故g(x)=ax+b的圖象如下圖所示:,選A. 【答案】A 探究二

6、 利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小 或解指數(shù)不等式 例2:比較下列各題中兩個(gè)值的大小: (1)3π與33.14; (2) 1.40.1與0.90.3. 【分析】解答本題應(yīng)注意底數(shù)是否相同,若不能化為同底,可借助各值與“1”的大小關(guān)系來(lái)確定它們的大小. 【點(diǎn)評(píng)】在進(jìn)行數(shù)的大小比較時(shí),若底數(shù)相同,則可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果;若底數(shù)不相同,則首先考慮能否化為同底數(shù),然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果;不能化成同底數(shù)的,要考慮引進(jìn)第三個(gè)數(shù)(如0,1等)分別與之比較,從而得出結(jié)果.總之,比較時(shí)要盡量轉(zhuǎn)化成同底數(shù)的形式,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷. 【變式訓(xùn)練】 1. 已知a=2(5-

7、1),函數(shù)f(x)=ax,若實(shí)數(shù)m,n滿足f(m)>f(n),則m,n的大小關(guān)系為_(kāi)_______. 【解析】因?yàn)閍=2(5-1)∈(0,1),所以函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù).由f(m)>f(n)得m

8、的值域與單調(diào)區(qū)間. 【分析】用換元法將其化為指數(shù)函數(shù),利用指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與值域求法求解. 【解析】定義域?yàn)镽,,在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),又為減函數(shù),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),因此的值域?yàn)?,上是減函數(shù),在上是增函數(shù) 【答案】值域?yàn)椋鲜菧p函數(shù),在上是增函數(shù) 【點(diǎn)評(píng)】1.對(duì)復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題,先求出函數(shù)的定義域,根據(jù)定義域求出內(nèi)函數(shù)的值域,將內(nèi)函數(shù)的值域作為外函數(shù)的定義域,利用外函數(shù)的圖像與性質(zhì)求出外函數(shù)的值域,即為復(fù)合函數(shù)的值域. 2.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問(wèn)題,求出內(nèi)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間結(jié)合外函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定其單調(diào)性. 【變式訓(xùn)練】

9、1. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________;單調(diào)遞增區(qū)間是________. 【解析】,因此它的減區(qū)間為. 【答案】A 2.已知函數(shù),則 A. 是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù) B. 是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù) C. 是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù) D. 是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù) 【答案】A 探究四 指數(shù)函數(shù)的綜合運(yùn)用 例4: 已知f(x)=10x+10-x(10x-10-x). (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性; (2)證明f(x)是定義域內(nèi)的增函數(shù); (3)求f(x)的值域. 【分析】 (1)直接利用奇偶性定義進(jìn)行判斷. (2)欲直接利用單調(diào)性定義進(jìn)行

10、證明,則變形時(shí)較為復(fù)雜,故可先將f(x)化簡(jiǎn),然后用定義判斷. (3)將f(x)化簡(jiǎn)可變?yōu)閒(x)=1-102x+1(2),故把102x看成一個(gè)整體,進(jìn)行換元再求值域. 【答案】(1)奇函數(shù)(2)見(jiàn)解析(3)值域?yàn)? 【點(diǎn)評(píng)】指數(shù)函數(shù)是一種基本的初等函數(shù),常與第一章學(xué)習(xí)的函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等知識(shí)點(diǎn)融合在一起,此時(shí)按照函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的解決辦法分析、解決問(wèn)題 【變式訓(xùn)練】 1.已知函數(shù) (1)判斷在上的增減性,并證明你的結(jié)論 (2)解關(guān)于的不等式 (3)若在上恒成立,求的取值范圍 【解析】(1)f(x)在上為減函數(shù) 證明方法一:設(shè) 在上為減函數(shù) 方法二:

11、利用導(dǎo)數(shù)證明:f′(x)= <0 ∴f(x)在上為減函數(shù) (2)不等式即即 當(dāng),不等式的解當(dāng)a<0, ∵x>0 ∴恒成立 不等式的解 綜上所述當(dāng)a>0時(shí) 不等式的解{x|} 當(dāng)a<0時(shí),不等式的解{x|x>0}, (3)若 在恒成立即 2.已知函數(shù),其中,且. (1)若,求滿足的的取值范圍; (2)求關(guān)于的不等式的解集. 【解析】(1), 而,故,得:. (2), 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),. 故當(dāng)時(shí),解集為;當(dāng)時(shí),解集為. 【答案】(1);(2) 【課時(shí)作業(yè)】 課標(biāo) 素養(yǎng) 數(shù)學(xué) 抽象 邏輯 推理 數(shù)學(xué)

12、 運(yùn)算 直觀 想象 數(shù)學(xué) 建模 數(shù)據(jù) 分析 A 1 2 B 11,12 6,10 3 C 4,7,8,13 5,15 9 14 一、選擇題 1.下列以x為自變量的函數(shù)中,是指數(shù)函數(shù)的是 A.y=(?5)x B.y=ex(e≈2.718 28) C.y=?5x D.y=πx+2 【解析】由指數(shù)函數(shù)的概念可知B正確. 【答案】B 2.函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)? A.(?3,0] B.(?3,1] C.(?∞,?3)∪(?3,0] D.(?∞,?3)∪

13、(?3,1] 3.函數(shù)的大致圖象為 【解析】當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù),當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù),當(dāng)時(shí),所以B項(xiàng)正確. 【答案】B 4.已知,,,則 A. B. C. D. 【解析】由,,并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象可知,即;因?yàn)?,,所以.綜上,,故選A. 【答案】A 5.下列函數(shù)中,值域?yàn)?0,+∞)的是 A. B. C. D. 6.已知函數(shù)f(x)=(2a?1)x,若x>0時(shí)總有f(x)>1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A.1<a<2 B.a(chǎn)<2 C.a(chǎn)>1 D.0

14、 【解析】∵x>0時(shí),f(x)>1,所以此時(shí)函數(shù)為指數(shù)函數(shù)且底數(shù)大于1,因此由圖象知2a?1>1,∴a>1,故選C. 【答案】C 7.當(dāng)時(shí),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 A.(?2,1) B.(?4,3) C.(?1,2) D.(?3,4) 【解析】原不等式變形為,∵ 函數(shù)在上是減函數(shù),, 當(dāng)時(shí),恒成立等價(jià)于,解得,所以的取值范圍是,故選C. 【答案】C 8.若函數(shù)(a>0,且a≠1)是R上的單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A.(0,) B.(,1) C.(0,] D.[,1) 【答案

15、】D 二、填空題 9.函數(shù)的圖象必經(jīng)過(guò)定點(diǎn) . 【解析】的圖象恒過(guò)點(diǎn),則的圖象是由的圖象向右平移1個(gè)單位,且恒過(guò)點(diǎn),的圖象是由的圖象向下平移3個(gè)單位,且恒過(guò)點(diǎn). 【答案】 10.的值域是 . 【解析】函數(shù)由復(fù)合而成,其中是減函數(shù),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以原函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,從而函數(shù)在處取得最大值,最大值為,則值域?yàn)? 【答案】 11.已知函數(shù),若,則 . 【解析】因?yàn)?,所以,又,所以,解?【答案】 12.定義區(qū)間的長(zhǎng)度為,已知函數(shù) 的定義域?yàn)閇a,b],值域?yàn)閇1,9],則區(qū)間[a,b]

16、的長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)_______,最小值為_(kāi)_______. 【解析】由得x=0,由得,故滿足題意的定義域可以為或,故區(qū)間[a,b] 的最大長(zhǎng)度為4,最小長(zhǎng)度為2. 【答案】4,2 三、解答題 13.已知函數(shù). (Ⅰ)若,求的值. (Ⅱ)若函數(shù)在上的最大值與最小值的差為,求實(shí)數(shù)的值. 故. (Ⅱ)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增, ∴,化簡(jiǎn)得, 解得:(舍去)或. 當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減, ∴,化簡(jiǎn)得. 解得:(舍去)或. 綜上,實(shí)數(shù)的值為或. 【答案】(1);(2)實(shí)數(shù)的值為或. 14.已知函數(shù)f(x)=ax?1(x≥0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,),其中a>0且a≠1. (1)求a的值; (2)求函數(shù)y=f(x)(x≥0)的值域. 【答案】(1);(2)(0,2]. 15.已知函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值與最小值之和為20,記. (1)求a的值; (2)證明:f(x)+f(1?x)=1; (3)求的值. 【解析】(1)函數(shù)在[1,2]上的最大值與最小值之和為20, (2)由(1)知,,即 (3)由(2)知, , … 【答案】(1)4;(2)1;(3)1008. 14

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