【高考前三個月復習數(shù)學理科函數(shù)與導數(shù)】專題3 第9練

第9練顧全局函數(shù)零點問題題型分析高考展望函數(shù)零點問題是高考常考題型，一般以選擇題、填空題的形式考查，難度為中檔.其考查點有兩個方面：一是函數(shù)零點所在區(qū)間、零點個數(shù)；二是由函數(shù)零點的個數(shù)或取值范圍求解參數(shù)的取值范圍.?？碱}型精析題型一零點個數(shù)與零點區(qū)間問題例1(1)(2014湖北)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)x23x，則函數(shù)g(x)f(x)x3的零點的集合為()A.1,3 B.3，1,1,3C.2，1,3 D.2，1,3(2)(2015北京)設(shè)函數(shù)f(x)若a1，則f(x)的最小值為_；若f(x)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_.點評確定函數(shù)零點的常用方法：(1)若方程易求解時，用解方程判定法；(2)數(shù)形結(jié)合法，在研究函數(shù)零點、方程的根及圖象交點的問題時，當從正面求解難以入手時，可以轉(zhuǎn)化為某一易入手的等價問題求解，如求解含有絕對值、分式、指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)式等較復雜的函數(shù)零點問題，常轉(zhuǎn)化為熟悉的兩個函數(shù)圖象的交點問題求解.變式訓練1(2015東營模擬)x表示不超過x的最大整數(shù)，例如2.92，4.15.已知f(x)xx(xR)，g(x)log4(x1)，則函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點個數(shù)是()A.1 B.2C.3 D.4題型二由函數(shù)零點求參數(shù)范圍問題例2(2014天津)已知函數(shù)f(x) 若函數(shù)yf(x)a|x|恰有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為_.點評利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法：(1)利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.變式訓練2(2015北京東城區(qū)模擬)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(x2)f(x).當x0,1時，f(x)2x.若在區(qū)間2,3上方程ax2af(x)0恰有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是_.高考題型精練1.已知x1，x2是函數(shù)f(x)e-x|ln x|的兩個零點，則()A.<x1x2<1 B.1<x1x2<eC.1<x1x2<10 D.e<x1x2<102.(2015天津)已知函數(shù)f(x)函數(shù)g(x)bf(2x)，其中bR，若函數(shù)yf(x)g(x)恰有4個零點，則b的取值范圍是()A. B.C. D.3.(2015福州模擬)已知函數(shù)f(x)則函數(shù)f(x)的零點為()A.，0 B.2,0C. D.04.函數(shù)f(x)2sin xx1的零點個數(shù)為()A.4 B.5C.6 D.75.設(shè)函數(shù)f(x)4sin(2x1)x，則在下列區(qū)間中函數(shù)f(x)不存在零點的是()A.4，2 B.2,0C.0,2 D.2,46.(2014課標全國)已知函數(shù)f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍是()A.(2，) B.(，2)C.(1，) D.(，1)7.定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當x0時，f(x)則關(guān)于x的函數(shù)F(x)f(x)a(0<a<1)的所有零點之和為()A.12a B.2a1C.12a D.2a18.(2015北京朝陽區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)k有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是_.9.已知函數(shù)f(x)logaxxb(a>0，且a1)，當2<a<3<b<4時，函數(shù)f(x)的零點x0(n，n1)，nN*，則n_.10.方程2xx23的實數(shù)解的個數(shù)為_.11.(2015江蘇)已知函數(shù)f(x)|ln x|，g(x)則方程|f(x)g(x)|1實根的個數(shù)為_.12.已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，當x0,1時，f(x)x，且在1,3內(nèi)，關(guān)于x的方程f(x)kxk1 (kR，k1)有四個根，則k的取值范圍是_.答案精析第9練顧全局函數(shù)零點問題?？碱}型精析例1(1)D(2)12，)解析(1)令x<0，則x>0，所以f(x)(x)23xx23x.因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)f(x).所以當x<0時，f(x)x23x.所以當x0時，g(x)x24x3.令g(x)0，即x24x30，解得x1或x3.當x<0時，g(x)x24x3.令g(x)0，即x24x30，解得x2>0(舍去)或x2.所以函數(shù)g(x)有三個零點，故其集合為2，1,3.(2)當a1時，f(x)當x<1時，f(x)2x1(1,1)，當x1時，f(x)4(x23x2)41，f(x)min1.由于f(x)恰有2個零點，分兩種情況討論：當f(x)2xa，x<1沒有零點時，a2或a0.當a2時，f(x)4(xa)(x2a)，x1時，有2個零點；當a0時，f(x)4(xa)(x2a)，x1時無零點.因此a2滿足題意.當f(x)2xa，x<1有一個零點時， 0<a<2.f(x)4(xa)(x2a)，x1有一個零點，此時a<1, 2a1，因此a<1.綜上知實數(shù)a的取值范圍是.變式訓練1B 函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點個數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點個數(shù)，作出函數(shù)f(x)xx與函數(shù)g(x)log4(x1)的大致圖象如圖，由圖可知兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)為2，即函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點個數(shù)是2.例21<a<2解析畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.函數(shù)yf(x)a|x|有4個零點，即函數(shù)y1a|x|的圖象與函數(shù)f(x)的圖象有4個交點(根據(jù)圖象知需a>0).當a2時，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y1a|x|的圖象有3個交點.故a<2.當ya|x|(x0)與y|x25x4|相切時，在整個定義域內(nèi)，f(x)的圖象與y1a|x|的圖象有5個交點，此時，由得x2(5a)x40.由0得(5a)2160，解得a1，或a9(舍去)，則當1<a<2時，兩個函數(shù)圖象有4個交點.故實數(shù)a的取值范圍是1<a<2.變式訓練2<a<解析由f(x2)f(x)得函數(shù)的周期是2.由ax2af(x)0得f(x)ax2a，設(shè)yf(x)，yax2a，作出函數(shù)yf(x)，yax2a的圖象，如圖，要使方程ax2af(x)0恰有四個不相等的實數(shù)根，則直線yax2aa(x2)的斜率滿足kAH<a<kAG，由題意可知，G(1,2)，H(3,2)，A(2,0)，所以kAH，kAG，所以<a<.高考題型精練1. A 在同一坐標系中畫出函數(shù)yex與y|ln x|的圖象，結(jié)合圖象不難看出，它們的兩個交點中，其中一個交點的橫坐標屬于區(qū)間(0,1)，另一個交點的橫坐標屬于區(qū)間(1，)，即在x1，x2中，其中一個屬于區(qū)間(0,1)，另一個屬于區(qū)間(1，).不妨設(shè)x1(0,1)，x2(1，)，則有ex1|ln x1|ln x1(e1,1)，ex2|ln x2|ln x2(0，e1)，ex2ex1ln x2ln x1ln x1x2(1,0)，于是有e1<x1x2<e0，即<x1x2<1.2.D 方法一當x>2時，g(x)xb4，f(x)(x2)2；當0x2時，g(x)bx，f(x)2x；當x<0時，g(x)bx2，f(x)2x.由于函數(shù)yf(x)g(x)恰有4個零點，所以方程f(x)g(x)0恰有4個根.當b0時，當x>2時，方程f(x)g(x)0可化為x25x80，無解；當0x2時，方程f(x)g(x)0可化為2x(x)0，無解；當x<0時，方程f(x)g(x)0可化為x2x20，無解.所以b0，排除答案B.當b2時，當x>2時，方程f(x)g(x)0可化為(x2)2x2，得x2(舍去)或x3，有1解；當0x2時，方程f(x)g(x)0可化為2x2x，有無數(shù)個解；當x<0時，方程f(x)g(x)0可化為2x2x2，得x0(舍去)或x1，有1解.所以b2，排除答案A.當b1時，當x>2時，方程f(x)g(x)0可化為x25x70，無解；當0x2時，方程f(x)g(x)0可化為1x2x，無解；當x<0時，方程f(x)g(x)0可化為x2x10，無解.所以b1，排除答案C.因此答案選D.方法二記h(x)f(2x)在同一坐標系中作出f(x)與h(x)的圖象如圖，直線AB：yx4，當直線lAB且與f(x)的圖象相切時，由解得b，(4)，所以曲線h(x)向上平移個單位后，所得圖象與f(x)的圖象有兩個公共點，平移2個單位后，兩圖象有無數(shù)個公共點，因此，當b2時，f(x)與g(x)的圖象有4個不同的交點，即yf(x)g(x)恰有4個零點.選D.3.D 當x1時，由f(x)2x10，解得x0；當x>1時，由f(x)1log2x0，解得x，又因為x>1，所以此時方程無解.綜上，函數(shù)f(x)的零點只有0.4.B 2sin xx10，2sin xx1，圖象如圖所示，由圖象看出y2sin x與yx1有5個交點，f(x)2sin xx1的零點個數(shù)為5.5.A f(0)4sin 1>0，f(2)4sin 52，由于<5<2，所以sin 5<0，故f(2)<0，則函數(shù)在0,2上存在零點；由于f(1)4sin(1)1<0，故函數(shù)在1,0上存在零點，也在2,0上存在零點；令x2,4，則f()4sin 4>0，而f(2)<0，所以函數(shù)在2,4上存在零點.選A.6.B f(x)3ax26x，當a3時，f(x)9x26x3x(3x2)，則當x(，0)時，f(x)>0；x(0，)時，f(x)<0；x(，)時，f(x)>0，注意f(0)1，f()>0，則f(x)的大致圖象如圖1所示.圖1不符合題意，排除A、C.當a時，f(x)4x26x2x(2x3)，則當x(，)時，f(x)<0，當x(，0)時，f(x)>0，當x(0，)時，f(x)<0，注意f(0)1，f()，則f(x)的大致圖象如圖2所示.圖2不符合題意，排除D.7.A 當0x<1時，f(x)0.由F(x)f(x)a0，畫出函數(shù)yf(x)與ya的圖象如圖.函數(shù)F(x)f(x)a有5個零點.當1<x<0時，0<x<1，所以f(x)log0.5(x1)log2(1x)，即f(x)log2(1x)，1<x<0.由f(x)log2(1x)a，解得x12a，因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)F(x)f(x)a(0<a<1)的所有零點之和為12a.8.解析畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖.要使函數(shù)g(x)f(x)k有兩個不同零點，只需yf(x)與yk的圖象有兩個不同交點，則圖易知k.9.2解析由于2<a<3<b<4，故f(1)loga11b1b<0，而0<loga2<1,2b(2，1)，故f(2)loga22b<0，又loga3(1,2)，3b(1,0)，故f(3)loga33b>0，因此函數(shù)必在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在零點，故n2.10.2解析方程變形為3x22x()x，令y13x2，y2()x.如圖所示，由圖象可知有2個交點.11.4解析令h(x)f(x)g(x)，則h(x)當1x2時，h(x)2x0，故當1x2時h(x)單調(diào)遞減，在同一坐標系中畫出y|h(x)|和y1的圖象如圖所示.由圖象可知|f(x)g(x)|1的實根個數(shù)為4.12.解析由題意作出f(x)在1,3上的圖象如圖，記yk(x1)1，函數(shù)yk(x1)1的圖象過定點A(1,1).記B(2,0)，由圖象知，方程有四個根，即函數(shù)yf(x)與ykxk1的圖象有四個交點，故kAB<k<0，kAB，<k<0.