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【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 三角函數(shù)與平面向量】專題4 第18練

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【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 三角函數(shù)與平面向量】專題4 第18練

第18練三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型分析高考展望三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考中對三角函數(shù)部分考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn),主要包括三個大的方面:三角函數(shù)圖象的識別,三角函數(shù)的簡單性質(zhì)以及三角函數(shù)圖象的平移、伸縮變換.考查題型既有選擇題、填空題,也有解答題,難度一般為低中檔,在二輪復(fù)習(xí)中應(yīng)強(qiáng)化該部分的訓(xùn)練,爭取對該類試題會做且不失分.??碱}型精析題型一三角函數(shù)的圖象例1(1)(2015課標(biāo)全國)函數(shù)f(x)cos(x)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.,kZB.,kZC.,kZD.,kZ(2)(2014湖北)某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位:)隨時間t(單位:h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系:f(t)10costsint,t0,24).求實(shí)驗(yàn)室這一天上午8時的溫度;求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差.點(diǎn)評(1)畫三角函數(shù)圖象用“五點(diǎn)法”,由圖象求函數(shù)解析式逆用“五點(diǎn)法”是比較好的方法.(2)對三角函數(shù)圖象主要確定下列信息:周期;最值;對稱軸;與坐標(biāo)軸交點(diǎn);單調(diào)性;與標(biāo)準(zhǔn)曲線的對應(yīng)關(guān)系.變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)2sin(x)(其中>0,|<)的最小正周期是,且f(0),則()A., B.,C.2, D.2,(2)已知函數(shù)f(x)Asin(x) (A>0,|<,>0)的圖象的一部分如圖所示,則該函數(shù)的解析式為_.題型二三角函數(shù)的簡單性質(zhì)例2設(shè)函數(shù)f(x)sin2xsin xcos x(>0),且yf(x)圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為.(1)求的值;(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.點(diǎn)評解決此類問題首先將已知函數(shù)式化為yAsin(x)k(或yAcos(x)k)的形式,再將x看成, 利用ysin (或ycos )的單調(diào)性、對稱性等性質(zhì)解決相關(guān)問題.變式訓(xùn)練2(2014福建)已知函數(shù)f(x)cos x(sin xcos x).(1)若0<<,且sin ,求f()的值;(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.題型三三角函數(shù)圖象的變換例3已知函數(shù)f(x)10sin cos 10cos2.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度,再向下平移a(a0)個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,且函數(shù)g(x)的最大值為2.求函數(shù)g(x)的解析式;證明:存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x0,使得g(x0)0.點(diǎn)評對于三角函數(shù)圖象變換問題,平移變換規(guī)則是“左加右減上加下減”并且在變換過程中只變換其中的自變量x,要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位和方向,當(dāng)兩個函數(shù)的名稱不同時,首先要將函數(shù)名稱統(tǒng)一,其次把x寫成(x),最后確定平移的單位和方向.伸縮變換時注意敘述為“變?yōu)樵瓉淼摹边@個字眼,變換的倍數(shù)要根據(jù)橫向和縱向,要加以區(qū)分.變式訓(xùn)練3(2014山東)已知向量a(m,cos 2x),b(sin 2x,n), 函數(shù)f(x)ab,且yf(x)的圖象過點(diǎn)(,)和點(diǎn)(,2).(1)求m,n的值;(2)將yf(x)的圖象向左平移(0<<)個單位后得到函數(shù)yg(x)的圖象,若yg(x)圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1,求yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.高考題型精練1.(2015四川)下列函數(shù)中,最小正周期為且圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)是()A.ycos B.ysinC.ysin 2xcos 2x D.ysin xcos x2.(2014福建)將函數(shù)ysin x的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)yf(x)的圖象,則下列說法正確的是()A.yf(x)是奇函數(shù)B.yf(x)的周期為C.yf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱D.yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對稱3.已知函數(shù)f(x)Atan(x)(>0,|<),yf(x)的部分圖象如圖所示,則f()等于()A.B.1C.D.14.(2014遼寧)將函數(shù)y3sin(2x)的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)()A.在區(qū)間,上單調(diào)遞減B.在區(qū)間,上單調(diào)遞增C.在區(qū)間,上單調(diào)遞減D.在區(qū)間,上單調(diào)遞增5.將函數(shù)f(x)4sin的圖象向右平移個單位,再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,所得圖象關(guān)于直線x對稱,則的最小正值為()A. B.C. D.6.函數(shù)f(x)Asin(x) (A>0,>0,|<)的部分圖象如圖所示,則將yf(x)的圖象向右平移個單位后,得到的圖象的解析式為()A.ysin 2x B.ycos 2xC.ysin D.ysin7.若函數(shù)f(x)cos(2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱,且<<,則函數(shù)yf為()A.奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增B.偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增C.偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減D.奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減8.(2015湖北)函數(shù)f(x)4cos2cos2sin x|ln(x1)|的零點(diǎn)個數(shù)為_.9.函數(shù)ycos(2x)(<)的圖象向右平移個單位后,與函數(shù)ysin的圖象重合,則_.10.(2015湖北)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)Asin(x)在某一個周期內(nèi)的圖象時,列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表: x02xAsin(x)0550(1) 請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,填寫在答題卡上相應(yīng)位置,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式;(2) 將yf(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動個單位長度,得到y(tǒng)g(x)的圖象,求yg(x)的圖象離原點(diǎn)O最近的對稱中心.11.(2014重慶)已知函數(shù)f(x)sin(x)(>0,<)的圖象關(guān)于直線x對稱,且圖象上相鄰兩個最高點(diǎn)的距離為.(1)求和的值;(2)若f()(<<),求cos()的值.12.(2015重慶)已知函數(shù)f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)討論f(x)在上的單調(diào)性.答案精析第18練三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)??碱}型精析例1D 由圖象知,周期T22,2,.由2k,kZ,不妨取,f(x)cos.由2k<x<2k,kZ,得2k<x<2k,kZ,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,kZ.故選D.(2)解f(8)10cos(8)sin(8)10cossin10()10.故實(shí)驗(yàn)室上午8時的溫度為10.因?yàn)閒(t)102(costsint)102sin(t),又0t<24,所以t<,1sin(t)1.當(dāng)t2時,sin(t)1;當(dāng)t14時,sin(t)1.于是f(t)在0,24)上的最大值為12,最小值為8.故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為12,最低溫度為8,最大溫差為4.變式訓(xùn)練1(1)D (2)f(x)2sin解析(1)f(x)2sin(x) (>0,|<)的最小正周期為,T,2.f(0)2sin ,即sin (|<),.(2)觀察圖象可知:A2且點(diǎn)(0,1)在圖象上,12sin(0),即sin .|<,.又是函數(shù)的一個零點(diǎn),且是圖象遞增穿過x軸形成的零點(diǎn),2,2.f(x)2sin.例2解(1)f(x)sin2xsin xcos xsin 2xcos 2xsin 2xsin.依題意知4,>0,所以1.(2)由(1)知f(x)sin.當(dāng)x時,2x.所以sin1.所以1f(x).故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為,1.變式訓(xùn)練2解(1)因?yàn)?<<,sin ,所以cos .所以f()().(2)因?yàn)閒(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin(2x),所以T.由2k2x2k,kZ,得kxk,kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k,k,kZ.例3解(1)因?yàn)閒(x)10sin cos 10cos25sin x5cos x510sin5,所以函數(shù)f(x)的最小正周期T2.(2)將f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到y(tǒng)10sin x5的圖象,再向下平移a(a0)個單位長度后得到g(x)10sin x5a的圖象.又已知函數(shù)g(x)的最大值為2,所以105a2,解得a13.所以g(x)10sin x8.要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x0,使得g(x0)0,就是要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x0,使得10sin x080,即sin x0.由知,存在00,使得sin 0.由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)x(0,0)時,均有sin x.因?yàn)閥sin x的周期為2,所以當(dāng)x(2k0,2k0)(kZ)時,均有sin x.因?yàn)閷θ我獾恼麛?shù)k,(2k0)(2k0)201,所以對任意的正整數(shù)k,都存在正整數(shù)x0(2k0,2k0),使得sin x0.亦即,存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x0,使得g(x0)0.變式訓(xùn)練3解(1)由題意知f(x)abmsin 2xncos 2x.因?yàn)閥f(x)的圖象過點(diǎn)(,)和(,2),所以即解得(2)由(1)知f(x)sin 2xcos 2x2sin(2x).由題意知g(x)f(x)2sin(2x2).設(shè)yg(x)的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為(x0,2),由題意知x11,所以x00,即到點(diǎn)(0,3)的距離為1的最高點(diǎn)為(0,2).將其代入yg(x)得sin(2)1,因?yàn)?<<,所以,因此g(x)2sin(2x)2cos 2x.由2k2x2k,kZ得kxk,kZ,所以函數(shù)yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k,k,kZ.高考題型精練1. A ycossin 2x,最小正周期T,且為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,故A正確;ysincos 2x,最小正周期為,且為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱,故B不正確;C,D均為非奇非偶函數(shù),其圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱,故C,D不正確.2.D 由題意知,f(x)cos x,所以它是偶函數(shù),A錯;它的周期為2,B錯;它的對稱軸是直線xk,kZ,C錯;它的對稱中心是點(diǎn),kZ,D對.3.C 由圖象知,T2(),2.由2k,kZ,得k,kZ.又|,.由Atan(20)1,知A1,f(x)tan(2x),f()tan(2)tan.4.B y3sin(2x)的圖象向右平移個單位長度得到y(tǒng)3sin2(x)3sin(2x).令2k2x2k得kxk,kZ,則y3sin(2x)的增區(qū)間為k,k,kZ.令k0得其中一個增區(qū)間為,故B正確.畫出y3sin(2x)在,上的簡圖,如圖,可知y3sin(2x)在,上不具有單調(diào)性,故C,D錯誤.5.B 依題意可得yf(x)y4sin2(x)4sin2x(2)yg(x)4sin4x(2),因?yàn)樗脠D象關(guān)于直線x對稱,所以g4,得(kZ),故選B.6.D 由圖象知A1,T,T,2,由sin1,|<得f(x)sin,則圖象向右平移個單位后得到的圖象的解析式為ysinsin.7.D 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)cos(2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱,則k,kZ.即k,kZ,又<<,則,則yfcoscossin 2x,所以該函數(shù)為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減.8.2解析f(x)4cos2sin x2sin x|ln(x1)|2sin x|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|,令f(x)0,得sin 2x|ln(x1)|.在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)ysin 2x與函數(shù)y|ln(x1)|的大致圖象如圖所示.觀察圖象可知,兩函數(shù)圖象有2個交點(diǎn),故函數(shù)f(x)有2個零點(diǎn).9.解析函數(shù)ycos(2x)向右平移個單位,得到y(tǒng)sin,即ysin向左平移個單位得到函數(shù)ycos(2x),ysin向左平移個單位,得ysinsinsincoscos,即.10.解(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù),解得A5,2,.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表:x02xAsin(x)05050且函數(shù)表達(dá)式為f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin,因此g(x)5sin5sin.因?yàn)閥sin x的對稱中心為(k,0),kZ.令2xk,解得x,kZ.即yg(x)圖象的對稱中心為,kZ,其中離原點(diǎn)O最近的對稱中心為.11.解(1)因?yàn)閒(x)的圖象上相鄰兩個最高點(diǎn)的距離為,所以f(x)的最小正周期為T,從而2.又因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x對稱,所以2k,k0,1,2,.由<,得k0,所以.(2)由(1)得f()sin(2),所以sin().由<<,得0<<,所以cos() .所以cos()sin sin()sin()coscos()sin.12.解(1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin,因此f(x)的最小正周期為,最大值為.(2)當(dāng)x時,02x,從而當(dāng)02x,即x時,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)2x,即x時,f(x)單調(diào)遞減.綜上可知,f(x)在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.第 17 頁 共 17 頁

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