【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 數(shù)學(xué)思想方法】專(zhuān)題10 第46練

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第46練　分類(lèi)討論思想 [思想方法解讀]　分類(lèi)討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其基本思路是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的思想策略. 1.中學(xué)數(shù)學(xué)中可能引起分類(lèi)討論的因素： (1)由數(shù)學(xué)概念而引起的分類(lèi)討論：如絕對(duì)值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線的傾斜角等. (2)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求而引起的分類(lèi)討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)數(shù)，對(duì)數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式中兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域，等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式等. (3)由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類(lèi)討論：如函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等. (4)由圖形的不確定性而引起的分類(lèi)討論：如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象等. (5)由參數(shù)的變化而引起的分類(lèi)討論：如某些含有參數(shù)的問(wèn)題，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，或者由于對(duì)不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法等. 2.進(jìn)行分類(lèi)討論要遵循的原則是：分類(lèi)的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論.其中最重要的一條是“不重不漏”. 3.解答分類(lèi)討論問(wèn)題時(shí)的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類(lèi)，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏、分類(lèi)互斥(沒(méi)有重復(fù))；再對(duì)所分類(lèi)逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論. ?？碱}型精析 題型一　由概念、公式、法則、計(jì)算性質(zhì)引起的分類(lèi)討論 例1　設(shè)集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 　 　 　 點(diǎn)評(píng)　對(duì)概念、公式、法則的內(nèi)含及應(yīng)用條件的準(zhǔn)確把握是解題關(guān)鍵，在本題中，B?A，包括B＝?和B≠?兩種情況.解答時(shí)就應(yīng)分兩種情況討論，在關(guān)于指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算中，底數(shù)的取值范圍是進(jìn)行討論時(shí)首先要考慮的因素. 變式訓(xùn)練1　若函數(shù)f(x)＝ax (a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則a＝________. 題型二　分類(lèi)討論在含參函數(shù)中的應(yīng)用 例2　已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]上有最大值2，求a的值. 　 　 　 　 　 　 點(diǎn)評(píng)　本題中函數(shù)的定義域是確定的，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是不確定的，二次函數(shù)的最值問(wèn)題與對(duì)稱(chēng)軸息息相關(guān)，因此需要對(duì)對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行討論，分對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi)和對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間外，從而確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，即可表示函數(shù)的最大值，從而求出a的值. 變式訓(xùn)練2　(2015江蘇)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R). (1)試討論f(x)的單調(diào)性； (2)若b＝c－a(實(shí)數(shù)c是與a無(wú)關(guān)的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是(－∞，－3)∪∪，求c的值. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 題型三　根據(jù)圖形位置或形狀分類(lèi)討論 例3　在約束條件下，當(dāng)3≤s≤5時(shí)，z＝3x＋2y的最大值的變化范圍是(　　) A.[6,15] B.[7,15] C.[6,8] D.[7,8] 點(diǎn)評(píng)　幾類(lèi)常見(jiàn)的由圖形的位置或形狀變化引起的分類(lèi)討論 (1)二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的變化；(2)函數(shù)問(wèn)題中區(qū)間的變化；(3)函數(shù)圖象形狀的變化；(4)直線由斜率引起的位置變化；(5)圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化；(6)立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變化等. 變式訓(xùn)練3　設(shè)F1、F2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，已知P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且＞，求的值. 　 　 　 　 　 　 　 　高考題型精練 1.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿(mǎn)足(x－1)f′(x)≥0，則必有(　　) A.f(0)＋f(2)<2f(1) B.f(0)＋f(2)≤2f(1) C.f(0)＋f(2)≥2f(1) D.f(0)＋f(2)>2f(1) 2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝pn－1(p是常數(shù))，則數(shù)列{an}是(　　) A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.等差數(shù)列或等比數(shù)列 D.以上都不對(duì) 3.已知變量x，y滿(mǎn)足的不等式組表示的是一個(gè)直角三角形圍成的平面區(qū)域，則實(shí)數(shù)k等于(　　) A.－ B. C.0 D.－或0 4.(2014四川)設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x＋my＝0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|＋|PB|的取值范圍是(　　) A.[，2] B.[，2] C.[，4] D.[2，4] 5.(2015大連模擬)拋物線y2＝4px (p>0)的焦點(diǎn)為F，P為其上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OPF為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 6.在等比數(shù)列{an}中，已知a3＝，S3＝，則a1＝________. 7.已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1對(duì)于x∈[－1,1]總有f(x)≥0成立，則a＝________. 8.(2014浙江)若某程序框圖如圖所示，當(dāng)輸入50時(shí)，則該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是________. 9.(2015南昌模擬)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過(guò)A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M. (1)求拋物線的方程； 　 　 　 　 (2)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)K(m,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線AK與圓M的位置關(guān)系. 　 　 　 　 10.已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝(x－a). (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)設(shè)g(a)為f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值. ①寫(xiě)出g(a)的表達(dá)式； ②求a的取值范圍，使得－6≤g(a)≤－2. 　 　 　 　 　 　 答案精析 第46練　分類(lèi)討論思想 常考題型精析 例1　解　∵A＝{0，－4}，B?A，于是可分為以下幾種情況. (1)當(dāng)A＝B時(shí)，B＝{0，－4}， ∴由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得a＝1. (2)當(dāng)BA時(shí)，又可分為兩種情況. ①當(dāng)B≠?時(shí)，即B＝{0}或B＝{－4}， 當(dāng)x＝0時(shí)，有a＝1； 當(dāng)x＝－4時(shí)，有a＝7或a＝1. 又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0， 解得a＝－1，此時(shí)B＝{0}滿(mǎn)足條件； ②當(dāng)B＝?時(shí)，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1. 綜合(1)(2)知，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤－1或a＝1. 變式訓(xùn)練1　 解析　若a>1，有a2＝4，a－1＝m，此時(shí)a＝2，m＝， 此時(shí)g(x)＝－在[0，＋∞)上為減函數(shù)，不合題意. 若01時(shí)，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2. 綜上可知，a＝－1或a＝2. 變式訓(xùn)練2　解　(1)f′(x)＝3x2＋2ax， 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－. 當(dāng)a＝0時(shí)，因?yàn)閒′(x)＝3x2≥0， 所以函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a＞0時(shí)，x∈∪(0，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，x∈時(shí)，f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)在，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)a＜0時(shí)，x∈(－∞，0)∪時(shí)，f′(x)＞0，x∈時(shí)，f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (2)由(1)知，函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值為f(0)＝b， f＝a3＋b，則函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f(0)f＝b＜0， 從而或 又b＝c－a，所以當(dāng)a＞0時(shí)，a3－a＋c＞0或當(dāng)a＜0時(shí)，a3－a＋c＜0. 設(shè)g(a)＝a3－a＋c，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是(－∞，－3)∪∪， 則在(－∞，－3)上g(a)＜0，且在∪上g(a)＞0均恒成立. 從而g(－3)＝c－1≤0，且g＝c－1≥0，因此c＝1. 此時(shí)，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－a]， 因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則x2＋(a－1)x＋1－a＝0有兩個(gè)異于－1的不等實(shí)根，所以Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3＞0，且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0， 解得a∈(－∞，－3)∪∪. 綜上c＝1. 例3　D [由? 取點(diǎn)A(2,0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4). (1)當(dāng)3≤s<4時(shí)，可行域是四邊形OABC，如圖(1)所示，此時(shí)，7≤z<8. (2)當(dāng)4≤s≤5時(shí)，此時(shí)可行域是△OAC′，如圖(2)所示，zmax＝8.綜上，z＝3x＋2y最大值的變化范圍是[7,8].] 變式訓(xùn)練3　解　若∠PF2F1＝90， 則2＝|PF2|2＋2， 又∵＋＝6，＝2， 解得＝，＝，∴＝. 若∠F1PF2＝90， 則2＝2＋2， ∴2＋(6－)2＝20， 又|PF1|>|PF2|，∴＝4，＝2， ∴＝2. 綜上知，＝或2. 高考題型精練 1.C [依題意，若任意函數(shù)f(x)為常函數(shù)時(shí)，則(x－1)f′(x)＝0在R上恒成立；若任意函數(shù)f(x)不是常函數(shù)時(shí)，當(dāng)x≥1時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(－∞，1)上是減函數(shù)，故f(x)當(dāng)x＝1時(shí)取得最小值，即有f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，綜上，則有f(0)＋f(2)≥2f(1).] 2.D [∵Sn＝pn－1， ∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)， 當(dāng)p≠1且p≠0時(shí)，{an}是等比數(shù)列； 當(dāng)p＝1時(shí)，{an}是等差數(shù)列； 當(dāng)p＝0時(shí)，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此時(shí){an}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列.] 3.D [不等式組表示的可行域如圖(陰影部分)所示，由圖可知若不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形，只有直線y＝kx＋1與直線x＝0垂直(如圖①)或直線y＝kx＋1與直線y＝2x垂直(如圖②)時(shí)，平面區(qū)域才是直角三角形. 由圖形可知斜率k的值為0或－.] 4.B [由動(dòng)直線x＋my＝0知定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0)，由動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0知定點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3)，且兩直線互相垂直，故點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)，|PA|＋|PB|取得最小值，(|PA|＋|PB|)min＝|AB|＝.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B不重合時(shí)，在Rt△PAB中，有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.因?yàn)閨PA|2＋|PB|2≥2|PA||PB|，所以2(|PA|2＋|PB|2)≥(|PA|＋|PB|)2，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|時(shí)取等號(hào)，所以|PA|＋|PB|≤＝＝2，所以≤|PA|＋|PB|≤2，所以|PA|＋|PB|的取值范圍是[，2].] 5.C [當(dāng)|PO|＝|PF|時(shí)，點(diǎn)P在線段OF的中垂線上，此時(shí)，點(diǎn)P的位置有兩個(gè)；當(dāng)|OP|＝|OF|時(shí)，點(diǎn)P的位置也有兩個(gè)；對(duì)|FO|＝|FP|的情形，點(diǎn)P不存在.事實(shí)上，F(xiàn)(p,0)，若設(shè)P(x，y)，則|FO|＝p，|FP|＝，若＝p，則有x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，當(dāng)x＝0時(shí)，不構(gòu)成三角形.當(dāng)x＝－2p(p>0)時(shí)，與點(diǎn)P在拋物線上矛盾.∴符合要求的點(diǎn)P一共有4個(gè).] 6.或6 解析　當(dāng)q＝1時(shí)，a1＝a2＝a3＝， S3＝3a1＝，顯然成立； 當(dāng)q≠1時(shí)，由題意，得 所以 由①②，得＝3，即2q2－q－1＝0， 所以q＝－或q＝1(舍去).當(dāng)q＝－時(shí)，a1＝＝6. 綜上可知，a1＝或a1＝6. 7.4 解析　若x＝0，則不論a取何值，f(x)≥0顯然成立； 當(dāng)x>0即x∈(0,1]時(shí)，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化為 a≥－. 設(shè)g(x)＝－，則g′(x)＝，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減， 因此g(x)max＝g＝4，從而a≥4； 當(dāng)x<0即x∈[－1,0)時(shí)， f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化為a≤－， 令g(x)＝－，g′(x)＝>0，g(x)在區(qū)間[－1，0)上單調(diào)遞增， 因此g(x)min＝g(－1)＝4，從而a≤4，綜上得a＝4. 8.6 解析　輸入n＝50，由于i＝1，S＝0， 所以S＝20＋1＝1，i＝2，此時(shí)不滿(mǎn)足S>50； 當(dāng)i＝2時(shí)，S＝21＋2＝4，i＝3，此時(shí)不滿(mǎn)足S>50； 當(dāng)i＝3時(shí)，S＝24＋3＝11，i＝4，此時(shí)不滿(mǎn)足S>50； 當(dāng)i＝4時(shí)，S＝211＋4＝26，i＝5，此時(shí)不滿(mǎn)足S>50； 當(dāng)i＝5時(shí)，S＝226＋5＝57，i＝6，此時(shí)滿(mǎn)足S>50，因此輸出i＝6. 9.解　(1)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－， 由題意得4＋＝5，所以p＝2， 所以拋物線的方程為y2＝4x. (2)由題意知，圓M的圓心為點(diǎn)(0,2)，半徑為2. 當(dāng)m＝4時(shí)，直線AK的方程為x＝4， 此時(shí)，直線AK與圓M相離； 當(dāng)m≠4時(shí)，由(1)知A(4,4)， 則直線AK的方程為：y＝(x－m)， 即4x－(4－m)y－4m＝0， 圓心M(0,2)到直線AK的距離 d＝， 令d>2，解得m>1. 所以，當(dāng)m>1時(shí)，直線AK與圓M相離； 當(dāng)m＝1時(shí)，直線AK與圓M相切； 當(dāng)m<1時(shí)，直線AK與圓M相交. 10.解　(1)函數(shù)的定義域?yàn)閇0，＋∞)， f′(x)＝(x>0). 若a≤0，則f′(x)>0，f(x)有單調(diào)遞增區(qū)間[0，＋∞). 若a>0，令f′(x)＝0，得x＝， 當(dāng)0時(shí)，f′(x)>0. f(x)有單調(diào)遞減區(qū)間[0，]， 有單調(diào)遞增區(qū)間(，＋∞). (2)①由(1)知，若a≤0，f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增， 所以g(a)＝f(0)＝0. 若0

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