高三數(shù)學(xué) 第40課時(shí) 均值不等式教案

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1、課題:算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 教學(xué)目標(biāo):掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的的定理,并會(huì)簡單運(yùn)用; 利用不等式求最值時(shí)要注意到“一正”“二定”“三相等”. 教學(xué)重點(diǎn):均值不等式的靈活應(yīng)用。 (一) 主要知識(shí): 兩個(gè)數(shù)的均值不等式:若,則≥(等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立) 三個(gè)數(shù)的均值不等式:若,則≥(等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立) 幾個(gè)重要的不等式: ① ≤≤ ②≤; ③如果,則≥≥≥ 最值定理:當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和一定時(shí),其乘積有最大值;當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的乘積一定時(shí),其和 有最小值。 (二)主要方法: 常見構(gòu)造條件的變換:加項(xiàng)變換,系數(shù)變換,平方變換,拆項(xiàng)變換,常量代換,三角代換等.當(dāng)

2、使用均值定理時(shí)等號(hào)不能成立時(shí),應(yīng)考慮函數(shù)的單調(diào)性(例如“對(duì)號(hào)”函數(shù),導(dǎo)數(shù)法). (三)典例分析: 問題1.求下列函數(shù)的最值: ;;; ; ; 已知(為常數(shù)),,求的最小值 問題2.已知,,且,求 的最大值. 問題3.求最小值; 問題4.設(shè),,且,則 已知≥,≥,且,求證:≤ 若, 求的最小值 (四)課后作業(yè): 已知那么的最小值是 已知:,求證: 若,

3、則的最大值是 此時(shí), 已知,則的最小值為 已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值和最大值分別為 , , , ,無最大值 求的最小值 當(dāng)時(shí),求證:. 已知正數(shù)、滿足,則的最大值是 下列函數(shù)中,的最小值為的是 若,且,則的最大值是 (內(nèi)江二中)已知,則的最小值是

4、 若是正實(shí)數(shù),,則的最大值是 要使不等式對(duì)所有正數(shù)都成立,試問的最小值是 (屆高三西安市第一次質(zhì)檢),由不等式≥,≥, ≥,…,啟發(fā)我們得到推廣結(jié)論: ≥,則 已知:、,,求的最小值 (五)走向高考: (湖南)設(shè)則以下不等式中不恒成立的是 (重慶)若是正數(shù),則的最小值是 (福建文)下列結(jié)論正確的是 當(dāng)且時(shí),則 當(dāng)時(shí), 當(dāng)≥時(shí),的最小值為 當(dāng)時(shí),無最大值 (陜西)已知不等式≥對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立,則正實(shí)數(shù)的 最小值為

5、 (重慶文)若且,則的最小值是 (重慶)若且,則的最小值為 (山東)函數(shù)(,)的圖象恒過定點(diǎn),若點(diǎn)在直線上,其中,則的最小值為 (山東文)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,則的取值范圍是 (上海)若,且,則的最大值是 (上海)若關(guān)于的不等式≤的解集是,則對(duì)任意實(shí)常數(shù),總有 , ,, , (上海)已知函數(shù)=有如下性質(zhì):如果常數(shù)>0,那么該函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù). 如果函數(shù)=()的值域?yàn)?,求的值? 研究函數(shù)=(常數(shù))在定義域內(nèi)的單調(diào)性,并說明理由; 對(duì)函數(shù)=和=(常數(shù))作出推廣,使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例.研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性(只須寫出結(jié)論,不必證明),并求函數(shù)=+(是正整數(shù))在區(qū)間上的最大值和最小值(可利用你的研究結(jié)論).

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