【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 概率與統(tǒng)計(jì)】專題8 第37練

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第37練　用樣本估計(jì)總體 [題型分析高考展望]　用樣本估計(jì)總體在高考中也是熱點(diǎn)部分，考查形式主要是選擇題、填空題或是與概率結(jié)合的綜合性解答題，重點(diǎn)是頻率分布直方圖以及數(shù)字特征，屬于比較簡(jiǎn)單的題目. 常考題型精析 題型一　頻率分布直方圖的應(yīng)用 例1　(2015廣東)某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖. (1)求直方圖中x的值； (2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)； (3)在月平均用電量為[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？ 　 　 　 　 　 點(diǎn)評(píng)　利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征 (1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值. (2)平均數(shù)：平均數(shù)的頻率分布直方圖的“重心”，等于圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和. (3)眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高的矩形底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo). 變式訓(xùn)練1　某校100名學(xué)生期中考試語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]. (1)求圖中a的值； (2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分； (3)若這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50,90)之外的人數(shù). 分?jǐn)?shù)段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5 　 　 　 　 　 題型二　莖葉圖的應(yīng)用 例2　(1)(2015重慶)重慶市2013年各月的平均氣溫(C)數(shù)據(jù)的莖葉圖如下： 0 8 9 1 2 5 8 2 0 0 3 3 8 3 1 2 則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是(　　) A.19 B.20 C.21.5 D.23 (2)(2015山東)為比較甲、乙兩地某月14時(shí)的氣溫情況，隨機(jī)選取該月中的5天，將這5天中14時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位：℃)制成如圖所示的莖葉圖.考慮以下結(jié)論： 甲 乙 9 8 6 2 8 9 1 1 3 0 1 2 ①甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫； ②甲地該月14時(shí)的平均氣溫高于乙地該月14時(shí)的平均氣溫； ③甲地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差； ④甲地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差. 其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的編號(hào)為(　　) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 點(diǎn)評(píng)　由于莖葉圖完全反映了所有的原始數(shù)據(jù)，解決由莖葉圖給出的統(tǒng)計(jì)圖表試題時(shí)，就要充分使用這個(gè)圖表提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算或者是對(duì)某些問(wèn)題作出判斷，這類試題往往伴隨著對(duì)數(shù)據(jù)組的平均值或者是方差的計(jì)算等. 變式訓(xùn)練2　為調(diào)查甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生某次聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級(jí)學(xué)生，以他們的數(shù)學(xué)成績(jī)(百分制)作為樣本，樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如下： (1)若甲校高三年級(jí)每位學(xué)生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)，并估計(jì)甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率(60分及60分以上為及格)； (2)設(shè)甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績(jī)分別為1，2，估計(jì)1－2的值. 　 　 　 　 　 　 題型三　用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 例3　(1)(2014陜西)某公司10位員工的月工資(單位：元)為x1，x2，…，x10，其均值和方差分別為和s2，若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的均值和方差分別為(　　) A.，s2＋1002 B.＋100，s2＋1002 C.，s2 D.＋100，s2 (2)甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績(jī)?nèi)缦卤?單位：環(huán))： 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應(yīng)是________. 點(diǎn)評(píng)　平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動(dòng)大小. 變式訓(xùn)練3　甲、乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績(jī)得分情況如圖. (1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差； (2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對(duì)兩人的訓(xùn)練成績(jī)作出評(píng)價(jià). 　 　 　 　 　 　高考題型精練 1.(2015陜西)某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為(　　) A.167 B.137 C.123 D.93 2.某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測(cè)試成績(jī)分成6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知高一年級(jí)共有學(xué)生600名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測(cè)試成績(jī)不少于60分的學(xué)生人數(shù)為(　　) A.588 B.480 C.450 D.120 3.(2014廣東)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示.為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為(　　) A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10 4.已知記錄7名運(yùn)動(dòng)員選手身高(單位：cm)的莖葉圖如圖，其平均身高為177 cm，因有一名運(yùn)動(dòng)員的身高記錄看不清楚，設(shè)其末位數(shù)為x，那么推斷x的值為(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 5.在樣本的頻率分布直方圖中，一共有n個(gè)小矩形.若中間一個(gè)小矩形的面積等于其余(n－1)個(gè)小矩形面積之和的，且樣本容量為240，則中間一組的頻數(shù)是(　　) A.32 B.30 C.40 D.60 6.若一個(gè)樣本容量為8的樣本的平均數(shù)為5，方差為2.現(xiàn)樣本中又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)樣本容量為9，平均數(shù)為，方差為s2，則(　　) A.＝5，s2<2 B.＝5，s2>2 C.>5，s2<2 D.>5，s2>2 7.某學(xué)校隨機(jī)抽取20個(gè)班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購(gòu)物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]時(shí)，所作的頻率分布直方圖是(　　) 0 7 3 1 7 6 4 4 3 0 2 7 5 5 4 3 2 0 3 8 5 4 3 0 8.某班的全體學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是(　　) A.45 B.50 C.55 D.60 9.如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖，則甲、乙兩人這幾場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)分別是________. 10.甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/hm2) 品種 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是________. 11.(2014北京)從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖： 組號(hào) 分組 頻數(shù) 1 [0,2) 6 2 [2,4) 8 3 [4,6) 17 4 [6,8) 22 5 [8,10) 25 6 [10,12) 12 7 [12,14) 6 8 [14,16) 2 9 [16,18) 2 合計(jì) 100 (1)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率； (2)求頻率分布直方圖中的a，b的值； (3)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組.(只需寫(xiě)出結(jié)論) 　 　 　 　 　 　 　 　 12.(2014廣東)某車(chē)間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表： 年齡(歲) 工人數(shù)(人) 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合計(jì) 20 (1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差； (2)以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖； (3)求這20名工人年齡的方差. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 答案精析 第37練　用樣本估計(jì)總體 常考題型精析 例1　解　(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)20＝1得：x＝0.007 5， 所以直方圖中x的值是0.007 5. (2)月平均用電量的眾數(shù)是＝230. 因?yàn)?0.002＋0.009 5＋0.011)20＝0.45<0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，由(0.002＋0.009 5＋0.011)20＋0.012 5(a－220)＝0.5得：a＝224，所以月平均用電量的中位數(shù)是224. (3)月平均用電量為[220,240]的用戶有0.012 520100＝25戶，月平均用電量為[240,260)的用戶有0.007 520100＝15戶，月平均用電量為[260,280)的用戶有0.00520100＝10戶，月平均用電量為[280,300]的用戶有0.002 520100＝5戶，抽取比例＝＝，所以月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取25＝5戶. 變式訓(xùn)練1　解　(1)由頻率分布直方圖知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)10＝1，解得a＝0.005. (2)由頻率分布直方圖知這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分為550.00510＋650.0410＋750.0310＋850.0210＋950.00510＝73(分). (3)由頻率分布直方圖知語(yǔ)文成績(jī)?cè)赱50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)依次為0.00510100＝5,0.0410100＝40,0.0310100＝30,0.0210100＝20. 由題中給出的比例關(guān)系知數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谏鲜龈鞣謹(jǐn)?shù)段的人數(shù)依次為5,40＝20,30＝40,20＝25. 故數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50,90)之外的人數(shù)為 100－(5＋20＋40＋25)＝10. 例2　(1)B　(2)B 解析　(1)從莖葉圖知所有數(shù)據(jù)為8,9,12,15,18,20,20,23，23,28,31,32，中間兩個(gè)數(shù)為20,20，故中位數(shù)為20，選B. (2)甲地5天的氣溫為：26,28,29,31,31， 其平均數(shù)為甲＝＝29； 方差為s＝[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6； 標(biāo)準(zhǔn)差為s甲＝. 乙地5天的氣溫為：28,29,30,31,32， 其平均數(shù)為乙＝＝30； 方差為s＝[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2； 標(biāo)準(zhǔn)差為s乙＝. ∴甲＜乙，s甲＞s乙. 變式訓(xùn)練2　解　(1)設(shè)甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)為n，由已知條件 ＝0.05，則n＝600. 在甲校高三年級(jí)抽取的30名學(xué)生中成績(jī)?cè)?0分及60分以上的人數(shù)為25，因此甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考的及格率大約是＝＝83.3%. (2)1＝[(7＋13＋24＋26＋22＋2)＋40＋504＋609＋709＋805＋902]30＝； 2＝[(5＋14＋17＋33＋20)＋40＋503＋6010＋7010＋805＋90]30＝. 1－2＝－＝. 例3　(1)D　(2)甲 解析　(1)＝，yi＝xi＋100，所以y1，y2，…，y10的均值為＋100，方差不變，故選D. (2)甲＝乙＝9環(huán)，s＝[(10－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝， s＝[(10－9)2＋(10－9)2＋(7－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝>s，故甲更穩(wěn)定，故最佳人選應(yīng)為甲. 變式訓(xùn)練3　解　(1)由題圖象可得甲、乙兩人五次測(cè)試的成績(jī)分別為 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分. 甲＝＝13， 乙＝＝13， s＝[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s＝[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s>s可知乙的成績(jī)較穩(wěn)定. 從折線圖看，甲的成績(jī)基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績(jī)上下波動(dòng)，可知甲的成績(jī)?cè)诓粩嗵岣?，而乙的成?jī)則無(wú)明顯提高. 高考題型精練 1.B [由題干扇形統(tǒng)計(jì)圖可得該校女教師人數(shù)為：11070%＋150(1－60%)＝137.故選B.] 2.B [∵少于60分的學(xué)生人數(shù)為600(0.05＋0.15)＝120， ∴不少于60分的學(xué)生人數(shù)為480.] 3.A [該地區(qū)中小學(xué)生總?cè)藬?shù)為 3 500＋2 000＋4 500＝10 000， 則樣本容量為10 0002%＝200，其中抽取的高中生近視人數(shù)為2 0002%50%＝20，故選A.] 4.D [據(jù)莖葉圖可知 ＝177， 解得x＝8.] 5.C [設(shè)中間小矩形的面積為S，則由題意知＝， 解得S＝，即頻率為， 所以中間一組的頻數(shù)為240＝40，故選C.] 6.A [∵(x1＋x2＋…＋x8)＝5， ∴(x1＋x2＋…＋x8＋5)＝5， ∴＝5，由方差定義及意義可知加入新數(shù)據(jù)5后，樣本數(shù)據(jù)取值的穩(wěn)定性比原來(lái)強(qiáng)， ∴s2<2，故選A.] 7.A [由于頻率分布直方圖的組距為5，排除C、D，又[0,5)，[5,10)兩組各一人，排除B，應(yīng)選A.] 8.B [由頻率分布直方圖，低于60分的頻率為 (0.01＋0.005)20＝0.3. ∴該班學(xué)生人數(shù)n＝＝50.] 9.18,23 解析　根據(jù)莖葉圖分別將甲乙得分按從小到大順序排起來(lái)，根據(jù)中位數(shù)定義易知甲、乙中位數(shù)分別為18,23. 10.甲 解析　甲＝(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10.0， 乙＝(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10.0； s＝[(9.8－10)2＋…＋(10.2－10)2]＝0.02， s＝[(9.4－10)2＋…＋(9.8－10)2]＝0.244>0.02. 11.解　(1)根據(jù)頻數(shù)分布表，100名學(xué)生中課外閱讀時(shí)間不少于12小時(shí)的學(xué)生共有6＋2＋2＝10(名)， 所以樣本中的學(xué)生課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻率是1－＝0.9. 從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計(jì)其課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率為0.9. (2)課外閱讀時(shí)間落在組[4,6) 的有17人，頻率為0.17， 所以a＝＝＝0.085. 課外閱讀時(shí)間落在組[8,10)的有25人，頻率為0.25， 所以b＝＝＝0.125. (3)樣本中的100名學(xué)生課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第4組. 12.解　(1)這20名工人年齡的眾數(shù)為：30；這20名工人年齡的極差為：40－19＝21. (2)以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖如下： 1 9 2 8 8 8 9 9 9 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 4 0 (3)這20名工人年齡的平均數(shù)為：(19＋283＋293＋305＋314＋323＋40)20＝30； 所以這20名工人年齡的方差為： (30－19)2＋(30－28)2＋(30－29)2＋(30－30)2＋(30－31)2＋(30－32)2＋(30－40)2＝12.6.