【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 概率與統(tǒng)計】專題8 第39練

第39練隨機(jī)變量及其分布列題型分析高考展望隨機(jī)變量及其分布列是高考的一個必考熱點(diǎn)，主要包括離散型隨機(jī)變量及其分布列，期望與方差，二項分布及其應(yīng)用和正態(tài)分布.對本部分知識的考查，一是以實際生活為背景求解離散型隨機(jī)變量的分布列和期望；二是獨(dú)立事件概率的求解；三是考查二項分布.?？碱}型精析題型一條件概率與相互獨(dú)立事件的概率例1(1)(2014課標(biāo)全國)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45(2)(2014山東)乒乓球臺面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個不相交的區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C，D.某次測試要求隊員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在C上記3分，在D上記1分，其他情況記0分.對落點(diǎn)在A上的來球，隊員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為，在D上的概率為；對落點(diǎn)在B上的來球，小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為，在D上的概率為.假設(shè)共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；兩次回球結(jié)束后，小明得分之和的分布列與數(shù)學(xué)期望.點(diǎn)評(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A).這是通用的求條件概率的方法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A).(3)相互獨(dú)立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查，這類問題具有一個明顯的特征，那就是在題目的條件中已經(jīng)出現(xiàn)一些概率值，解題時先要判斷事件的性質(zhì)(是互斥還是相互獨(dú)立)，再選擇相應(yīng)的公式計算求解.變式訓(xùn)練1(1)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于()A. B. C. D.(2)(2014陜西)在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物市場價格(元/kg)610概率0.40.6設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率.題型二離散型隨機(jī)變量的期望和方差例2(2015山東)若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分.(1)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)” ；(2)若甲參加活動，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).點(diǎn)評離散型隨機(jī)變量的期望和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機(jī)變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點(diǎn)分布、二項分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對于特殊類型的期望和方差可以直接代入相應(yīng)公式求解，而對于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計算，注意離散型隨機(jī)變量的取值與概率間的對應(yīng).變式訓(xùn)練2(2014遼寧)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).題型三二項分布問題例3(2014湖北)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站.過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的頻率，并假設(shè)各年的入流量相互獨(dú)立.(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：年入流量X40<X<8080X120X>120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？點(diǎn)評應(yīng)用公式Pn(k)Cpk(1p)n-k的三個條件：(1)在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p；(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗，而且各次試驗的結(jié)果是相互獨(dú)立的；(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.變式訓(xùn)練3甲、乙兩支排球隊進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)分別求甲隊以30,31,32勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為30或31，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為32，則勝利方得2分，對方得1分.求乙隊得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.高考題型精練1.(2015成都模擬)甲射擊命中目標(biāo)的概率是，乙命中目標(biāo)的概率是，丙命中目標(biāo)的概率是.現(xiàn)在三人同時射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為()A. B. C. D.2.在4次獨(dú)立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率是，則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為()A. B. C. D.以上全不對3.先后擲兩次骰子(骰子的六個面上分別有1,2,3,4,5,6個點(diǎn))，落在水平桌面后，記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，設(shè)事件A為“xy為偶數(shù)”，事件B為“x，y中有偶數(shù)且xy”，則概率P(B|A)等于()A. B. C. D.4.小王參加了2015年春季招聘會，分別向A，B兩個公司投遞個人簡歷.假定小王得到A公司面試的概率為，得到B公司面試的概率為p，且兩個公司是否讓其面試是獨(dú)立的.記為小王得到面試的公司個數(shù).若0時的概率P(0)，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E()_.5.某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率為_.6.(2014浙江)隨機(jī)變量的取值為0,1,2.若P(0)，E()1，則D()_.7.(2014安徽)甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).8.(2015德州模擬)已知甲箱中只放有x個紅球與y個白球(x，y0，且xy6)，乙箱中只放有2個紅球、1個白球與1個黑球(球除顏色外，無其他區(qū)別).若從甲箱中任取2個球，從乙箱中任取1個球.(1)記取出的3個顏色全不相同的概率為P，求當(dāng)P取得最大值時x，y的值；(2)當(dāng)x2時，求取出的3個球中紅球個數(shù)的期望E().9.(2014福建)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1 000位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元，求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望.(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是60 000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由.10.(2015安徽)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束.(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).答案精析第39練隨機(jī)變量及其分布列?？碱}型精析例1A 已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率，可根據(jù)條件概率公式，得P0.8.(2)解記Ai為事件“小明對落點(diǎn)在A上的來球回球的得分為i分”(i0,1,3)，則P(A3)，P(A1)，P(A0)1.記Bj為事件“小明對落點(diǎn)在B上的來球回球的得分為j分”(j0,1,3)，則P(B3)，P(B1)，P(B0)1.記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”.由題意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的獨(dú)立性和互斥性，得P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3)P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3)，所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為.由題意，隨機(jī)變量可能的取值為0,1,2,3,4,6，由事件的獨(dú)立性和互斥性，得P(0)P(A0B0)，P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1)，P(2)P(A1B1)，P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3)，P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3)，P(6)P(A3B3).可得隨機(jī)變量的分布列為012346P所以數(shù)學(xué)期望E()012346.變式訓(xùn)練1B P(A)，P(AB)，P(B|A).(2)解設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，B表示事件“作物市場價格為6 元/kg”，由題設(shè)知P(A)0.5，P(B)0.4，利潤產(chǎn)量市場價格成本.X所有可能的取值為500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,30061 000800.P(X4 000)P()P()(10.5)(10.4)0.3，P(X2 000)P()P(B)P(A)P()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，所以X的分布列為X4 0002 000800P0.30.50.2設(shè)Ci表示事件“第i季利潤不少于2 000元”(i1,2,3)，由題意知C1，C2，C3相互獨(dú)立，由知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1,2,3)，3季的利潤均不少于2 000元的概率為P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3季中有2季的利潤不少于2 000元的概率為P(1C2C3)P(C1C3)P(C1C2)30.820.20.384，所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率為0.5120.3840.896.例2解(1)個位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345；(2)由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個數(shù)為C84，隨機(jī)變量X的取值為：0，1,1，因此P(X0)，P(X1)，P(X1)1，所以X的分布列為X011P則E(X)0(1)1.變式訓(xùn)練2解(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天的日銷售量不低于100個且另一天銷售量低于50個”.因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X可能取的值為0,1,2,3，相應(yīng)的概率為P(X0)C(10.6)30.064，P(X1)C0.6(10.6)20.288，P(X2)C0.62(10.6)0.432，P(X3)C0.630.216，則X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因為XB(3,0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.例3解(1)依題意，得p1P(40<X<80)0.2，p2P(80X120)0.7，p3P(X>120)0.1.由二項分布，得在未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為pC(1p3)4C(1p3)3p3()44()3()0.947 7.(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元).安裝1臺發(fā)電機(jī)的情形.由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對應(yīng)的年利潤Y5 000，E(Y)5 00015 000.安裝2臺發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40<X<80時，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40<X<80)p10.2；當(dāng)X80時，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.安裝3臺發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40<X<80時，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40<X<80)p10.2；當(dāng)80X120時，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y5 00028009 200，因此P(Y9 200)P(80X120)p20.7；當(dāng)X>120時，三臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X>120)p30.1，由此得Y的分布列如下：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺.變式訓(xùn)練3解(1)設(shè)“甲隊以30,31,32勝利”分別為事件A，B，C，則P(A)，P(B)C2，P(C)C22.(2)X的可能的取值為0,1,2,3.則P(X0)P(A)P(B)，P(X1)P(C)，P(X2)C22，P(X3)3C2.X的分布列為X0123PE(X)0123.高考題型精練1.A 設(shè)甲命中目標(biāo)為事件A，乙命中目標(biāo)為事件B，丙命中目標(biāo)為事件C，則目標(biāo)被擊中的事件可以表示為ABC，即擊中目標(biāo)表示事件A、B、C中至少有一個發(fā)生.P()P()P()P()1P(A)1P(B)1P(C).故目標(biāo)被擊中的概率為1P()1.2.A 設(shè)事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為p，事件A全不發(fā)生為事件A至少發(fā)生一次的對立事件，1(1p)4，即(1p)4.故1p或1p(舍去)，即p.3.B 正面朝上的點(diǎn)數(shù)(x，y)的不同結(jié)果共有CC36(種).事件A：“xy為偶數(shù)”包含事件A1：“x，y都為偶數(shù)”與事件A2：“x，y都為奇數(shù)”兩個互斥事件，其中P(A1)，P(A2)，所以P(A)P(A1)P(A2).事件B為“x，y中有偶數(shù)且xy”，所以事件AB為“x，y都為偶數(shù)且xy”，所以P(AB).P(B|A).4.解析由題意，得P(2)p，P(1)(1p)p，的分布列為012Pp由p1，得p.所以E()012p.5.0.128解析由題設(shè)，分兩類情況：第1個正確，第2個錯誤，第3、4個正確，由乘法公式得P10.80.20.80.80.102 4；第1、2個錯誤，第3、4個正確，此時概率P20.20.20.80.80.025 6.由互斥事件概率公式得PP1P20.102 40.025 60.128.6.解析設(shè)P(1)a，P(2)b，則解得所以D()01.7.解用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”.則P(Ak)，P(Bk)，k1,2,3,4,5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)()2()2()2.(2)X的可能取值為2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4).故X的分布列為X2345PE(X)2345.8.解(1)由題意知P2，當(dāng)且僅當(dāng)xy時等號成立，所以，當(dāng)P取得最大值時，xy3.(2)當(dāng)x2時，即甲箱中有2個紅球與4個白球，所以的所有可能取值為0,1,2,3.則P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，所以，紅球個數(shù)的分布列為0123P于是E()0123.9.解(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X.依題意，得P(X60)，即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為.依題意，得X的所有可能取值為20,60.P(X60)，P(x20)，即X的分布列為X2060P所以顧客所獲的獎勵額的期望為E(X)206040(元).(2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為60元.所以，先尋找期望為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理，可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2.以下是對兩個方案的分析：對于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1，則X1的分布列為X12060100PX1的期望為E(X1)206010060，X1的方差為D(X1)(2060)2(6060)2(10060)2.對于方案2，即方案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為X2406080PX2的期望為E(X2)40608060，X2的方差為D(X2)(4060)2(6060)2(8060)2.由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.10.解(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A.P(A).(2)X的可能取值為200,300,400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列為X200300400PE(X)200300400350.